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第1章 图形的相似单元测试（A卷基础篇）（含解析）-2024-2025学年九年级上学期数学同步单元检测AB卷(青岛版)
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这是一份第1章 图形的相似单元测试（A卷基础篇）（含解析）-2024-2025学年九年级上学期数学同步单元检测AB卷(青岛版)，共20页。
青岛版9上数学 第1章图形的相似单元测试（ A卷基础篇）（含解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知△ABC∽△DEF，ABDE=12，若BC=2，则EF=( )A. 4 B. 6 C. 8 D. 162.菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD交于点O，BD=6，点E在CD上，DE：EC=2：3，BE交AC于点F，则FC的长为( )A. 3 B. 487 C. 5 D. 4.83.如图，在△ABC中，DE//BC分别交AC，AB于点D，E，EF//AC交BC于点F，AEBE=25，BF=8，则DE的长为( )A. 165 B. 167 C. 2 D. 34.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点应为( ) A. P1 B. P2 C. P3 D. P45.如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED=15，则S△ABC=( ) A. 30 B. 25 C. 22.5 D. 206.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心将△OAB放大得到△OCD.若点A、C的横坐标分别为1、2，且AB= 5，则线段CD的长为( ) A. 2 B. 5 C. 4 D. 2 57.如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a，b应满足的条件是( ) A. a= 2b B. a=2b C. a=2 2b D. a=4b8.如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段AE和BD相交于点C，点F在AE的延长线上，测得AC=30cm，BC=40cm，CD=24cm，EC=18cm，若∠BAC=60°，则∠DEF的度数为( )A. 120° B. 125° C. 130° D. 135°9.已知：在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=90∘，点E是线段BC上一点，且AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，给出下面四个结论：①AE⊥DE；②∠AEB=∠EDC；③AB⋅CD=BE⋅EC；④BE⋅ED=AE⋅EC.上述结论中，所有正确结论的序号是( ) A. ①② B. ③ C. ①②③ D. ①②③④10.凸透镜成像的原理如图所示，AD//l//BC.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的( )A. 45 B. 25 C. 49 D. 59第II卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.如图，在矩形ABCD中，若AB=3，AC=5，AFFC=14，则AE的长为 ． 12.如图，已知AD:DB=2:1，CE:EA=2:3，则CF:DF= ． 13.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE//AC，若S△DOE：S△COA=4：49，则BDAD= ______． 14.如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC=18cm，高AD=12cm，现在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零件EFCH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则矩形EFGH的周长为______cm． 15.如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2m，又知AB：BC=1：8，则建筑物CD的高是______． 16.《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示的小孔成像实验中可简化为数学问题：AA′与BB′相交于点O，AB//MN.若点O到AB的距离为12cm，点O到MN的距离为20cm，蜡烛火焰倒立的像的高度A′B′是8cm，则蜡烛火焰的高度AB是______cm．三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分) 某市唐朝古塔(图1)所示，我校社会实践小组为了测量塔的高度AB，如图2：在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得DE=3米，将标杆CD沿BD方向平移14米到点H处(DH=14米).这时地面上的点F，标杆的顶端点C，塔尖点A正好又在同一直线上，测得FH=4米，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF.请你根据以上数据，计算此塔的高度有多少米？ 18.(本小题6分) 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A． (1)求证：△BDC∽△ABC； (2)若BC=4，AC=8，求CD的长．19.(本小题8分) 如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是 3:2，连接EB，GD． (1)求证：EB=GD．(2)若∠DAB=60∘，AB=2，求GD的长．20.(本小题8分) 如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与树顶B在同一直线上．已知纸板的两条边EF=30cm，DE=40cm，延长DF交AB于点C，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=12m，求树高AB．21.(本小题10分)如图，在梯形ABCD中，AD // BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC=∠ADE，AC=AD． (1)求证：DE=AF；(2)若∠ABC=∠CDE，求证：AF2=BF·CE．22.(本小题10分) 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(−2,2)、B(−4,0)、C(−4,−4)． (1)在y轴右侧，以O为位似中心，将△ABC按相似比为1：2缩小，画出△A′B′C′； (2)写出△A′B′C′各顶点的坐标； (3)若△ABC内部一点M的坐标为(a,b)，则点M的对应点M′的坐标是______．23.(本小题10分)如图，AB//CD，AD与BC相交于点E，∠A=∠CBD． (1)求证：CD2=BC⋅CE；(2)若CD=1，BD=2，AB=3，求DE的长．24.(本小题14分) 如图，ABBD=BCBE=CAED ，试说明：∠ABD=∠EBC． 答案和解析1.【答案】A 【解析】∵△ABC∽△DEF，∴ABDE=BCEF，∵ABDE=12，BC=2，∴2EF=12，∴EF=4.故选A．2.【答案】A 【解析】解：∵菱形ABCD周长为20， ∴AB=BC=CD=AD=5， ∵对角线AC、BD交于点O，BD=6， ∴AC⊥BD，BO=DO=3， ∴AO=CO=4， ∵DE：EC=2：3，CD=5， ∴DE=2，EC=3， ∵AB//CD， ∴△ABF∽△CEF， ∴CEAB=CFAF， ∴35=CF8−CF， 解得：CF=3． 故选：A． 利用菱形的性质得出其边长以及对角线AC的长，进而利用相似三角形的判定与性质得出FC的长． 此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出△ABF∽△CEF是解题关键．3.【答案】A 【解析】解：∵DE//BC，EF//AC， ∴四边形EFCD是平行四边形， ∴DE=CF， 设DE=CF=x， ∵BF=8， ∴BC=BF+CF=8+x， ∵DE//BC， ∴△AED∽△ABC， ∴AEAB=DEBC， ∵AEBE=25， ∴AEAB=27， ∴DEBC=27，即x8+x=27， 解得x=165， 故选：A． 由DE//BC，EF//AC，得四边形EFCD是平行四边形，DE=CF，设DE=CF=x，由△AED∽△ABC，AEBE=25可得x8+x=27，即可解得答案． 本题考查相似三角形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例，列出方程解决问题．4.【答案】C 【解析】设每个小正方形的边长为1．∵∠BAC=∠PED=90∘，ABAC=32，∴EPED=32时，△ABC∽△EPD．∵DE=4，∴EP=6，∴点P落在P3处.故选C．5.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理．由D、E分别是AB、AC的中点，可得DE//BC、DE=12BC，则有△ADE∽△ABC，S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，即可得到答案．【解答】 解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE//BC，DE=12BC， ∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，∴S△ADE:S四边形BCED=1:3， ∵S四边形BCED=15，∴S△ADE=5，∴S△ABC=5×4=20． 故选D．6.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查的是位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.根据位似变换的性质得到△OCD∽△OAB，且相似比为2：1，根据相似比等于位似比计算即可． 【解答】 解：∵以原点O为位似中心，将△OAB放大得到△OCD，点A、C的横坐标分别为1、2，， ∴△OCD∽△OAB，且相似比为2：1， ∴ABCD=12， ∵AB= 5， ∴CD=2 5．7.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解． 【解答】 解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为14a， ∵小长方形与原长方形相似， ∴ab=b14a， ∴a=2b． 故选B．8.【答案】A 【解析】解：∵AC=30cm，BC=40cm，CD=24cm，EC=18cm， ∴ACCE=3018=53，BCCD=4024=53， ∴ACCE=BCCD， ∵∠ACB=∠DCE， ∴△ACB∽△ECD， ∴∠BAC=∠DEC=60°， ∴∠DEF=180°−∠DEC=120°， 故选：A． 根据已知易得：ACCE=BCCD=53，从而可得△ACB∽△ECD，然后利用相似三角形的性质可得∠BAC=∠DEC=60°，从而利用平角定义进行计算，即可解答． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．9.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线定义，同角的余角相等和相似三角形的判定方法与性质定理是解决问题的关键．根据AB//CD和AE平分∠BAD，DE平分∠ADC推出∠DAE+∠ADE=90∘即可证明AE⊥DE，可证明①正确；根据∠AED=90∘推出∠AEB+∠DEC=90∘，根据∠B=90∘推出∠C=90∘，从而推出∠EDC+∠DEC=90∘，即可推出∠AEB=∠EDC，可证明②正确；根据两角分别相等的两个三角形相似判定▵ABE∽▵ECD后根据相似三角形的对应边成比例得到比例式再推出AB⋅CD=BE⋅EC，可证明③正确，④不正确；即可选出正确答案．【详解】解：∵AB/\!/CD，∴∠DAB+∠ADC=180∘，∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴∠DAE=12∠BAD，∠ADE=12∠ADC，∴∠AED=90∘，∴AE⊥DE，故①正确；∵∠AED=90∘，∴∠AEB+∠DEC=90∘，∵AB/\!/CD，∠B=90∘，∴∠C=90∘，∴∠EDC+∠DEC=90∘，∴∠AEB=∠EDC，故②正确；在▵ABE和▵ECD中，∠AEB=∠EDC，∠B=∠C=90∘，∴▵ABE∽▵ECD，∴ABEC=BECD，BECD=AEDE，∴AB⋅CD=BE⋅EC，故③正确；BE⋅ED=AE⋅CD，故④不正确．正确的有①②③．故选：C10.【答案】A 【解析】解：∵BC//l，CG⊥l，BO⊥l， ∴四边形OBCG为矩形， ∴OB=CG， ∵AH⊥HO，BO⊥HO， ∴△AHF1∽△BOF1， ∴AHBO=HF1OF1=54， ∴AHCG=54， ∴物体被缩小到原来的45． 故选：A． 先证出四边形OBCG为矩形，得到OB=CG，再根据△AHF1∽△BOF1，求出AHCG，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关键．11.【答案】1 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90∘，AD//BC．∵AB=3，AC=5，∴BC= AC2−AB2= 52−32=4．∵AD//BC，∴AEBC=AFFC=14，∴AE4=14，∴AE=1．12.【答案】2:1 【解析】【分析】 本题考查了相似三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．过D作DM//AC，交BE于M，根据相似三角形的判定推出△BMD∽△BEA，△DMF∽△CEF，根据相似得出比例式，根据已知条件即可得出答案． 【解答】 解：过D作DM//AC，交BE于M， ∵DM//AC， ∴△BMD∽△BEA， ∴DMAE=BDAB， ∵AD：DB=2：1， ∴DMAE=BDAB=11+2=13， 即AE=3DM， ∵CE：EA=2：3， ∴CE=2DM， ∵DM//AC， ∴△DMF∽△CEF， ∴CFDF=CEDM=2DMDM=21， 故答案为2：1．13.【答案】25 【解析】解：∵DE//AC， ∴△DOE∽△COA， ∴S△DOES△COA=(DEAC)2=449， ∴DEAC=27， ∵DE//AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴BDBA=DEAC=27， ∴BDBA−BD=27−2=25， 即BDAD=25． 故答案为：25． 先证明△DOE∽△COA，则根据相似三角形的性质得到DEAC=27，再证明△BDE∽△BAC，利用相似三角形的性质得到BDBA=DEAC=27，然后根据比例的性质求出BDAD的值． 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质(相似三角形面积的比等于相似比的平方)是解决问题的关键．14.【答案】30 【解析】解：∵矩形EFGH中，EH//FG，EH=GF， ∴EH//BC， ∵AD⊥BC， ∴AM⊥EH， ∵EH//BC， ∴△AEH∽△ABC， ∴EHBC=AMAD， ∵矩形零件EFCH的长与宽的比为3：2， 设EH=GF=3x cm，EF=GH=2x，则MD=EF=2x cm，AM=(12−2x)cm， ∴3x18=12−2x12， 解得：x=3， ∴EH=3x=9，EF=2x=6， ∴矩形EFGH的周长为：2×(9+6)=30cm． 故答案为：30． 直接利用相似三角形的判定与性质得出EHBC=AMAD，进而得出EH，EF的长，即可得出答案． 此题主要考查了相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．15.【答案】10.8m 【解析】解：∵∠ABE=∠ACD=90°，∠A=∠A， ∴△ABE∽△ACD， ∴AB：AC=BE：CD， ∵AB：BC=1：8， ∴AB：AC=1：9， ∵BE=1.2m， ∴CD=1.2×9=10.8(m)， 故答案为：10.8m． 先证明△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质可得AB：AC=BE：CD，根据已知条件即可求出CD的值． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．16.【答案】4.8 【解析】解：∵AB//MN， ∴∠OAB=∠OA′B′，∠OBA=∠OB′A′， ∴∠OAB∽∠OA′B′， 又∵点O到AB的距离为12cm，点O到MN的距离为20cm， ∴ABA′B′=1220=35， ∴AB=35A′B′=35×8=4.8(cm)． 故答案为：4.8． 先证明△OAB∽△OA′B′，再根据相似三角形对应高的比等于相似比得到ABA′B′=1220=35，即可得到答案． 此题考查了相似三角形的判定和性质，熟知“相似三角形对应高的比等于相似比”是解题的关键．17.【答案】解：∵BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF， ∴∠ABC=∠CDE=∠GHF=90°， ∵∠DEC=∠BEA， ∴△EDC∽△EBA， ∴DCAB=DEEB， ∴2AB=33+BD， ∵∠HFG=∠BFA， ∴△HFG∽△BFA， ∴GHAB=FHFB， ∴2AB=44+14+BD， ∴33+BD=44+14+BD， ∴BD=42， ∴2AB=33+42， ∴AB=30(米)， 答：此塔的高度有30米． 【解析】根据垂直的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．18.【答案】解：(1)∵∠DBC=∠A，∠BCD=∠ACB， ∴△BDC∽△ABC； (2)∵△BDC∽△ABC， ∴BCAC=DCBC， ∵BC=4，AC=8， ∴48=DC4 ∴CD=2． 【解析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． (1)根据相似三角形的判定即可求出答案． (2)根据相似三角形的性质即可求出CD的长度．19.【答案】【小题1】证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，AE=AG，AB=AD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD．∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD．【小题2】如图，连接BD交AC于点P，则BP⊥AC．∵∠DAB=60∘，∴∠PAB=30∘．∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是 3:2，AB=2，∴AE= 3，BP=12AB=1，∴AP= AB2−BP2= 3，∴EP=AE+AP=2 3， ∴EB= EP2+BP2= 12+1= 13，∴GD= 13． 【解析】1. 见答案 2. 见答案20.【答案】解：EF=30cm=0.3m，DE=40cm=0.4m， ∵∠DEF=∠DCB=90°，∠EDF=∠CDB， ∴△DEF∽△DCB， ∴EFBC=DEDC， 即0.3BC=0.412， 解得BC=9(m)， ∴树高AB=BC+AC=9+1.5=10.5(m)． 【解析】根据相似三角形的性质得到EFBC=DEDC，据此可得BC的长，再根据线段的和差即可得到结论． 本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用，解题的关键是证得△DEF∽△DCB．21.【答案】【小题1】∵AD // BC，∴∠DAE=∠ACF.在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACF,AD=CA,∠ADE=∠CAF,∴△DAE≌△ACF，∴DE=AF【小题2】∵由(1)知，△DAE≌△ACF，∴∠DEA=∠AFC，∴180°−∠AFC=180°−∠DEA，即∠AFB=∠CED.又∵∠ABF=∠CDE，△ABF∽△CDE，∴AFCE=BFDE.∵由(1)知，DE=AF，∴AFCE=BFAF，∴AF2=BF·CE 【解析】1. 见答案 2. 见答案22.【答案】(−a2,−b2) 【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求． (2)由图可得，A′(1,−1)，B′(2,0)，C′(2,2)． (3)由题意可得，点M′的坐标为(−a2,−b2). 故答案为：(−a2,−b2). (1)根据位似的性质作图即可． (2)由图可得答案． (3)由位似变换可得，点M的横纵坐标分别除以−2，即可得点M′的横纵坐标． 本题考查作图−位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．23.【答案】解：(1)证明：∵AB//CD， ∴∠DAB=∠CDE． ∵∠DAB=∠CBD， ∴∠CDE=∠CBD， 又∠C=∠C， ∴△CDE∽△CBD， ∴CDCE=BCCD， ∴CD2=BC⋅CE． (2)∵AB//CD， ∴∠EDC=∠EAB，∠ECD=∠EBA， ∴△CDE∽△BAE， ∴DEAE=CDAB=13， ∴AE=3DE， ∴DA=AE+DE=3DE+DE=4DE． ∵∠DBE=∠A，∠BDE=∠ADB， ∴△DBE∽△DAB， ∴DEDB=DBDA， ∴BD2=DE·DA，即22=DE×4DE， ∴DE=1． 【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握利用相似三角形的性质求线段长的思路与方法． (1)根据平行线的性质得出∠DAB=∠CDE，根据∠DAB=∠CBD，得出∠CDE=∠CBD，再根据∠C=∠C，得出△CDE∽△CBD，进而得出CDCE=BCCD，即可证明结论成立； (2)根据AB//CD，得出∠EDC=∠EAB，∠ECD=∠EBA，进一步得出△CDE∽△BAE，利用相似三角形的性质得出DEAE=CDAB=13，求出AE=3DE，DA=AE+DE=3DE+DE=4DE，证明△DBE∽△DAB，得出DEDB=DBDA，进一步得出BD2=DE·DA，即22=DE×4DE，求出DE=1，即可求解．24.【答案】证明：∵ABBD=BCBE=CAED， ∴△ABC∽△DBE(三边对应相等的两个三角形相似)， ∴∠ABC=∠DBE， ∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC(等式的基本性质)， ∴∠ABD=∠EBC． 【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，主要考查了三边对应相等的两个三角形相似这个知识点．由ABBD=BCBE=CAED，可得△ABC∽△DBE，从而得出∠ABC=∠DBE，即可得出∠ABD=∠EBC．
青岛版9上数学 第1章图形的相似单元测试（ A卷基础篇）（含解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知△ABC∽△DEF，ABDE=12，若BC=2，则EF=( )A. 4 B. 6 C. 8 D. 162.菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD交于点O，BD=6，点E在CD上，DE：EC=2：3，BE交AC于点F，则FC的长为( )A. 3 B. 487 C. 5 D. 4.83.如图，在△ABC中，DE//BC分别交AC，AB于点D，E，EF//AC交BC于点F，AEBE=25，BF=8，则DE的长为( )A. 165 B. 167 C. 2 D. 34.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点应为( ) A. P1 B. P2 C. P3 D. P45.如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED=15，则S△ABC=( ) A. 30 B. 25 C. 22.5 D. 206.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心将△OAB放大得到△OCD.若点A、C的横坐标分别为1、2，且AB= 5，则线段CD的长为( ) A. 2 B. 5 C. 4 D. 2 57.如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a，b应满足的条件是( ) A. a= 2b B. a=2b C. a=2 2b D. a=4b8.如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段AE和BD相交于点C，点F在AE的延长线上，测得AC=30cm，BC=40cm，CD=24cm，EC=18cm，若∠BAC=60°，则∠DEF的度数为( )A. 120° B. 125° C. 130° D. 135°9.已知：在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=90∘，点E是线段BC上一点，且AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，给出下面四个结论：①AE⊥DE；②∠AEB=∠EDC；③AB⋅CD=BE⋅EC；④BE⋅ED=AE⋅EC.上述结论中，所有正确结论的序号是( ) A. ①② B. ③ C. ①②③ D. ①②③④10.凸透镜成像的原理如图所示，AD//l//BC.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的( )A. 45 B. 25 C. 49 D. 59第II卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.如图，在矩形ABCD中，若AB=3，AC=5，AFFC=14，则AE的长为 ． 12.如图，已知AD:DB=2:1，CE:EA=2:3，则CF:DF= ． 13.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE//AC，若S△DOE：S△COA=4：49，则BDAD= ______． 14.如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC=18cm，高AD=12cm，现在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零件EFCH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则矩形EFGH的周长为______cm． 15.如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2m，又知AB：BC=1：8，则建筑物CD的高是______． 16.《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示的小孔成像实验中可简化为数学问题：AA′与BB′相交于点O，AB//MN.若点O到AB的距离为12cm，点O到MN的距离为20cm，蜡烛火焰倒立的像的高度A′B′是8cm，则蜡烛火焰的高度AB是______cm．三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分) 某市唐朝古塔(图1)所示，我校社会实践小组为了测量塔的高度AB，如图2：在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得DE=3米，将标杆CD沿BD方向平移14米到点H处(DH=14米).这时地面上的点F，标杆的顶端点C，塔尖点A正好又在同一直线上，测得FH=4米，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF.请你根据以上数据，计算此塔的高度有多少米？ 18.(本小题6分) 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A． (1)求证：△BDC∽△ABC； (2)若BC=4，AC=8，求CD的长．19.(本小题8分) 如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是 3:2，连接EB，GD． (1)求证：EB=GD．(2)若∠DAB=60∘，AB=2，求GD的长．20.(本小题8分) 如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与树顶B在同一直线上．已知纸板的两条边EF=30cm，DE=40cm，延长DF交AB于点C，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=12m，求树高AB．21.(本小题10分)如图，在梯形ABCD中，AD // BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC=∠ADE，AC=AD． (1)求证：DE=AF；(2)若∠ABC=∠CDE，求证：AF2=BF·CE．22.(本小题10分) 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(−2,2)、B(−4,0)、C(−4,−4)． (1)在y轴右侧，以O为位似中心，将△ABC按相似比为1：2缩小，画出△A′B′C′； (2)写出△A′B′C′各顶点的坐标； (3)若△ABC内部一点M的坐标为(a,b)，则点M的对应点M′的坐标是______．23.(本小题10分)如图，AB//CD，AD与BC相交于点E，∠A=∠CBD． (1)求证：CD2=BC⋅CE；(2)若CD=1，BD=2，AB=3，求DE的长．24.(本小题14分) 如图，ABBD=BCBE=CAED ，试说明：∠ABD=∠EBC． 答案和解析1.【答案】A 【解析】∵△ABC∽△DEF，∴ABDE=BCEF，∵ABDE=12，BC=2，∴2EF=12，∴EF=4.故选A．2.【答案】A 【解析】解：∵菱形ABCD周长为20， ∴AB=BC=CD=AD=5， ∵对角线AC、BD交于点O，BD=6， ∴AC⊥BD，BO=DO=3， ∴AO=CO=4， ∵DE：EC=2：3，CD=5， ∴DE=2，EC=3， ∵AB//CD， ∴△ABF∽△CEF， ∴CEAB=CFAF， ∴35=CF8−CF， 解得：CF=3． 故选：A． 利用菱形的性质得出其边长以及对角线AC的长，进而利用相似三角形的判定与性质得出FC的长． 此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出△ABF∽△CEF是解题关键．3.【答案】A 【解析】解：∵DE//BC，EF//AC， ∴四边形EFCD是平行四边形， ∴DE=CF， 设DE=CF=x， ∵BF=8， ∴BC=BF+CF=8+x， ∵DE//BC， ∴△AED∽△ABC， ∴AEAB=DEBC， ∵AEBE=25， ∴AEAB=27， ∴DEBC=27，即x8+x=27， 解得x=165， 故选：A． 由DE//BC，EF//AC，得四边形EFCD是平行四边形，DE=CF，设DE=CF=x，由△AED∽△ABC，AEBE=25可得x8+x=27，即可解得答案． 本题考查相似三角形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例，列出方程解决问题．4.【答案】C 【解析】设每个小正方形的边长为1．∵∠BAC=∠PED=90∘，ABAC=32，∴EPED=32时，△ABC∽△EPD．∵DE=4，∴EP=6，∴点P落在P3处.故选C．5.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理．由D、E分别是AB、AC的中点，可得DE//BC、DE=12BC，则有△ADE∽△ABC，S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，即可得到答案．【解答】 解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE//BC，DE=12BC， ∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，∴S△ADE:S四边形BCED=1:3， ∵S四边形BCED=15，∴S△ADE=5，∴S△ABC=5×4=20． 故选D．6.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查的是位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.根据位似变换的性质得到△OCD∽△OAB，且相似比为2：1，根据相似比等于位似比计算即可． 【解答】 解：∵以原点O为位似中心，将△OAB放大得到△OCD，点A、C的横坐标分别为1、2，， ∴△OCD∽△OAB，且相似比为2：1， ∴ABCD=12， ∵AB= 5， ∴CD=2 5．7.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解． 【解答】 解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为14a， ∵小长方形与原长方形相似， ∴ab=b14a， ∴a=2b． 故选B．8.【答案】A 【解析】解：∵AC=30cm，BC=40cm，CD=24cm，EC=18cm， ∴ACCE=3018=53，BCCD=4024=53， ∴ACCE=BCCD， ∵∠ACB=∠DCE， ∴△ACB∽△ECD， ∴∠BAC=∠DEC=60°， ∴∠DEF=180°−∠DEC=120°， 故选：A． 根据已知易得：ACCE=BCCD=53，从而可得△ACB∽△ECD，然后利用相似三角形的性质可得∠BAC=∠DEC=60°，从而利用平角定义进行计算，即可解答． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．9.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线定义，同角的余角相等和相似三角形的判定方法与性质定理是解决问题的关键．根据AB//CD和AE平分∠BAD，DE平分∠ADC推出∠DAE+∠ADE=90∘即可证明AE⊥DE，可证明①正确；根据∠AED=90∘推出∠AEB+∠DEC=90∘，根据∠B=90∘推出∠C=90∘，从而推出∠EDC+∠DEC=90∘，即可推出∠AEB=∠EDC，可证明②正确；根据两角分别相等的两个三角形相似判定▵ABE∽▵ECD后根据相似三角形的对应边成比例得到比例式再推出AB⋅CD=BE⋅EC，可证明③正确，④不正确；即可选出正确答案．【详解】解：∵AB/\!/CD，∴∠DAB+∠ADC=180∘，∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴∠DAE=12∠BAD，∠ADE=12∠ADC，∴∠AED=90∘，∴AE⊥DE，故①正确；∵∠AED=90∘，∴∠AEB+∠DEC=90∘，∵AB/\!/CD，∠B=90∘，∴∠C=90∘，∴∠EDC+∠DEC=90∘，∴∠AEB=∠EDC，故②正确；在▵ABE和▵ECD中，∠AEB=∠EDC，∠B=∠C=90∘，∴▵ABE∽▵ECD，∴ABEC=BECD，BECD=AEDE，∴AB⋅CD=BE⋅EC，故③正确；BE⋅ED=AE⋅CD，故④不正确．正确的有①②③．故选：C10.【答案】A 【解析】解：∵BC//l，CG⊥l，BO⊥l， ∴四边形OBCG为矩形， ∴OB=CG， ∵AH⊥HO，BO⊥HO， ∴△AHF1∽△BOF1， ∴AHBO=HF1OF1=54， ∴AHCG=54， ∴物体被缩小到原来的45． 故选：A． 先证出四边形OBCG为矩形，得到OB=CG，再根据△AHF1∽△BOF1，求出AHCG，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关键．11.【答案】1 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90∘，AD//BC．∵AB=3，AC=5，∴BC= AC2−AB2= 52−32=4．∵AD//BC，∴AEBC=AFFC=14，∴AE4=14，∴AE=1．12.【答案】2:1 【解析】【分析】 本题考查了相似三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．过D作DM//AC，交BE于M，根据相似三角形的判定推出△BMD∽△BEA，△DMF∽△CEF，根据相似得出比例式，根据已知条件即可得出答案． 【解答】 解：过D作DM//AC，交BE于M， ∵DM//AC， ∴△BMD∽△BEA， ∴DMAE=BDAB， ∵AD：DB=2：1， ∴DMAE=BDAB=11+2=13， 即AE=3DM， ∵CE：EA=2：3， ∴CE=2DM， ∵DM//AC， ∴△DMF∽△CEF， ∴CFDF=CEDM=2DMDM=21， 故答案为2：1．13.【答案】25 【解析】解：∵DE//AC， ∴△DOE∽△COA， ∴S△DOES△COA=(DEAC)2=449， ∴DEAC=27， ∵DE//AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴BDBA=DEAC=27， ∴BDBA−BD=27−2=25， 即BDAD=25． 故答案为：25． 先证明△DOE∽△COA，则根据相似三角形的性质得到DEAC=27，再证明△BDE∽△BAC，利用相似三角形的性质得到BDBA=DEAC=27，然后根据比例的性质求出BDAD的值． 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质(相似三角形面积的比等于相似比的平方)是解决问题的关键．14.【答案】30 【解析】解：∵矩形EFGH中，EH//FG，EH=GF， ∴EH//BC， ∵AD⊥BC， ∴AM⊥EH， ∵EH//BC， ∴△AEH∽△ABC， ∴EHBC=AMAD， ∵矩形零件EFCH的长与宽的比为3：2， 设EH=GF=3x cm，EF=GH=2x，则MD=EF=2x cm，AM=(12−2x)cm， ∴3x18=12−2x12， 解得：x=3， ∴EH=3x=9，EF=2x=6， ∴矩形EFGH的周长为：2×(9+6)=30cm． 故答案为：30． 直接利用相似三角形的判定与性质得出EHBC=AMAD，进而得出EH，EF的长，即可得出答案． 此题主要考查了相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．15.【答案】10.8m 【解析】解：∵∠ABE=∠ACD=90°，∠A=∠A， ∴△ABE∽△ACD， ∴AB：AC=BE：CD， ∵AB：BC=1：8， ∴AB：AC=1：9， ∵BE=1.2m， ∴CD=1.2×9=10.8(m)， 故答案为：10.8m． 先证明△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质可得AB：AC=BE：CD，根据已知条件即可求出CD的值． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．16.【答案】4.8 【解析】解：∵AB//MN， ∴∠OAB=∠OA′B′，∠OBA=∠OB′A′， ∴∠OAB∽∠OA′B′， 又∵点O到AB的距离为12cm，点O到MN的距离为20cm， ∴ABA′B′=1220=35， ∴AB=35A′B′=35×8=4.8(cm)． 故答案为：4.8． 先证明△OAB∽△OA′B′，再根据相似三角形对应高的比等于相似比得到ABA′B′=1220=35，即可得到答案． 此题考查了相似三角形的判定和性质，熟知“相似三角形对应高的比等于相似比”是解题的关键．17.【答案】解：∵BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF， ∴∠ABC=∠CDE=∠GHF=90°， ∵∠DEC=∠BEA， ∴△EDC∽△EBA， ∴DCAB=DEEB， ∴2AB=33+BD， ∵∠HFG=∠BFA， ∴△HFG∽△BFA， ∴GHAB=FHFB， ∴2AB=44+14+BD， ∴33+BD=44+14+BD， ∴BD=42， ∴2AB=33+42， ∴AB=30(米)， 答：此塔的高度有30米． 【解析】根据垂直的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．18.【答案】解：(1)∵∠DBC=∠A，∠BCD=∠ACB， ∴△BDC∽△ABC； (2)∵△BDC∽△ABC， ∴BCAC=DCBC， ∵BC=4，AC=8， ∴48=DC4 ∴CD=2． 【解析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． (1)根据相似三角形的判定即可求出答案． (2)根据相似三角形的性质即可求出CD的长度．19.【答案】【小题1】证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，AE=AG，AB=AD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD．∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD．【小题2】如图，连接BD交AC于点P，则BP⊥AC．∵∠DAB=60∘，∴∠PAB=30∘．∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是 3:2，AB=2，∴AE= 3，BP=12AB=1，∴AP= AB2−BP2= 3，∴EP=AE+AP=2 3， ∴EB= EP2+BP2= 12+1= 13，∴GD= 13． 【解析】1. 见答案 2. 见答案20.【答案】解：EF=30cm=0.3m，DE=40cm=0.4m， ∵∠DEF=∠DCB=90°，∠EDF=∠CDB， ∴△DEF∽△DCB， ∴EFBC=DEDC， 即0.3BC=0.412， 解得BC=9(m)， ∴树高AB=BC+AC=9+1.5=10.5(m)． 【解析】根据相似三角形的性质得到EFBC=DEDC，据此可得BC的长，再根据线段的和差即可得到结论． 本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用，解题的关键是证得△DEF∽△DCB．21.【答案】【小题1】∵AD // BC，∴∠DAE=∠ACF.在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACF,AD=CA,∠ADE=∠CAF,∴△DAE≌△ACF，∴DE=AF【小题2】∵由(1)知，△DAE≌△ACF，∴∠DEA=∠AFC，∴180°−∠AFC=180°−∠DEA，即∠AFB=∠CED.又∵∠ABF=∠CDE，△ABF∽△CDE，∴AFCE=BFDE.∵由(1)知，DE=AF，∴AFCE=BFAF，∴AF2=BF·CE 【解析】1. 见答案 2. 见答案22.【答案】(−a2,−b2) 【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求． (2)由图可得，A′(1,−1)，B′(2,0)，C′(2,2)． (3)由题意可得，点M′的坐标为(−a2,−b2). 故答案为：(−a2,−b2). (1)根据位似的性质作图即可． (2)由图可得答案． (3)由位似变换可得，点M的横纵坐标分别除以−2，即可得点M′的横纵坐标． 本题考查作图−位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．23.【答案】解：(1)证明：∵AB//CD， ∴∠DAB=∠CDE． ∵∠DAB=∠CBD， ∴∠CDE=∠CBD， 又∠C=∠C， ∴△CDE∽△CBD， ∴CDCE=BCCD， ∴CD2=BC⋅CE． (2)∵AB//CD， ∴∠EDC=∠EAB，∠ECD=∠EBA， ∴△CDE∽△BAE， ∴DEAE=CDAB=13， ∴AE=3DE， ∴DA=AE+DE=3DE+DE=4DE． ∵∠DBE=∠A，∠BDE=∠ADB， ∴△DBE∽△DAB， ∴DEDB=DBDA， ∴BD2=DE·DA，即22=DE×4DE， ∴DE=1． 【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握利用相似三角形的性质求线段长的思路与方法． (1)根据平行线的性质得出∠DAB=∠CDE，根据∠DAB=∠CBD，得出∠CDE=∠CBD，再根据∠C=∠C，得出△CDE∽△CBD，进而得出CDCE=BCCD，即可证明结论成立； (2)根据AB//CD，得出∠EDC=∠EAB，∠ECD=∠EBA，进一步得出△CDE∽△BAE，利用相似三角形的性质得出DEAE=CDAB=13，求出AE=3DE，DA=AE+DE=3DE+DE=4DE，证明△DBE∽△DAB，得出DEDB=DBDA，进一步得出BD2=DE·DA，即22=DE×4DE，求出DE=1，即可求解．24.【答案】证明：∵ABBD=BCBE=CAED， ∴△ABC∽△DBE(三边对应相等的两个三角形相似)， ∴∠ABC=∠DBE， ∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC(等式的基本性质)， ∴∠ABD=∠EBC． 【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，主要考查了三边对应相等的两个三角形相似这个知识点．由ABBD=BCBE=CAED，可得△ABC∽△DBE，从而得出∠ABC=∠DBE，即可得出∠ABD=∠EBC．
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