2024～2025学年9上第2章解直角三角形（青岛版）（问卷+答题卡+答案）-2024-2025学年9上数学单元检测(青岛版2024)

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2024～2025学年9上第2章 解直角三角形（青岛版）数学答案1．B【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据特殊角的三角函数值求解即可．【详解】∵在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，∴∠C=30°，∴tanC=．故选B．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理．2．C【分析】设菱形的边长为a，用a表示BE与AB，再在Rt△ABE中由三角函数关系求得a便可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，设AB=BC=CD=AD=a，∵B′C=-1，∴BB′=a+−1，由对折知，BE=B′E=，AE⊥BB′，∵∠B=45°，∴BE=AB•sin45°=a，∴＝a，解得，a=1，故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质以及等腰直角三角形的性质，解直角三角形的应用，折叠的性质，关键是列出关于a的方程，体现了方程思想．3．D【分析】作出草图，根据∠A的正切值设出两直角边分别为k，2k，然后利用勾股定理求出斜边，则∠B的正弦值即可求出．【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∴设AC＝2k，BC＝k，则AB＝＝k，∴sinB＝＝＝．故选：D．【点睛】考核知识点：勾股定理，三角函数．理解正弦、正切定义是关键．4．A【详解】∵，∴．∵∴解得．∵，∴．故选A.5．D【分析】根据正切函数的定义，可得答案．【详解】解：如图：过A点作AD⊥BC与点D，，tanB= ，故选：D．【点睛】本题考查了正切三角函数的定义，利用了正切的表示方法，注意锐角三角函数都要在直角三角形中求解．6．B【详解】解：设则又因为在菱形ABCD中，所以，由勾股定理知，故答案为：B．7．B【分析】根据坡度的定义先求解出DE和EC，然后结合题意可知四边形为矩形，从而结合仰角的定义分别在，中，表示出AB，从而建立等式求解即可．【详解】解：∵斜坡CD的长度为20m，且坡度为，∴设，则，在中，，即：，解得：，∴，，由题意知，，，四边形为矩形，∴，设，则，在中，，在中，，∵，∴，解得：，∴，即：树AB的高度是30m，故选：B．【点睛】此题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．8．B【分析】先通过添加辅助线构造出直角三角形，然后利用锐角三角函数解直角三角形求得、，再让两条线段相减即可得到答案．【详解】解：延长交地面于点，则，过点作于点，如图：∵旋转支撑臂与楼梯托架之间的夹角为；当伸缩楼梯上收时，旋转支撑臂绕着点逆时针旋转，∴， ∴∵在中，，∴∴∵，∴∴在中，，∴∴∴∴此时，楼梯底部的脚垫到地面的距离为米．故选：B【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、利用锐角三角函数解直角三角形等知识点的实际应用，灵活运用相关知识点是解决问题的关键．9．B【详解】分析： 由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过解两个直角三角形得到DC，DB的长度，作差后可得结果．解答： 解：由已知条件得∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣，在Rt△ADB中，AD=600，∴DB=AD•tan15°=600×（2﹣）=1200﹣600，在Rt△ADC中，AD=600，∠DAC=60°，∴DC=AD•tan60°=600，∴BC=CD﹣BD=600﹣（1200﹣600）=1200（﹣1），∴长江的宽度BC等于1200（﹣1）．故选B．点评： 本题考查了解直角三角形的应用；利用三角函数值得到与所求线段相关线段的长度是解决本题的关键．10．B【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．【详解】解：如图，作BD⊥AC于D，由勾股定理得，，∵，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．11．【分析】设BC＝x，则AB＝2x，再根据勾股定理得到x2+（2x）2=52，再方程的解即可．【详解】如图所示：设BC＝x，则AB＝2x，依题意得：x2+（2x）2=52解得x=或x=-（舍去）．故答案为：．【点睛】考查了解直角三角形，解决本题的关键是构造直角三角形利用勾股定理得出．12．【分析】先根据线段的和差求出，再根据角平分线的定义得出，然后利用三角形面积公式分别求出AM、AF的长，由此即可得．【详解】，，，是的角平分线设，则即解得同理可得：则故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的定义、正弦的应用等知识点，正确利用题干中的三角形面积公式是解题关键．13．5356【分析】分析知奇数的通式为：2n﹣1（n为正整数），设阴影梯形的上底和下底距点O的长分别为a和b，则可以表达出的表达式，第2009个梯形前面已有2008×2个奇数，2009个梯形上底距点O的距离为第2008×2+1个奇数，下底为第2008×2+2个奇数．代入求解即可．【详解】设阴影梯形的上底和下底距点O的长分别为a和b，则上底长为atan∠AOB，下底长为btan∠AOB，∴b×btan∠AOBa×atan∠AOB，∵第1个梯形的两底距离点O的距离a＝1，b＝3，∴；∵第2个梯形的两底距离点O的距离a＝5，b＝7，∴＝；以此类推，∵第2009个梯形前面已有2008×2个奇数，∴2009个梯形上底距点O的距离为第2008×2+1个奇数，下底为第2008×2+2个奇数，∴第2009个梯形的上下两底的长分别为：a＝2×（2008×2+1）﹣1＝8033，b＝2×（2008×2+2）－1＝8035，故＝5356．故答案为：5356．【点睛】本题考查了解直角三角形、实数的混合运算，找到是解题的关键．14．【分析】首先过点D作DM⊥AB于点M，设BM=x，则BD=2x，求出BD，CD即可解决问题．【详解】解：过点D作DM⊥AB于点M，∵在等边三角形△ABC中，射线AD四等分∠BAC交BC于点D， ∴∠BAD=45°，∠B=60°，∴AM=MD，∠BDM=30°，∴设BM=x，则BD=2x，故DM=x，∴BC=AB=x+x，∴故答案为 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及勾股定理等知识，表示出DC，BD的长是解题关键．15．【分析】连接AB，就可以根据勾股定理求出OA，OB，AB的长度，用面积法先求OB上的高，再由三边关系求∠AOB的正切值．【详解】解：连接AB，取AB中点C，连接OC，根据勾股定理可以得到OA＝OB＝，AB＝2，OC＝2， 三角形ABO的面积为＝4，过A作AD⊥OB，,＝ AD＝, OD＝则tan∠AOB＝.故答案为：【点睛】本题考查的是勾股定理和三角函数的应用，用面积法求高是解题的关键.16．/【分析】过点E作于点M，过点F作于点N，首先证明出四边形是矩形，得到，然后根据等腰直角三角形的性质得到，进而得到，然后利用角直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解．【详解】如图所示，过点E作于点M，过点F作于点N，  由题意可得，四边形是矩形，∴，∵，∴，∵博雅楼顶部E的俯角为，∴，∴，∴，∵点A是的中点，∴，由题意可得四边形是矩形，∴，∵尚美楼顶部F的俯角为，∴，∴，∴，∴在中，，∴，∴解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．17．(1)(2)【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明，再利用正弦值即可求出长度．（2）根据角度相等证明求出，再根据余弦值求出长度，即可求出长度，最后可求出点A到对称轴的距离．【详解】（1）解：由图可知，过点作于，延长至，过点作于 ，  ，，，，．故答案为：．（2）解：，，，，．  ，，．，，，．，．点A到对称轴的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的性质、锐角三角函数和等腰三角形的性质．解题的关键在于明确点A到对称轴的距离，从而作辅助线．18．楼与塔之间的距离的长为50米．【分析】过点作于点，设大楼与塔之间的距离的长为米，在和中，分别用三角函数表示出CD和CE,根据等量关系列出方程解答即可.【详解】过点作于点，由题意可知：∠CAE=22°，，米设大楼与塔之间的距离的长为米，则∵在中，∴∵在中，∴∵∴∴即(米)答：楼与塔之间的距离的长为50米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答．19．渔船继续向正东方向航行是安全的，理由详见解析．【分析】作CH⊥AB于H．利用解直角三角形，求出PH的值即可判定；【详解】解：作CH⊥AB于H．∵∠CAB＝30°，∠ABC＝120°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°，∵∠BAC＝∠BCA＝30°，∴BA＝BC＝60海里，在Rt△CBH中，CH＝CB•sin60°＝60×＝30（海里），∵30＞50，∴渔船继续向正东方向航行是安全的．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．20．(1)(2)【分析】（1）首先证明在中，设，，，得，即可解决问题；（2）过A作AC的垂线交CE的延长线于P，利用相似三角形的判定和性质即可解决问题．【详解】（1）由，，得：，在中，设，，，得，即；（2）过A作AC的垂线交CE的延长线于P，设，在中，，，，又，，，【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识,熟练运用这些知识是解题关键．21．(1)点A到地面的高度约为；(2)点距离地面的高度约为．【分析】此题主要考查了锐角三角函数，解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．（1）过点作边的高，由等腰三角形性质可知，结合勾股定理求出的长即可；（2）过作于，于，可知四边形为矩形，然后解直角三角形可求出的长．【详解】（1）解：（1）过点E作，垂足为点，如图，即 ，∵，，∴，∵在中， ，，∴答：点A到地面的高度约为．（2）解：过点作于点H，过点作于点G．如图，由旋转的性质得∵在中，，， ，，∴答：点距离地面的高度约为．22．(1)(2)(3)【分析】（1）先根据矩形性质得到，再根据折叠性质得到，，，利用锐角三角函数得到，利用平行线的性质求得，进而可求解；（2）证明得到，结合已知得到，则，利用勾股定理求得，进而求得即可求解；（3）过点N作于点G，先根据已知和折叠性质得到，证明得到，设，根据角平分线的性质和全等三角形的判定与性质得到，，设，则，利用勾股定理求得，进而求得即可求解．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，∵将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处，∴，，，∵，∴，∴，则，∵四边形是矩形，∴，∴，∴；（2）解：∵将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处，∴，，又∵矩形中，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵在矩形中，，∴，∴，∴，∵，即，∴，∴；（3）解：过点N作于点G，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，设，∵平分， ，∴，又，∴，∴，设，则，∵，∴，解得，∴，∴．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、锐角三角函数、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质以及相似三角形的性质是解答的关键．23．(1)见解析(2)或(3)【分析】（1）根据正方形的性质证明，（2）根据全等三角形得出，、根据平行线分线段成比例得出，进而求得或，进而根据锐角三角函数的定义即可求解；（3）利用等腰三角形的性质，相似三角形的性质得出，再根据勾股定理得出即可．【详解】（1）解：如图1，正方形，，，，，，，，（2），，，，，，，，，设则，解得或，经检验，，都是原方程的根，或，在中，或；（3）如图2，由（1）得，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，在中，，，，，即．【点睛】本题考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数，掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义是解题的关键．24．（1）正方形，24；（2）是，理由见解析，；（3）3或12【分析】本题主要考查正方形的判定，直角三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用：（1）先证明四边形是矩形，再由旋转得，从而可判断四边形是正方形；（2）连接，根据证明可得，从而得出结论；（3）分两种情况，根据勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图1，∵四边形是矩形，∴，将边绕点A逆时针旋转α度，得到线段，过点E作交直线于点F∴，，∴，∴四边形是矩形，∴四边形是正方形，∵∴正方形的周长为故答案为：正方形；24；（2）四边形是筝形，理由如下：连接，如图，由旋转得又∴∴又∴四边形是筝形，∵旋转角度数为α度，∴又∴∴四边形的周长为（3）如图，∵四边形是矩形，∴∴设，则∵∴在中，∴，解得，，∴；如图，∵∴∴，即解得，，综上，的值为：3或12