2024年宁夏银川市灵武市中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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本卷120分，时间120分钟
一、选择题（ 每小题3分，共24分 ）
1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2. 如图，数轴上表示实数的点可能是( )

A. 点PB. 点QC. 点RD. 点S
【答案】B
【解析】
【分析】根据先估算大小，看它介于哪两个整数之间，从而得解．
【详解】解：∵
∴，即，
∴数轴上表示实数的点可能是Q，
故选：B．
【点睛】本题考查无理数的大小估算，推出介于哪两个整数之间是解题的关键．
3. 下列计算正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算、积的乘方、完全平方公式、负整指数幂；熟练掌握相关法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类二次根式不能合并，本选项错误，不符合题意；
B、，本选项错误，不符合题意；
C、，故选项正确，符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
4. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件B. 任意多边形的外角和等于
C. 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心D. 一元二次方程有两个相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不可能事件，重心，多边形外角和，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握不可能事件，重心，多边形外角和，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
根据不可能事件，重心，多边形外角和，一元二次方程根的判别式对各选项判断作答即可．
【详解】解：A中成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，正确，故不符合要求；
B中任意多边形的外角和等于，正确，故不符合要求；
C中三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，正确，故不符合要求；
D中一元二次方程 ，，无实数根，错误，故符合要求；
故选：D．
5. 宁夏素有“塞上江南”之美誉，这里既有古老的黄河文明，又有雄浑的大漠风光．某校开展“大美宁夏，闽宁同行”旅游主题活动．选取三个景点：A．沙坡头，B．六盘山，C．水洞沟．每位参加交流的学生都可以从中随机选择一个景点，则小明和小颖选择同一个景点的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
【详解】解：画树状图为：
∵共有9种等可能的结果数，其中小明和小颖选择同一个景点的结果数为3，
∴小明和小颖选择同一个景点的概率为．
故选：C．
6. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆周角定理，可以得到的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出的度数．
7. 茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，得到种植茶园和种植粮食的面积为，结合茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，列出方程组即可．
【详解】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，
由题意，得：，
即：
故选B．
【点睛】本题考查根据实际问题列方程组．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键．
8. 如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（ ）

A. B. C. 17D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象可知时，点与点重合，得到，进而求出点从点运动到点所需的时间，进而得到点从点运动到点的时间，求出的长，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：由图象可知：时，点与点重合，
∴，
∴点从点运动到点所需的时间为；
∴点从点运动到点的时间为，
∴；
在中：；
故选C．
【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出的长，是解题的关键．
二、填空题（ 每小题3分，共24分 ）
9. 要使二次根式有意义，则x应满足的条件是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义需被开方数大于等于0是解题的关键．
10. 计算：_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据求一个数的立方根，有理数的加法即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
11. 在一次函数中，随的增大而增大，则的值可以是___________（任写一个符合条件的数即可）．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据一次函数的性质可知“当时，变量y的值随x的值增大而增大”，由此可得出结论．
【详解】解：∵一次函数中，y随x的值增大而增大，
∴．
解得：，
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据函数的单调性确定k的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数的增减性，得出k的取值范围是关键．
12. 如图，直线于点．若，则的度数是______．
【答案】##30度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，延长交于点，由可得，由可得，利用三角形内角和定理即可求出的度数，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接，，，，则四边形的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质．利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的性质得到，，，接着利用勾股定理计算出的长，然后根据菱形的面积公式计算．
【详解】解：连接交于点，如图，
由作法，
四边形为菱形，
，，，
在中，，
，
四边形的面积．
故答案：．
14. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________ 个．

【答案】10
【解析】
【分析】先求出正五边形的外角为，则，进而得出，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
∵正五边形的一个外角，
∴，
∴，
∴共需要正五边形的个数（个），
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．
15. 如图，平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，且，，以点O为位似中心，在第一象限内将放大，使相似比为，则点B的对应点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．作于E，利用三角函数求出点B的坐标为：，根据相似比为即可求解．
【详解】解：作于E，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴点B的坐标为：，
∵以点O为位似中心，在第一象限内将放大，使相似比为，
点B的对应点的坐标为：，即，
故答案为：．
16. 如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的侧面展开图的圆心角度数为______．

【答案】##216度
【解析】
【分析】由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥，根据三视图知圆锥的底面圆的直径为6、半径为3，高为4，得出母线长为5，再根据扇形的弧长公式可得答案．
【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥；
由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为6、半径为3，高为4，
则母线长为，
所以该几何体的侧面展开图圆心角的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长公式．
三、解答题（本题共10小题，其中17~22题每小题6分，23，24题每小题8分，25，26题每小题10分，共72分）
17. 下面是小林同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：由①去分母，得．………………第一步
去括号，得．…………………………第二步
移项，得．………………………… 第三步
合并同类项，得．…………………………………第四步
系数化为1，得．…………………………………第五步
任务一：
（1）以上解题过程中，第一步的依据是_____________________________；
（2）第_______________步开始出现错误，错误的原因是_______________________；
任务二：
（1）解不等式②得___________________；
（2）把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，并写出该不等式组的正确解集_____________．
【答案】任务一：（1）不等式的性质；（2）三，移项没变号；
任务二：（1）；（2），在数轴上表示见解析
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质，解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
任务一：（1）根据不等式的性质作答即可；
（2）根据移项可判断第三步错误；
任务二：（1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可；
（2）根据解一元一次不等式的步骤求解①，从而得解．
【详解】解：任务一：（1）以上解题过程中，第一步的依据是不等式的性质，
故答案为：不等式的性质；
（2）第三步开始出现错误，错误的原因是移项没变号，
故答案为：三，移项没变号；
任务二：解不等式②：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
故答案为：；
（2）由①去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，如图：
故不等式组的解集为：，
故答案为：．
18. 先化简再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，先根据分式的混合运算法则化简，再将值代入即可得出答案．
【详解】解：原式
，
当，时，原式．
19. 如图，四边形是平行四边形，过中点O且交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由）
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，且，即可证；
（2）由可得，，即可证四边形是平行四边形，且，可证平行四边形是矩形．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，矩形的判定，熟练掌握这些性质是解决本题的关键．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形
，，
，
是中点，
，
，，，
∴；
【小问2详解】
解：添加条件是，四边形是矩形．
理由如下：
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，且四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
20. 小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择A线路，第二周（5个工作日）选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间，数据统计如下：（单位：）
数据折线统计图
数据统计表
根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：__________；___________；___________；
（2）__________路线用时相对比较稳定；
（3）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．
【答案】（1）19，26.8，25
（2）B （3）选择B线路，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平均数的定义、中位数的定义、众数的定义、方差的意义；
（1）根据平均数的定义、中位数的定义、众数的定义即可求解；
（2）根据方差的意义选择即可；
（3）根据方差的意义选择即可．
【小问1详解】
解：将A线路所用时间按从小到大顺序排列得：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35，中间两个数是18，20，
∴A线路所用时间的中位数为：，
由题意可知B线路所用时间得平均数为： ，
∵B线路所用时间中，出现次数最多的数据是25，有两次，其他数据都是一次，
∴B线路所用时间的众数为：
故答案为：19，26.8，25；
【小问2详解】
A线路的方差B线路的方差6.36，
故B线路用时相对比较稳定；
故答案为：B；
【小问3详解】
选择B线路，理由如下：
小红统计的选择A线路平均数为22，选择B线路平均数为26.8，用时差不太多．而方差，相比较B路线的波动性更小，所以选择B线路更优．
21. 如图1是某旅游景点雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得，，．（参考数据：，，）
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求雕塑的高（即点到的距离）．（结果保留小数点后一位）
【答案】（1）见解析 （2）雕塑的高为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据，，可证明，即可证明结论；
（2）根据四边形为平行四边形．得出．，在中，，进而即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，

，
．
∴四边形为平行四边形．
【小问2详解】
过点作于，
∵四边形为平行四边形，
∴．
∵，
∴．
在中，，即，
∴．
答：雕塑的高为．
22. 随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售中心决定采购A型和B型两款新能源汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，若用300万元购进A型汽车的数量比用240万元购进B型汽车的数量少2辆．
（1）每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？
以下是甲，乙两名同学求解思路：
甲所列方程中的x表示__________，乙所列方程中的x表示______________；
A．A型汽车的进价 B．B型汽车的进价 C．A型汽车的数量 D．B型汽车的数量
（2）该汽车销售中心购进A型和B型汽车共20辆，已知A型汽车的售价为35万元，B型汽车的售价为23万元．若要是使销售总利润不低于75万元，则至少应购进A型汽车多少辆？
【答案】（1）C，B （2）至少应购进型汽车8辆
【解析】
【分析】本题考查了分式方程、一元一次不等式的实际应用，理解题意，列出方程和不等式是解决问题的关键．
（1）根据“每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，若用300万元购进A型汽车的数量比用240万元购进B型汽车的数量少2辆” 列分式方程，即可求解；
（2）根据（1）求得，的进价，设购进型汽车辆，根据题意得购进型汽车辆，再根据“销售总利润不低于75万元”列出不等式即可求解．
【小问1详解】
解：由甲的等量关系可知，甲是利用“型汽车的进价型汽车的进价”所列的方程，
∵进价总价数量，
则设300万元购进型汽车的数量为辆，则240万元购进型汽车的数量为辆，
可列方程为，
∴甲所列方程中的表示型汽车的数量；
由乙的等量关系可知，乙是利用“ 型汽车的数量型汽车的数量”所列的方程，
∵数量总价进价，
则设型汽车的进价为万元，则型汽车的进价为万元，
可列方程为，
∴乙所列方程中的表示型汽车的进价；
故选：C，B；
【小问2详解】
解：设型汽车的进价为万元，则型汽车的进价为万元，
则，解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，
，
即：每辆型汽车的进价为20万元，则每辆型汽车的进价为30万元，
设购进型汽车辆，根据题意得购进型汽车辆，
由题意可得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴至少应购进型汽车8辆．
23. “跳大绳”是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．某校在大课间活动中开展了“跳大绳”活动．九（2）班选择小明和小亮摇动大绳，他们持绳点距地面均为，大绳在最高处时，形状可近似看作抛物线，如图，小明和小亮的持绳点分别为点A和点B，以小明的持绳点的竖直方向为y轴，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系，在离点O的水平距离为时，大绳的最大高度为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）小红在跳绳时，距离小明的水平距离（即与点O的水平距离），当绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶正上方处，求小红的身高；
（3）在（2）的条件下，身高为的体育老师刘老师也参加了活动，当刘老师跳进大绳，直立落地时，绳子甩到最高处，且正好扫过刘老师的头顶，求刘老师与小红间的水平距离．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出的函数值，进一步求出小红的身高即可，
（3）求出时的的值，进一步求解即可．
【小问1详解】
解：设抛物线的表达式为，
由题意知，抛物线顶点坐标为，
则抛物线的表达式为，
将0,1点代入得，解得，
．
即抛物线的表达式为．
【小问2详解】
把代入
得，，
即小红的身高是1.6 m；
【小问3详解】
当时，，
解得或，
刘老师与小红之间的水平距离为或，
答：刘老师与小红间的水平距离是或．
24. 如图，在中，，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，，于点D，E，F，且点是弧的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理、扇形的面积、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理．
（1）连接、，证出，即可得出结论；
（2）根据，分别求出和即可得出答案．
【小问1详解】
证明：连接、，

，
，
，
，
，则，
点是弧的中点，
，
，
，
为半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：，，
为等腰直角三角形，
设，则，，
，
，
，
，
．
25. 如图，直线的图像与轴，轴分别交于点，，点与点关于原点对称，反比例函数的图像经过平行四边形的顶点．
（1）求点的坐标及反比例函数的解析式；
（2）动点从点到点，动点从点到点，都以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为秒，当为何值时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？
【答案】（1），
（2）当时，四边形的面积最小，此时面积为
【解析】
【分析】（1）分别得出点和点的坐标，由对称性可得出点的坐标，根据平行四边形的性质可得出点的坐标，将点的坐标代入反比例函数解析式即可得出结论；
（2）过点作于点，根据面积公式可得出四边形的面积与的函数关系，最后根据二次函数的性质可得出结论．
【小问1详解】
∵直线的图像与轴，轴分别交于点，，
令，则，
∴，
令，则，
∴，
∵点与点关于原点对称，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∴，，
∴，
∵的图像经过平行四边形的顶点，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
【小问2详解】
由（1）可知：，，
∴，，
∴，
由题意可知：，则，
过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
，
∵，
∴当时，四边形面积最小为
【点睛】本题属于反比例函数与一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质等相关知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
26. 综合与探究
【特例感知】
（1）如图1，已知，则，，可得；这一步的依据是____________________________．又因为，可得；
【类比探究】
（2）如图2，点P是线段上与点A，点B不重合的任意一点，分别以A，P，B为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段为等联线．
①请直接写出图2中与的形状关系___________________；
②如图3，在边长均为方格的纸上，小正方形的顶点为格点，A，B在格点上．请用两种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
【迁移应用】
（3）如图4，在矩形中，，，点P是线段上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交线段于点E，是否存在这样的点P，使的周长等于周长的4倍？若存在，请求出的长度；若不存在，请简要说明理由．

【答案】（1）同角的余角相等；（2）①；②见解析；（3）存在这样的点P，使周长等于周长的4倍，
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，一元二次方程的应用；
（1）根据同角的余角相等即可求解；
（2）①根据三角形的外角的性质得出，进而结合，即可得证；
②根据新定义，画出等联角；
（3）设，，当在线段上时即，证明，根据相似三角形的性质，根据题意结合相似三角形的性质得出，联立解析式，解方程即可求解．
【详解】解：（1）如图1，已知，则，，
可得，这一步的依据是是同角的余角相等．
又因为，可得；
故答案为：同角的余角相等；
（2）①∵，
∴
又∵
∴

故答案为：；
②解：如图所示（方法不唯一）

（3）存在这样的点P，使周长等于周长的4倍，，理由如下：
设，，当在线段上时即，如图所示，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴
当时，即重合，此时重合，则，不符合题意，
∴
∵
∴当周长等于周长的4倍时，
即，即，，
解得：x=0（舍去）或，
即：，
∴存在这样的点P，使周长等于周长的4倍，．试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A路用时
15
32
15
16
34
18
21
14
35
20
B路用时
25
29
23
25
27
26
31
28
30
24
平均数
中位数
众数
方差
A线路所用时间
22
a
15
63.2
B线路所用时间
b
26.5
c
6.36
分析问题
列出方程
解出方程
甲
设……
等量关系：A型汽车的进价型汽车的进价
经检验是原方程的解．
乙
设……
等量关系：A型汽车的数量型汽车的数量
经检验是原方程的解．