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黑龙江省绥化市兰西县第一中学校2024-2025学年高二上学期暑假验收（开学）数学试题
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时间：2小时；分值：150
一、单选题（每题5分，40分）
1. （ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式和二倍角的正弦公式可求三角函数式的值.
【详解】，
故选：D.
2. 在中，点D，N分别满足，，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量的线性运算，用表示.
【详解】在中，点D，N分别满足，，若，，
则
.
故选：D.
3. 棱长为的正方体的内切球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算出内切球的半径，结合球体表面积公式可求得结果.
【详解】棱长为的正方体的内切球的半径为，故该球的表面积为.
故选：A.
4. 11月29日，江西新余仙女湖的渔民们迎来入冬第一个开捕日，仙女湖的有机鱼迎来又一个丰收年.七位渔民分在一个小组，各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（ ）
A. 96种B. 120种C. 192种D. 240种
【答案】C
【解析】
【分析】先将甲乙捆绑成一个单元，再讨论其所排位置，运算求解.
【详解】由题意可知：丙必须在最中间（第4位），则甲乙排在第1、2位或2、3位或5、6位或6、7位，
故不同的排法有种.
故选：C
5. 若圆锥的轴截面是斜边为4的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥性质求出圆锥高、母线与底面半径关系，根据圆锥体体积公式求解.
【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，
因为圆锥的轴截面是斜边为4的等腰直角三角形，
所以，所以，
圆锥的高，
所以圆锥的体积为.
故选：B.
6. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】化简复数再求出复数对应点即可判断象限.
【详解】,
则z在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
7. 如图，已知正方体的棱长为1，点为上一动点，现有以下四个结论：①面面；②面；③当为的中点时，的周长取得最小值；④三棱锥的体积是定值，其中正确的结论个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】证得平面，根据平面与平面垂直判定，可知①正确；由平面平面，根据平面与平面平行的性质可知②正确；根据三点共线，线段和最小，可得③正确；由三棱锥等体积法可求得，可知④错误．
【详解】
连接,因为正方体，所以平面，且平面，所以，又因为，且，所以平面，平面，所以，同理，且，所以平面，且平面，所以平面平面，故①正确；
因为平面平面，且平面，所以面，故②正确；
的周长等于，而为体对角线是定值，所以周长最小即为最小，将平面展开到平面在同一个平面，如图：
当三点共线时，最小，则为的中点时，故③正确；
，故④正确.
故选：D.
8. 已知，为椭圆（）的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则此椭圆离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆方程和已知条件求出椭圆上一点横坐标关于的表达式，再利用已知条件和椭圆的范围求出离心率的范围即可.
【详解】设，则，
所以，即，
把代入椭圆方程可得，消去得，整理可得，解得
又，整理的，解得
所以离心率的取值范围是.
故选：C
二、多选题（每题6分，18分）
9. 给出以下24个数据：
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.2 157.0
158.0 158.0 159.0 159.5 161.5 162.0 162.5 162.5
163.0 163.0 164.0 164.1 165.0 170.0 171.0 172.0
对于以上给出的数据，下列选项正确的为（ ）
A. 极差为24.0B. 第75百分位数为164.0
C. 第25百分位数为155.2D. 80%分位数为164.1
【答案】AD
【解析】
【分析】根据极差百分位数的定义，确定所求数据，即可求解.
【详解】对A，由数据可得，极差为，故A正确；
对BCD，由，，，
可知样本数据的第25，75，80百分位数为第6，7位的平均数，第18，19位的平均数，第20项数据，分别为，，和164.1，故BC错误，D正确；
故选：AD
10. 下列基本事实叙述正确的是（ ）
A. 经过两条相交直线，有且只有一个平面
B. 经过两条平行直线，有且只有一个平面
C. 经过三点，有且只有一个平面
D. 经过一条直线和一个点，有且只有一个平面
【答案】AB
【解析】
分析】根据基本事实以及推论即可逐项判断.
【详解】根据基本事实以及推论，易知A，B正确；
对于C项，若三点共线，经过三点的平面有无数多个，故C错误；
对于D，若这个点在直线外，则确定一个平面，若这个点在直线上，可有无数平面，故D不正确；
故选：AB
11. 已知正六边形的中心为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 存在实数，使得D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于ABC：根据正六边形的几何性质结合向量的线性运算分析判断；对于D：根据题意结合向量的数量积运算分析判断.
【详解】如图，不妨设正六边形的边长为1，
对于选项A：因为，故A正确；
对于选项B：因为，故B错误；
对于选项C：因为，
且，
可知，故C正确；
对于选项D：因为，
则，
，
所以，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题（每题5分，15分）
12. 已知正三角形边长为2，若点在边上且满足，则________
【答案】
【解析】
【分析】
由得到、，再由可得答案.
【详解】
，
所以，所以，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了平面向量基本定理、数量积的运算，关键点是，的转化，考查了向量的基本运算.
13. 某班共有36名男生和24名女生，统计他们的体重数据（单位：kg），已知男生体重的平均数为65，方差为34，全体学生体重的平均数为59，方差为86，则该班女生体重的方差为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用均值公式求得女生体重均值，应用方差公式及男生的体重方差和求全体学生的体重方差求解女生的体重方差.
【详解】设男生平均体重为，方差为，女生平均体重为，方差为，全体学生体重为，方差为，
则男生在班级中所占比重为，女生在班级中所占比重为，
故，，，，
所以，解得，
，解得.
故答案为:
14. 如图，小明在山脚测得山顶的仰角为45°，在山脚测得山顶的仰角为30°，测得，，是钝角，已知山脚和，在同一水平面上，则山的高度为______．
【答案】100
【解析】
【分析】设，分别在和中求得和，在中利用余弦定理求得，再检验时不满足是钝角，时满足题意，即得答案.
【详解】在中，设，，，
在中，，，，
在中，由余弦定理，得，
即，
解得或，即或．
若，则，，所以是直角三角形，
而是直角三角形与是钝角矛盾，舍去.
若，则，而，故，满足是钝角.
所以．
故答案为：100.
四、解答题(77分)
15. 如图，四面体中，，D在棱上，，，，，证明平面PBC.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】连接PD，证明，然后利用线面垂直的判定定理即可得到证明.
【详解】证明：连接PD
，，
∴由余弦定理，，
又
平面PBC
16. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，后画出如图的频率分布直方图.
观察图形的信息，回答下列问题：
（1）估计这次考试成绩的众数；
（2）估计这次考试成绩的及格率（分及以上及格）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据频率分布直方图中最高的小矩形，即可求出这次考试成绩的众数；（2）通过频率分布直方图，可估计该次考试中的及格率.
试题解析：（1）因为第四组的频率最大，所以这次考试成绩的众数为；
（2）依题意，及以上分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为，
所以，抽样学生成绩的合格分及以上是.
考点：频率分布直方图的应用及中位数.
17. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别是平面AA1D1D、平面A1B1C1D1的中心，证明：
（1）D1Q∥平面C1DB；
（2）平面D1PQ∥平面C1DB.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【解析】
【分析】
(1)D1Q∥DB且D1Q⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB，由线面平行判定定理可证D1Q∥平面C1DB
(2)同(1)，线面平行判定定理可证D1P∥平面C1DB，结合(1)结论且D1Q∩D1P＝D1，由面面平行判定定理可证平面D1PQ∥平面C1DB
【详解】证明：（1）由ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，可知D1Q∥DB，
∵D1Q⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB，
∴D1Q∥平面C1DB.
（2）由ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，D1P∥C1B，
∵D1P⊄平面C1DB，C1B⊂平面C1DB，
∴D1P∥平面C1DB，
由（1）知，D1Q∥平面C1DB，
又D1Q∩D1P＝D1
∴平面D1PQ∥平面C1DB.
【点睛】本题考查了线面、面面平行的判定定理，由线面平行可证两相交直线平行一个平面，再根据面面平行的判定定理即证两平面平行
18. 在△中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，.若M是BC的中点，且，求△的面积.
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理及勾股定理易知△等腰直角三角形，结合已知，在△中应用正弦定理求得，进而可得，最后由三角形面积公式求面积即可.
【详解】由题设，，故，
所以△等腰直角三角形，而，
在△中，，则，可得，
所以，且M是BC的中点，则.
19. 已知复数满足.
（1）若是实数，求复数；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）复数或；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用实数概念及模长，即可得到复数；
（2）利用点与圆的位置关系，即可得到取值范围.
【详解】（1）设i ，、，则，
又是实数，
∴，又，
∴或，
∴复数或；
（2）
表示复数对应的点与对应的点间的距离，
而复数在以原点为圆心，半径为5的圆上，
如图所示，
，
∴.
时间：2小时；分值：150
一、单选题（每题5分，40分）
1. （ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式和二倍角的正弦公式可求三角函数式的值.
【详解】，
故选：D.
2. 在中，点D，N分别满足，，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量的线性运算，用表示.
【详解】在中，点D，N分别满足，，若，，
则
.
故选：D.
3. 棱长为的正方体的内切球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算出内切球的半径，结合球体表面积公式可求得结果.
【详解】棱长为的正方体的内切球的半径为，故该球的表面积为.
故选：A.
4. 11月29日，江西新余仙女湖的渔民们迎来入冬第一个开捕日，仙女湖的有机鱼迎来又一个丰收年.七位渔民分在一个小组，各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（ ）
A. 96种B. 120种C. 192种D. 240种
【答案】C
【解析】
【分析】先将甲乙捆绑成一个单元，再讨论其所排位置，运算求解.
【详解】由题意可知：丙必须在最中间（第4位），则甲乙排在第1、2位或2、3位或5、6位或6、7位，
故不同的排法有种.
故选：C
5. 若圆锥的轴截面是斜边为4的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥性质求出圆锥高、母线与底面半径关系，根据圆锥体体积公式求解.
【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，
因为圆锥的轴截面是斜边为4的等腰直角三角形，
所以，所以，
圆锥的高，
所以圆锥的体积为.
故选：B.
6. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】化简复数再求出复数对应点即可判断象限.
【详解】,
则z在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
7. 如图，已知正方体的棱长为1，点为上一动点，现有以下四个结论：①面面；②面；③当为的中点时，的周长取得最小值；④三棱锥的体积是定值，其中正确的结论个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】证得平面，根据平面与平面垂直判定，可知①正确；由平面平面，根据平面与平面平行的性质可知②正确；根据三点共线，线段和最小，可得③正确；由三棱锥等体积法可求得，可知④错误．
【详解】
连接,因为正方体，所以平面，且平面，所以，又因为，且，所以平面，平面，所以，同理，且，所以平面，且平面，所以平面平面，故①正确；
因为平面平面，且平面，所以面，故②正确；
的周长等于，而为体对角线是定值，所以周长最小即为最小，将平面展开到平面在同一个平面，如图：
当三点共线时，最小，则为的中点时，故③正确；
，故④正确.
故选：D.
8. 已知，为椭圆（）的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则此椭圆离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆方程和已知条件求出椭圆上一点横坐标关于的表达式，再利用已知条件和椭圆的范围求出离心率的范围即可.
【详解】设，则，
所以，即，
把代入椭圆方程可得，消去得，整理可得，解得
又，整理的，解得
所以离心率的取值范围是.
故选：C
二、多选题（每题6分，18分）
9. 给出以下24个数据：
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.2 157.0
158.0 158.0 159.0 159.5 161.5 162.0 162.5 162.5
163.0 163.0 164.0 164.1 165.0 170.0 171.0 172.0
对于以上给出的数据，下列选项正确的为（ ）
A. 极差为24.0B. 第75百分位数为164.0
C. 第25百分位数为155.2D. 80%分位数为164.1
【答案】AD
【解析】
【分析】根据极差百分位数的定义，确定所求数据，即可求解.
【详解】对A，由数据可得，极差为，故A正确；
对BCD，由，，，
可知样本数据的第25，75，80百分位数为第6，7位的平均数，第18，19位的平均数，第20项数据，分别为，，和164.1，故BC错误，D正确；
故选：AD
10. 下列基本事实叙述正确的是（ ）
A. 经过两条相交直线，有且只有一个平面
B. 经过两条平行直线，有且只有一个平面
C. 经过三点，有且只有一个平面
D. 经过一条直线和一个点，有且只有一个平面
【答案】AB
【解析】
分析】根据基本事实以及推论即可逐项判断.
【详解】根据基本事实以及推论，易知A，B正确；
对于C项，若三点共线，经过三点的平面有无数多个，故C错误；
对于D，若这个点在直线外，则确定一个平面，若这个点在直线上，可有无数平面，故D不正确；
故选：AB
11. 已知正六边形的中心为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 存在实数，使得D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于ABC：根据正六边形的几何性质结合向量的线性运算分析判断；对于D：根据题意结合向量的数量积运算分析判断.
【详解】如图，不妨设正六边形的边长为1，
对于选项A：因为，故A正确；
对于选项B：因为，故B错误；
对于选项C：因为，
且，
可知，故C正确；
对于选项D：因为，
则，
，
所以，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题（每题5分，15分）
12. 已知正三角形边长为2，若点在边上且满足，则________
【答案】
【解析】
【分析】
由得到、，再由可得答案.
【详解】
，
所以，所以，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了平面向量基本定理、数量积的运算，关键点是，的转化，考查了向量的基本运算.
13. 某班共有36名男生和24名女生，统计他们的体重数据（单位：kg），已知男生体重的平均数为65，方差为34，全体学生体重的平均数为59，方差为86，则该班女生体重的方差为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用均值公式求得女生体重均值，应用方差公式及男生的体重方差和求全体学生的体重方差求解女生的体重方差.
【详解】设男生平均体重为，方差为，女生平均体重为，方差为，全体学生体重为，方差为，
则男生在班级中所占比重为，女生在班级中所占比重为，
故，，，，
所以，解得，
，解得.
故答案为:
14. 如图，小明在山脚测得山顶的仰角为45°，在山脚测得山顶的仰角为30°，测得，，是钝角，已知山脚和，在同一水平面上，则山的高度为______．
【答案】100
【解析】
【分析】设，分别在和中求得和，在中利用余弦定理求得，再检验时不满足是钝角，时满足题意，即得答案.
【详解】在中，设，，，
在中，，，，
在中，由余弦定理，得，
即，
解得或，即或．
若，则，，所以是直角三角形，
而是直角三角形与是钝角矛盾，舍去.
若，则，而，故，满足是钝角.
所以．
故答案为：100.
四、解答题(77分)
15. 如图，四面体中，，D在棱上，，，，，证明平面PBC.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】连接PD，证明，然后利用线面垂直的判定定理即可得到证明.
【详解】证明：连接PD
，，
∴由余弦定理，，
又
平面PBC
16. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，后画出如图的频率分布直方图.
观察图形的信息，回答下列问题：
（1）估计这次考试成绩的众数；
（2）估计这次考试成绩的及格率（分及以上及格）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据频率分布直方图中最高的小矩形，即可求出这次考试成绩的众数；（2）通过频率分布直方图，可估计该次考试中的及格率.
试题解析：（1）因为第四组的频率最大，所以这次考试成绩的众数为；
（2）依题意，及以上分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为，
所以，抽样学生成绩的合格分及以上是.
考点：频率分布直方图的应用及中位数.
17. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别是平面AA1D1D、平面A1B1C1D1的中心，证明：
（1）D1Q∥平面C1DB；
（2）平面D1PQ∥平面C1DB.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【解析】
【分析】
(1)D1Q∥DB且D1Q⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB，由线面平行判定定理可证D1Q∥平面C1DB
(2)同(1)，线面平行判定定理可证D1P∥平面C1DB，结合(1)结论且D1Q∩D1P＝D1，由面面平行判定定理可证平面D1PQ∥平面C1DB
【详解】证明：（1）由ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，可知D1Q∥DB，
∵D1Q⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB，
∴D1Q∥平面C1DB.
（2）由ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，D1P∥C1B，
∵D1P⊄平面C1DB，C1B⊂平面C1DB，
∴D1P∥平面C1DB，
由（1）知，D1Q∥平面C1DB，
又D1Q∩D1P＝D1
∴平面D1PQ∥平面C1DB.
【点睛】本题考查了线面、面面平行的判定定理，由线面平行可证两相交直线平行一个平面，再根据面面平行的判定定理即证两平面平行
18. 在△中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，.若M是BC的中点，且，求△的面积.
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理及勾股定理易知△等腰直角三角形，结合已知，在△中应用正弦定理求得，进而可得，最后由三角形面积公式求面积即可.
【详解】由题设，，故，
所以△等腰直角三角形，而，
在△中，，则，可得，
所以，且M是BC的中点，则.
19. 已知复数满足.
（1）若是实数，求复数；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）复数或；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用实数概念及模长，即可得到复数；
（2）利用点与圆的位置关系，即可得到取值范围.
【详解】（1）设i ，、，则，
又是实数，
∴，又，
∴或，
∴复数或；
（2）
表示复数对应的点与对应的点间的距离，
而复数在以原点为圆心，半径为5的圆上，
如图所示，
，
∴.
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