湖南省怀化市铁路第一中学2024-2025学年高一上学期入学分班考试数学模拟卷（原卷版）

这是一份湖南省怀化市铁路第一中学2024-2025学年高一上学期入学分班考试数学模拟卷（原卷版），共6页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知任意有理数，在下面各说法中：
（1）方程的解是；（2）方程的解是；
（3）方程的解是；（4）方程的解是．
结论正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
2. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A. B. C. D.
3. 设三角形的三边、、满足，则这个三角形的形状是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 无法确定
4. 已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点在轴上，点、、、、、、在轴上．若正方形的边长为1，，，则点到轴的距离是（ ）

A. B. C. D.
5. 如图，是函数图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，作轴于点，交于点，作轴于点，交于点．则的值为（ ）
A. 2B. C. 1D.
6. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，点是该抛物线上一点，若点,是抛物线上任意一点，有下列结论：
①；
②若，则；
③若，则；
④若方程有两个实数根和，且，则．
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7. 已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，、是一元二次方程的两个不相等的实数根，其中．若，则的值为（ ）
A. 8B. 9C. 12D. 18
8. 如图，正方形边长为4，点，分别在边，上，且满足，，交于点，，分别是，的中点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ）
A. 10月测试成绩为“优秀”的学生有40人
B. 9月体育测试中学生的及格率为
C. 从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D. 12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多
10. 下列函数中，当时，函数值随的增大而增大依次是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，点是正方形对角线上一点（不与点，点重合），点是正方形的外角的角平分线上一点，且，连接，．下列说法正确的是（ ）
A. 当点是的中点时，四边形是平行四边形
B. 的值为常数
C. 当时，
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ，，，这四个数中最小的数是______.
13. 如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，顶点为格点．若的顶点均是格点，则的值是__．

14. 如图，点、、均在坐标轴上，，过、、作，是上任意一点，连结，，则的最大值是____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）解方程
（2）先化简，再求值：，其中、满足．
16. 如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．
（1）浮出水面2.5秒后，盛水筒距离水面约多高？
（2）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，已知，求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽中（即点恰好在直线上）？
（参考数据，，)
17. 已知关于的一元二次方程.
（1）判断方程根情况；
（2）若方程的两根、满足，求值；
（3）若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为5，
①则为何值时，是以为斜边的直角三角形？
②为何值时，是等腰三角形，并求出的周长.
18. 如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且．

（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，，
①求面积；
②点为上一点，连接交半径于点，若，求的长．
19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”．
（1）函数①；②；③，其中函数 是在上的“美好函数”；（填序号）
（2）已知函数．
①函数是在上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值；
（3）已知函数，若函数是在（为整数）上“美好函数”，且存在整数，使得，求的值．