河南省洛阳市第一高级中学2025届高三上学期开学数学试题（解析版）

这是一份河南省洛阳市第一高级中学2025届高三上学期开学数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了 关于函数，下列结论正确的是， 下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.
故选：B.
2. 设，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，借助特殊值0，可得最小，再利用得出大小.
【详解】由可得，
，，
下面比较，
因为，所以，
所以，
而，故，所以，
综上，.
故选：B
3. 已知函数,若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出的图象，得到，问题转化为，换元后进行求解，得到答案.
【详解】作出的图象，如图所示：

由，可得，
则，
令，
则，
故．
故选：D．
4. 希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出的外接圆半径，得弓形面积，再求得大的半圆面积，相减可得结论．
【详解】因为，，
所以，所以，
设的外接圆的圆心为O，半径为R，如图所示，
由正弦定理得，所以，
内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为，
则弓形的面积为，
外侧的圆弧以为直径，所以半圆的面积为，
则月牙形的面积为.
故选：A．
5. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理得，再通过两角和的正切公式得，最后使用基本不等式求解即可.
【详解】因为，
由正弦定理得，
所以，
又因，
所以，
所以，
即.
所以，
显然必为正（否则和都为负，就两个钝角），
所以，
当且仅当，即取等号.
所以.
故选：B.
6. 已知正方形的边长为2，点P在以A为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】不妨设，，根据两点间距离公式结合正弦函数的最值分析求解.
【详解】不妨设，
因为，设，
则
，
因为，则，
可知当，即时，取得最小值，
所以的最小值为.
故选：D.
【点睛】结论点睛：以为圆心，半径为的圆上的任一点可设为
7. 在棱长为5的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，作出辅助线，得到⊥平面，由点到平面的距离和球的半径得到点的轨迹为以为半径的圆，从而求出点的轨迹长度.
【详解】以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，
球心，取的中点，的中点，连接，
则，，
，
故，，
又，平面，
故⊥平面，
故当位于平面与内切球的交线上时，满足，
此时到平面的距离为
，
，其中为平面截正方体内切球所得截面圆的半径，
故点的轨迹为以为半径的圆，
故点的轨迹长度为.
故选：B
8. 若函数在上单调递增，则和的可能取值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】二次求导得到在上单调递增，要想在上单调递增，只需，再逐项检验.
【详解】，且，且，
，令，
则恒成立，
故在上单调递增，
要想在上单调递增，
只需，即只需，
对A, 令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
故，即，则 ，A错误；
对B, ，B错误；
对C, 令，，
则恒成立，
故在上单调递减，
故，即，C错误；
对D，令，
当， φx单调递减，
故，即
因为，
即，D正确．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性求参数，关键是利用二次导数判断出.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9. 关于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 定义域为
B. 是偶函数
C. 的图象关于点对称
D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】由可求定义域判断A；根据定义域是否关于原点对称判断B；计算是否为0判断C；由复合函数的单调性判断D.
【详解】对于A，由得或，故定义域为，A正确；
对于B，因为定义域不关于原点对称，故不是偶函数，B错误；
对于C，因为
，
所以图象关于点对称，正确；
对于D，，
因为函数在区间上单调递增，且在上单调递增，
所以在上单调递增，D正确.
故选：ACD.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 若复数，满足，则
B. 若复数，满足，则
C. 若向量，满足，则
D. 若复数满足，则
【答案】CD
【解析】
【分析】对于AB：举反例说明即可；对于C：根据模长结合数量积的运算律分析求解；对于D：由整理可得，即可得结果.
【详解】对于选项AB：例如，，
则，但，不能比较大小，即不成立，故A错误；
且，满足，
但，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，整理得，故C正确；
对于选项D：因为，则，整理得，
依此类推可得，故D正确；
故选：CD.
11. 甲､乙､丙､丁四人玩报数游戏：第一轮，甲报数字1，乙报数字2，3，丙报数字4，5，6，丁报数字7，8，9，10；第二轮，甲报数字11，12，13，14，15，依次循环，直到报出数字10000，游戏结束，则（ ）
A. 甲在第10轮报了33个数字
B. 数字2023是丁报的
C. 甲共报了37轮
D. 甲在前四轮所报数字之和为1540
【答案】BD
【解析】
【分析】利用等差数列的性质和求和公式，依次判断每个选项得到答案.
【详解】甲乙丙丁第轮的报数个数分别为，
前轮共报数个数为，
对选项A：甲在第10轮报了个数字，错误；
对选项B：当时，；当时，；
故在第轮报数中，，故数字2023是丁报的，正确；
对选项C：当时，；
当时，；故甲报了轮，错误；
对选项D：甲在前四轮所报数字之和为：
，正确；
故选：BD.
【点睛】思路点睛：从数列到数阵，尽管数的排列形式发生了变化，但问题的实质仍然是数列问题，只要我们抓住每行首项，找准每行变化规律，从数阵中构造新数列，那么解决问题的思想和方法仍然不变，可谓“形散神不散”.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 设，记函数在区间上的最大值为，若对任意，都有，则实数的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据在内单调递增，分析可知或，整理得关于的不等式或的解集为，可得，运算求解即可.
【详解】因为，则在内单调递增，
则在内单调递增，
又因为在区间上的最大值为，
可得或，
由题意可知：或，
则或，
整理得或，
即关于的不等式或的解集为，
可知，
整理得，则，
又因为，解得，所以的最大值为.
故答案为：．
【点睛】方法点睛：恒成立问题解题方法指导：
方法1：分离参数法求最值.
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)恒成立⇔；
恒成立⇔；
能成立⇔；
能成立⇔.
方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．
13. 在中，，D为BC的中点，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先设，由三角形三边关系得到，再利用三角函数的诱导公式与余弦定理得到，从而利用换元与基本不等式求得的最小值，结合与在上的单调性即可求得的最大值.
【详解】设，则，
因为为的中点，，所以，
由三角形三边关系，可知且，解得，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
因为，所以,
所以，解得，
则，，
令，则，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，此时，解得，
因为，所以．
因为在上单调递减，在单调递增，
所以当取得最小值时，取得最大值，
此时，则，
所以的最大值为.
故答案为：.
.
【点睛】关键点睛：本题中突破口为，由此得到，再结合余弦定理得到，最后利用基本不等式即可得解.
14. 将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲､乙两个圆锥的侧面，甲､乙两个圆锥的侧面积分别为和，体积分别为和.若，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，
又，则，所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间不单调，求出实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.
（2）对进行分类讨论，根据的单调性求得的取值范围.
【小问1详解】
由是定义在上的奇函数，所以，
又时，，
所以时，，
所以，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
当时，，
若，由知，上递增，不合题意；
，，
所以在上先减再增，符合函数在上不单调，
综上，实数的取值范围为.
16. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，已知该疾病的患病率为，经过大量调查，得到如图的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性.将患病者判定为阴性或将未患病者判定为阳性均为误诊.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
（1）当临界值时，已知某人是患病者，求该人被误诊的概率；
（2）当时，求利用该指标作为检测标准的误诊率的解析式，并求使最小的临界值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据题意矩形面积即可解出；
（2）根据题意确定分段点100，即可得出f(c)的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出.
【小问1详解】
患病者被误诊即被判定为阴性的概率为：.
【小问2详解】
当时，
，
当时，
，
在单调递减，所以时，最小.
17. 如图，在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地（记为），现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，点在上，点在上．
（1）若米，求长；
（2）如果是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管最短，请确定点的位置，并求的最小值．
【答案】（1）米；（2）当米时，的最小值为米．
【解析】
【分析】（1）利用题中的条件三角形的面积是三角形面积的一半，即可解出；
（2）设，则利用三角形的面积是三角形面积的一半，可将的长度用表示出，再利用余弦定理即可解出．
【详解】解：（1）由，，
设，则，
，即的长为．
（2）设，，
在中由余弦定理可得，
又，，
，
，
当且仅当，即时取等号；
即当，分别在，上距离点米时距离最小，最小值为．
18. 如图，在多面体中，都是等边三角形，平面为的中点.
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）由全等三角形的判断方法和线面垂直的判定定理可得平而，进而可得，建立如图空间直角坐标系，利用向量法证明即可；
（2）由（1），利用空间向量法求解线面角即可.
【小问1详解】
由都是等边三角形，，
可得.
取的中点为，则，
又，所以，
所以，即，
又平而，故平而.
因为，所以.
因为平面，平面，
所以，又，所以两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
所以，
所以，则.
【小问2详解】
由（1）知，
设平面的法向量为，
则即
取，则，所以，
设与平面所成的角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
19. 已知数列前项和为，且满足.
（1）证明：.
（2）当时，求证：；
（3）是否存在常数，使得为等比数列？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）存在，
【解析】
【分析】（1）令，求出，即可证得.
（2）法一：根据当时，因为，可得，求出，然后进行放缩可得利用累加法，即可证得.
法二：根据当时，因为，两式相减，可得
求得，然后进行放缩可得，利用累加法可得，从而证得，然后证明从而证得结论.
（3）假设存在实数，使得为等比数列，设其公比为，列出关于的方程组，即可解得.
【小问1详解】
证明：当时，此时，从而，
因为，所以，即.
【小问2详解】
证明：法一：因为，所以，
当时，，因，解得，
当时，因为，又因为，所以，
即，，因为，
从而，
从而，累加可得，
又，故，故当时，.
又，时，也成立，故.
法二：由题意有，从而当时，，解得；
当时，，两式相减可得，
即
从而，则
即时，，，，，
累加可得，又因为，则，
，从而.
又即时，.
又，时，也成立，故.
【小问3详解】
若存在实数，使得为等比数列，不妨设其公比为.
则即，可得，
又，可得，从而，
整理得对任意均成立，
即对任意均成立，故或.
当时，，舍去：
当时，，特别地，，因为，
所以，
解得（舍去）或.
当时，，适合题意.
故存在实数，使得是公比为的等比数列.
【点睛】方法点睛：数列不等式的证明方法主要有：
（1）作差比较法：不等式两边作差与0比较大小；（2）放缩比较法：对表达式适当放缩，证出不等式.