最新高考数学一轮复习-第二周-每日一练【含答案】

这是一份最新高考数学一轮复习-第二周-每日一练【含答案】，共24页。
1．已知常数a∈R，直线l1：x＋ay－2＝0，l2：ax＋y＋1＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为直线l1：x＋ay－2＝0，l2：ax＋y＋1＝0，
当l1∥l2时，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1×1＝a2，,1×1≠－2a，))
解得a＝±1，
所以“a＝1”是“l1∥l2”的充分不必要条件．
2．(2023·长春模拟)已知点P为平面直角坐标系内的圆x2＋y2＝16上的动点，定点A(－3,2)，现将坐标平面沿y轴折成eq \f(2π,3)的二面角，使点A翻折至A′，则A′，P两点间距离的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(13)，3\r(5))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－\r(13)，7))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－\r(13)，3\r(5))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(13)，7))
答案 B
解析 由圆的方程知，圆的半径为4.
当P与A′位于同一半圆时，作出该半圆所在的平面图如图所示，
∵|PA′|≥|OP|－|OA′|＝4－eq \r(－32＋22)＝4－eq \r(13)(当且仅当O，A′，P三点共线且A′在O，P′之间时取等号)，∴当P位于图中P′处时，|PA′|取得最小值4－eq \r(13)；
又当P位于图中Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－4))处时，|PA′|取得最大值|A′M|＝eq \r(－32＋2＋42)＝3eq \r(5)；
当P与A′分别在两个半平面中时，
作A′C⊥平面xOy，垂足为C，作A′E⊥y轴，垂足为E，连接CE，则A，C，E三点共线，设F为CE延长线上的点，则∠A′EF即为翻折后的二面角的平面角，
∵∠A′EF＝eq \f(2π,3)，∴∠A′EA＝eq \f(π,3)，
∵|A′E|＝3，
∴|A′C|＝|A′E|sin∠A′EA＝eq \f(3\r(3),2)，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(CE))＝|A′E|cs∠A′EA＝eq \f(3,2)，
∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，2))；
∵P为圆x2＋y2＝16右半圆上的点，
∴可设P(4cs θ，4sin θ)，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
∴|PC|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4cs θ＋\f(3,2)))2＋(4sin θ－2)2
＝eq \f(89,4)－16sin θ＋12cs θ，
∴|PA′|2＝|PC|2＋|A′C|2
＝29－4(4sin θ－3cs θ)＝29－20sin(θ＋φ)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝－\f(3,4)，φ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))))，
∵θ＋φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，\f(π,2)))，∴当θ＋φ＝－eq \f(π,2)，
即sin(θ＋φ)＝－1时，|PA′|eq \\al(2,max)＝49，
则|PA′|max＝7.
又sin(θ＋φ)29－20＝9，
即|PA′|>3；
综上所述，A′，P两点间距离的取值范围为[4－eq \r(13)，7]．
3．(多选)(2023·深圳模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A处有一只青蛙，假设青蛙会随机地沿一条棱跳到相邻的某个顶点，且跳向每个顶点的概率相同，记青蛙跳动n次后仍在底面ABCD上的概率为Pn，则下列结论正确的是( )
A．P1＝eq \f(2,3)
B．青蛙跳动奇数次后只能位于点B，C，D，A1四个点中某一个点处
C．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Pn－\f(1,2)))是等比数列
D．青蛙跳动4次后恰好回到点A的概率为eq \f(7,27)
答案 ACD
解析 跳动1次后等可能地在顶点B，D，A1处，P1＝eq \f(2,3)，故A正确；
跳动奇数次后只能位于点B，D，A1，C1，跳动偶数次后只能位于点A，C，B1，D1，故B错误；
Pn＋1＝eq \f(2,3)Pn＋eq \f(1,3)(1－Pn)＝eq \f(1,3)Pn＋eq \f(1,3)，
故Pn＋1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Pn－\f(1,2)))，
故eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Pn－\f(1,2)))是等比数列，
且Pn－eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n－1＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n，
即Pn＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3n)＋1))，故C正确；
由点A出发，经过偶数次移动只能到达点A，C，B1，D1(奇数次后只能位于点B，D，A1，C1)，考虑移动n次(n是偶数)返回到A的路径数为An，显然A0＝1.由于移动n－1次后只能位于点B，D，A1，C1，其中位于B，D，A1再移动1次就可能返回到A，所以考虑移动n－2次后所在点A，C，B1，D1，把这四个点分成两类：点A和点C，B1，D1.
若在点A(路径数为An－2)，再移动2次返回到A只有3种折返路径(即ABA，ADA，AA1A)；若在点C，B1，D1(路径数为3n－2－An－2)中的一个，再移动2次返回到A的路径数每个点处都有2条路径(即CBA，CDA，B1BA，B1A1A，D1DA，D1A1A)．综上，移动n次(n是偶数)返回到A的路径数An＝3An－2＋2(3n－2－An－2)，即An－An－2＝2·3n－2，累加可得An＝eq \f(3n＋3,4)，总路径数为3n，故青蛙跳动n(n为偶数)次后恰好回到A的概率为pn＝eq \f(An,3n)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3n－1)＋1))，当n＝4时，p4＝eq \f(7,27)，故D正确．
4．(2023·永州模拟)现有四家工厂生产同一产品，已知它们生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%,20%,30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05,0.04,0.03和0.02，现从四家工厂一天生产的所有产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是________．
答案 0.031 5
解析 由题意，得抽到不合格品的概率为P＝15%×0.05＋20%×0.04＋30%×0.03＋35%×0.02＝0.0315.
5．(2023·广东名校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝4，b＝5eq \r(2)，C＝45°.
(1)求c；
(2)求sin 2A.
解 (1)因为c2＝a2＋b2－2abcs C，
且a＝4，b＝5eq \r(2)，C＝45°，
所以c2＝16＋50－2×4×5eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝26，
所以c＝eq \r(26).
(2)由(1)知，c＝eq \r(26)，
因为eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，且a＝4，c＝eq \r(26)，
所以sin A＝eq \f(asin C,c)＝eq \f(2\r(13),13).
因为a