最新高考数学一轮复习-第四周-每日一练【含答案】

这是一份最新高考数学一轮复习-第四周-每日一练【含答案】，共29页。
1．(2023·钦州模拟)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a5＋a8是一个定值，则下列各数也是定值的是( )
A．a1 B．a6 C．S9 D．S10
答案 C
解析 由a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝3a1＋12d＝3(a1＋4d)＝3a5，
可知a5为定值，S9＝eq \f(9a1＋a9,2)＝9a5也为定值．
2．(2023·湖南四大名校联考)若当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，关于x的不等式ex－xcs x＋cs xln cs x＋ax2≥1恒成立，则满足条件的a的最小整数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 关于x的不等式ex－xcs x＋cs xln cs x＋ax2≥1恒成立，
因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs x>0，
即eq \f(ex,cs x)－x＋ln cs x＋eq \f(ax2,cs x)≥eq \f(1,cs x)，
即eq \f(ex,cs x)－ln eq \f(ex,cs x)≥eq \f(1－ax2,cs x)，
即ln eq \f(ex,cs x)≤eq \f(ex,cs x)－eq \f(1－ax2,cs x)，
令g(x)＝ln x－x＋1，
则g′(x)＝eq \f(1,x)－1＝eq \f(1－x,x)，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0)，且当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，eq \f(ex,cs x)>0，
所以ln eq \f(ex,cs x)≤eq \f(ex,cs x)－1，
所以eq \f(1－ax2,cs x)≤1，即1－ax2≤cs x.
令h(x)＝cs x－1＋eq \f(x2,2)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则h′(x)＝－sin x＋x>0，h(x)>h(0)＝0，
所以cs x>1－eq \f(x2,2)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，据此可以判断当a>eq \f(1,2)时不等式成立，
故满足条件的a的最小整数为1.
3．(多选)(2023·邯郸模拟)已知O为坐标原点，抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过点(0,2)且斜率为k的直线l与E交于A，B两点，C(－3，－2)，则下列叙述正确的是( )
A．E的准线方程为x＝－1
B.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－4恒成立
C．若k＝2，则|FA|＋|FB|＝20
D．若∠CFA＝∠CFB，则k＝－eq \f(3,2)
答案 BD
解析 因为抛物线x2＝2py的焦点F到准线的距离为2，所以p＝2，
所以抛物线方程为x2＝4y，
其准线方程为y＝－1，A错误；
由题意知直线AB的方程为y＝kx＋2，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,y＝kx＋2，))消去y可得x2－4kx－8＝0，
方程x2－4kx－8＝0的判别式Δ＝16k2＋32>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－8，
所以y1y2＝eq \f(x\\al(2,1),4)·eq \f(x\\al(2,2),4)＝4，
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝－4，B正确；
当k＝2时，x1＋x2＝8，x1x2＝－8，
所以y1＋y2＝2x1＋2＋2x2＋2＝20，
所以|FA|＋|FB|＝y1＋y2＋2＝22，C错误；
由∠CFA＝∠CFB可得〈eq \(FC,\s\up6(→))，eq \(FA,\s\up6(→))〉＝〈eq \(FC,\s\up6(→))，eq \(FB,\s\up6(→))〉，
所以cs〈eq \(FC,\s\up6(→))，eq \(FA,\s\up6(→))〉＝cs〈eq \(FC,\s\up6(→))，eq \(FB,\s\up6(→))〉，
故eq \f(\(FC,\s\up6(→))·\(FA,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(FC,\s\up6(→))))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(FA,\s\up6(→)))))＝eq \f(\(FC,\s\up6(→))·\(FB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(FC,\s\up6(→))))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(FB,\s\up6(→)))))，
又Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－2))，
所以eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－3))，eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1－1))，
eq \(FB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2－1))，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(FA,\s\up6(→))))＝y1＋1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(FB,\s\up6(→))))＝y2＋1，
所以eq \f(－3x1－3y1＋3,y1＋1)＝eq \f(－3x2－3y2＋3,y2＋1)，
所以eq \f(－3x1＋6－3y1－3,y1＋1)＝eq \f(－3x2＋6－3y2－3,y2＋1)，
所以eq \f(x1－2,kx1＋3)＝eq \f(x2－2,kx2＋3)，
所以3x1－2kx2＝3x2－2kx1，又x1≠x2，
所以k＝－eq \f(3,2)，D正确．
4.(2023·深圳模拟)足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某足球场的底线宽AB＝72码，球门宽EF＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得∠EPF最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处(OA＝AB，OA⊥AB)时，根据场上形势判断，有eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))两条进攻线路可供选择．若选择线路eq \(OB,\s\up6(→))，则甲带球________码时，到达最佳射门位置．
答案 72eq \r(2)－16eq \r(5)
解析 若选择线路eq \(OB,\s\up6(→))，以线段EF的中点N为坐标原点，eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))的方向分别为x，y轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(－36,0)，O(36,72)，F(－4,0)，E(4,0)，kOB＝eq \f(72,36＋36)＝1，
直线OB的方程为y＝x＋36，
设点P(x，x＋36)，其中－360))的长轴长为4，离心率为eq \f(\r(3),2)，P，Q为C上的两个动点，且直线OP与OQ斜率之积为－eq \f(1,4)(O为坐标原点)，则椭圆C的短轴长为________，|OP|2＋|OQ|2＝________.
答案 2 5
解析 ∵椭圆C的长轴长为2a＝4，∴a＝2，
又离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，∴c＝eq \r(3)，
∴b＝eq \r(a2－c2)＝1，
∴椭圆C的短轴长为2b＝2，
∴椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)＋4y\\al(2,1)＝4，,x\\al(2,2)＋4y\\al(2,2)＝4，,\f(y1,x1)·\f(y2,x2)＝－\f(1,4)，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4y\\al(2,1)＝4－x\\al(2,1)，①,4y\\al(2,2)＝4－x\\al(2,2)，②,4y1y2＝－x1x2，③))
①×②得16yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＝16－4(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2))＋xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)，④
将③代入④得xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝4，
由①＋②得yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2)＝2－eq \f(1,4)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2))＝1，
∴|OP|2＋|OQ|2＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＝5.
5．(2023·福州质检)已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝8，a2n－1＋a2n＋1＝lg2a2n，a2na2n＋2＝16a2n＋1.
(1)证明：数列{a2n－1}是等差数列；
(2)记{an}的前n项和为Sn，Sn>2023，求n的最小值．
(1)证明 方法一 由a2n－1＋a2n＋1＝lg2a2n，
得a2n＝，
则a2n＋2＝，
从而a2na2n＋2＝
＝.
又a2na2n＋2＝，
所以a2n－1＋2a2n＋1＋a2n＋3＝4a2n＋1，
即a2n－1＋a2n＋3＝2a2n＋1，
所以数列{a2n－1}是等差数列．
方法二 由a2n>0，且a2na2n＋2＝，
得lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2na2n＋2))＝lg2，
则lg2a2n＋lg2a2n＋2＝4a2n＋1，
因为a2n－1＋a2n＋1＝lg2a2n，
a2n＋1＋a2n＋3＝lg2a2n＋2，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2n－1＋a2n＋1))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2n＋1＋a2n＋3))＝4a2n＋1，
即a2n－1＋a2n＋3＝2a2n＋1，
所以数列{a2n－1}是等差数列．
(2)解 设等差数列{a2n－1}的公差为d.
当n＝1时，a1＋a3＝lg2a2，即1＋a3＝lg28，
所以a3＝2，所以d＝a3－a1＝1，
所以数列{a2n－1}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a2n－1＝n.
又a2n＝＝2n＋(n＋1)＝22n＋1.
当k∈N*时，S2k－1＝a1＋a2＋a3＋…＋a2k－1
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2k－2)
＝(1＋2＋3＋…＋k)＋(23＋25＋27＋…＋22k－1)
＝eq \f(kk＋1,2)＋8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－4k－1,1－4)))
＝eq \f(kk＋1,2)＋eq \f(84k－1－1,3)，
所以S9＝S2×5－1＝eq \f(5×6,2)＋eq \f(844－1,3)
＝6952 023.
又an>0，则Snφ(2)＝eq \f(ae2－a,4)时，
方程k＝eq \f(aex－a,x2)有三个解，且x14得证．
[周六]
1．(2023·武汉调研)已知集合A＝{x|x2－x－60}，则A∩B等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，2))
答案 C
解析 由题意得A＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，3))，B＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，＋∞))，则A∩B＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3)).
2．碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失．已知碳14的半衰期为5 730年，即生物死亡t年后，碳14所剩质量C(t)＝，其中C0为活体组织中碳14的质量．科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家发现某生物遗体中碳14含量约为原始质量的0.8倍，依据计算结果并结合下图中我国历史朝代的时间轴可推断该生物死亡的朝代为(参考数据：lg 2≈0.301)( )
A．西汉 B．东汉 C．三国 D．晋朝
答案 B
解析 由题意知＝0.8C0，
所以eq \f(t,5 730)lg eq \f(1,2)＝lgeq \f(8,10)，
所以t＝5 730×eq \f(1－3lg 2,lg 2)，
所以t≈5 730×eq \f(1－0.903,0.301)≈1 847.
2 023－1 847＝176，故对应死亡的朝代为东汉．
3．(多选)(2023·青岛模拟)若关于x的方程x2＝－4的复数解为z1，z2，则( )
A．z1·z2＝－4
B．z1与z2互为共轭复数
C．若z1＝2i，则满足z·z1＝2＋i的复数z在复平面内对应的点在第二象限
D．若|z|＝1，则|z－z1·z2|的最小值是3
答案 BD
解析 因为(±2i)2＝－4，
因此不妨令方程x2＝－4的复数解z1＝2i，z2＝－2i，
对于A，z1·z2＝2i·(－2i)＝4，A错误；
对于B，z1与z2互为共轭复数，B正确；
对于C，z1＝2i，由z·z1＝2＋i，
得z＝eq \f(2＋i,2i)＝eq \f(2＋i·－i,2i·－i)
＝eq \f(1－2i,2)＝eq \f(1,2)－i，
则复数z在复平面内对应的点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1))在第四象限，C错误；
对于D，设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z|＝1，得x2＋y2＝1，
显然有－1≤x≤1，由选项A知z1·z2＝4，
因此|z－z1·z2|＝|(x－4)＋yi|
＝eq \r(x－42＋y2)＝eq \r(17－8x)≥3，
当且仅当x＝1，即z＝1时取等号，D正确．
4．(2023·安庆模拟)设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%,35%,20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为________．
答案 5%
解析 令A表示“取到的是一件次品”，B1，B2，B3 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然B1，B2，B3是样本空间Ω的一个划分，
且有P(B1)＝0.45，P(B2)＝0.35，
P(B3)＝0.2.
由于P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.03，
设P(A|B3)＝m，
由全概率公式得
P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)
＝0.02×0.45＋0.03×0.35＋m×0.2，
而P(A)＝2.95%，故m＝5%.
5．(2023·安徽江南十校模拟)我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线．已知椭圆C1：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(00，
解得k∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，
即kAM∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))).
同理可得kBN∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，
由①中结论可知
kBN＝－3kAM∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，
所以kAM∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,6)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，\f(1,2)))，
故w＝keq \\al(2,AM)＋eq \f(2,3)kBN＝keq \\al(2,AM)＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3kAM))
＝keq \\al(2,AM)－2kAM.
设h(x)＝x2－2x，其图象对称轴为x＝1，
则h(x)＝x2－2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,6)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，\f(1,2)))上单调递减，
故h(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(11,36)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,36)，\f(5,4)))，
故w＝keq \\al(2,AM)＋eq \f(2,3)kBN的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(11,36)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,36)，\f(5,4))).
方法二 由于双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，
如图，过点M作两渐近线的平行线l1与l2，由于点A在双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的右支上，
所以直线AM的斜率介于直线l1与l2之间(含x轴，不含直线l1与l2)，
所以kAM∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))).
同理，过点N作两渐近线的平行线l3与l4，由于点B在双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的右支上，
所以直线BN的斜率介于直线l3与l4之间(不含x轴，不含直线l3与l4)，
所以kBN∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
由①中结论可知kBN＝－3kAM∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，
所以kAM∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,6)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，\f(1,2)))，
故w＝keq \\al(2,AM)＋eq \f(2,3)kBN＝keq \\al(2,AM)＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3kAM))
＝keq \\al(2,AM)－2kAM.
设h(x)＝x2－2x，其图象对称轴为x＝1，
则h(x)＝x2－2x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,6)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，\f(1,2)))上单调递减，
故h(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(11,36)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,36)，\f(5,4)))，故w＝keq \\al(2,AM)＋eq \f(2,3)kBN的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，－\f(11,36)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,36)，\f(5,4))).温差x(℃)
8
9
10
11
12
发芽数y(个)
23
24
26
27
30