新高考数学一轮复习函数重难点专题18函数中的新定义问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数，十八世纪，函数 SKIPIF 1 < 0 被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．1C．7D．8
【解析】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 4－(－4)＝8.故选：D.
2．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于选项AD，函数都为单调递增的，故不满足，因此AD都错；
对于选项C， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上都是单调递减的，且在两个区间上 SKIPIF 1 < 0 的取值一正一负，故不满足，因此C错；
对于选项B，函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即为“同族函数”，故满足，因此B正确.
故选：B.
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为实数集R，满足 SKIPIF 1 < 0 （M是R的非空子集），在R上有两个非空真子集A，B，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
同理得：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 ，即值域为{1}．故选：B
4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Bruwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 SKIPIF 1 < 0 存在一个点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，方程无解，所以A不符合题意，
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，方程无解，所以B不符合题意，
对于C，由 SKIPIF 1 < 0 ，得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以此函数为“不动点函数”，所以C正确，
对于D，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，方程无解，所以D不符合题意，，
故选：C
5．四参数方程的拟合函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如 SKIPIF 1 < 0 ），还可以是一条S形曲线，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，该拟合函数图象是（ ）
A．类似递增的双曲线B．类似递增的对数曲线
C．类似递减的指数曲线D．是一条S形曲线
【解析】依题意可得拟合函数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，再向上平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以拟合函数图象是类似递增的双曲线；故选：A
6．在函数 SKIPIF 1 < 0 区间D上的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间D上的导函数为 SKIPIF 1 < 0 .若在区间D上， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则称函数 SKIPIF 1 < 0 在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数， SKIPIF 1 < 0 ，若对满足 SKIPIF 1 < 0 的任何一个实数m，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上都为“凸函数”，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解析】由题设， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴对任意 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为4.故选：A
7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其姓名命名的“高斯函数”为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数，例如 SKIPIF 1 < 0 ，已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，令函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的值域 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C．
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若在定义域内存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为整数，则称函数 SKIPIF 1 < 0 为定义域上的“ SKIPIF 1 < 0 阶局部奇函数”，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的“ SKIPIF 1 < 0 阶局部奇函数”，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，函数 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的“ SKIPIF 1 < 0 阶局部奇函数”，
即关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有解，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有解，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
9．如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们把这样的曲线叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点 SKIPIF 1 < 0 ，其对应的方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为不超过x的最大整数， SKIPIF 1 < 0 ）．若该葫芦曲线上一点N的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则点N的纵坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由曲线过 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，若该葫芦曲线上一点N的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
代入曲线方程得到 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即点N的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D
10．设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 满足条件：存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为“倍缩函数”.若函数 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）为“倍缩函数”，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由已知可得， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数； SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时方程为 SKIPIF 1 < 0 即方程有两个不等的实根，且两根都大于 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足条件 SKIPIF 1 < 0 的范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
二、多选题
11．具有性质： SKIPIF 1 < 0 的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】对于A选项，x＝0在定义域内，不满足“倒负”变换；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，满足“倒负”变换；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不满足“倒负”变换；
对于D选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当x＝1时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足“倒负”变换．
故选：BD.
12．对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的不动点：若 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的稳定点，则下列函数有稳定点的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】A：函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
假设存在稳定点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以对 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，故A有稳定点；
B：函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R，
假设存在稳定点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 在R上无解，故B无稳定点；
C： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故C有稳定点；
D： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故D有稳定点.
故选：ACD.
13．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的函数，对于 SKIPIF 1 < 0 R，令 SKIPIF 1 < 0 ，若存在正整数k使得 SKIPIF 1 < 0 ，且当0