新高考数学一轮复习 导数专项重点难点突破专题09 导数新定义问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1．给出以下新定义：若函数 SKIPIF 1 < 0 在D上可导，即 SKIPIF 1 < 0 存在，且导函数 SKIPIF 1 < 0 在D上也可导，则称 SKIPIF 1 < 0 在D上存在二阶导函数，记 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在D上恒成立，则称 SKIPIF 1 < 0 在D上为凸函数．以下四个函数在定义域上是凸函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．对于三次函数 SKIPIF 1 < 0 ，现给出定义：设 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导数， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导数，若方程 SKIPIF 1 < 0 有实数解 SKIPIF 1 < 0 ，则称点 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 SKIPIF 1 < 0 型，比如：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的极限即为 SKIPIF 1 < 0 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
4．定义方程 SKIPIF 1 < 0 的实根 SKIPIF 1 < 0 叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的“新驻点”，若函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“新驻点”分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 及其导函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个“巧值点”．下列选项中没有“巧值点”的函数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．定义满足方程 SKIPIF 1 < 0 的解 SKIPIF 1 < 0 叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数 SKIPIF 1 < 0 在闭区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象连续不间断，在开区间 SKIPIF 1 < 0 内的导数为 SKIPIF 1 < 0 ，那么在区间 SKIPIF 1 < 0 内至少存在一点c，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，其中c叫做 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，则称 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 阶比增函数”．若函数 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 阶比增函数"，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 及其导数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个“巧值点”，下列函数中，没有“巧值点”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上连续，对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上任意二点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 时，我们称函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即 SKIPIF 1 < 0 .下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．已知函数 SKIPIF 1 < 0 及其导数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个“青山点”．下列函数中，有“青山点”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间D上是减函数，且函数 SKIPIF 1 < 0 在区间D上也是减函数，其中 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数，则称函数 SKIPIF 1 < 0 是区间D的上“缓减函数”，区间D叫作“缓减函数”．则下列区间中，是函数 SKIPIF 1 < 0 的“缓减函数”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
13．定义在区间 SKIPIF 1 < 0 上的连续函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为区间 SKIPIF 1 < 0 上的“中值点”.下列在区间 SKIPIF 1 < 0 上“中值点”多于一个的函数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
14．对于定义域为 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数，若同时满足：
① SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，都有 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为“偏对称函数”.
下列函数是“偏对称函数”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
15．函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，若对于定义域内任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则称 SKIPIF 1 < 0 为恒均变函数．给出下列函数：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 ．其中为恒均变函数的序号是__________________．（写出所有满足条件的函数的序号）
16．我们把形如 SKIPIF 1 < 0 的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得 SKIPIF 1 < 0 ，两边对x求导数，得 SKIPIF 1 < 0 于是 SKIPIF 1 < 0 ，
运用此方法可以求得函数 SKIPIF 1 < 0 在(1,1)处的切线方程是_________.
17．若 SKIPIF 1 < 0 可以作为一个三角形的三条边长，`则称函数 SKIPIF 1 < 0 是区间D上的“稳定函数”．已知函数 SKIPIF 1 < 0 是区间 SKIPIF 1 < 0 上的“稳定函数”，则实数m的取值范围为___________．
18．设函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，若区间 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ．则称函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上为“凹函数”，已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为“凹函数”则实数m的取值范围为__________．
19．对于函数 SKIPIF 1 < 0 可以采用下列方法求导数：由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，两边求导可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .根据这一方法，可得函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值为___________.
20．设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是定义在同一区间 SKIPIF 1 < 0 上的两个函数，若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不同的零点，则称 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是“关联函数”．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是“关联函数”，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是____________．
四、解答题
21．对于函数f（x），若存在实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为函数f（x）的一个不动点.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，
（i）求f（x）的极值点；
（ii）若存在 SKIPIF 1 < 0 既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值：
(2)若f（x）有两个相异的极值点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试问：是否存在a，b使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为f（x）的不动点？证明你的结论.
22．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内是增函数，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)定义：若 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 在其定义域内也单调递增，则称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的“协同增函数”.
已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的“协同增函数”，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
23．记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数．若对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的“凸函数”．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的凸函数，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有极值，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
24．设 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数，我们把使 SKIPIF 1 < 0 的实数x叫做函数 SKIPIF 1 < 0 的好点.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，
（1）若0是函数 SKIPIF 1 < 0 的好点，求a；
（2）若当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 无好点，求a的取值范围.
25．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数）处的切线方程；
（2）若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的下界函数， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的上界函数.
①若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的上界函数；
②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的下界函数，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
26．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
（2）证明：对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
（3）对于函数 SKIPIF 1 < 0 图象上的不同两点 SKIPIF 1 < 0 ，如果在函数 SKIPIF 1 < 0 图象上存在点 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）使得点 SKIPIF 1 < 0 处的切线 SKIPIF 1 < 0 ，则称直线 SKIPIF 1 < 0 存在“伴侣切线”．特别地，当 SKIPIF 1 < 0 时，又称直线 SKIPIF 1 < 0 存在“中值伴侣切线”．试问：当 SKIPIF 1 < 0 时，对于函数 SKIPIF 1 < 0 图象上不同两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
27．如果 SKIPIF 1 < 0 是定义在区间D上的函数，且同时满足：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的单调性相同，则称函数 SKIPIF 1 < 0 在区间D上是“链式函数”.已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）判断函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是否是“链式函数”，并说明理由；
（2）求证：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
28．设函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值4.
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在两个不等正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则把区间 SKIPIF 1 < 0 叫函数 SKIPIF 1 < 0 的“正保值区间”.问函数 SKIPIF 1 < 0 是否存在“正保值区间”，若存在，求出所有的“正保值区间”；若不存在，请说明理由.