新高考数学一轮复习 导数专项重点难点突破专题26 导数中的同构问题（2份打包，原卷版+解析版）

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(2)当a＞0且a≠1时，有 SKIPIF 1 < 0
再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x＞0) (“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)
(3) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(4) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(6) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
再结合常用的切线不等式： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 等，可以得到更多的结论
(7) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(8) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(9) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
1．已知不等式 SKIPIF 1 < 0 最小值为（ ）
SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 只需考虑其为负数的情况， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0
2．已知对任意给定的 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为： ．
【解析】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 显然成立，
SKIPIF 1 < 0
显然 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
3．若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意可知，不等式 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个极值点 SKIPIF 1 < 0 ，该极值点就是 SKIPIF 1 < 0 的最小值点.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
若使得对任意 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 成立.
则需对任意 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 成立.
即对任意 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
设 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个极值点 SKIPIF 1 < 0 ，该极值点就是 SKIPIF 1 < 0 的最大值点.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
4．若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则a的取值范围是______．
【解析】 SKIPIF 1 < 0 整理为： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，注意到： SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不合题意，舍去；
故不满足题意，舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不合题意，舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故不合题意，舍去.
综上：a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【解析】∵对于任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立
∴对于任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求导 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，且为最大值， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故答案为： SKIPIF 1 < 0
6．若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的取值范围为__________．
【解析】 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 不恒成立，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 单调递增，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，原不等式恒成立；

SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】将 SKIPIF 1 < 0 按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形：
由 SKIPIF 1 < 0 移项得： SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，两边同时加（ SKIPIF 1 < 0 ）得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 单增
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单减，在 SKIPIF 1 < 0 单增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
8．对于任意实数 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】解法一：将 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （说明：将参数移至一边）
两边同时乘x得 SKIPIF 1 < 0 （说明：目的是凑右边的结构）
即 SKIPIF 1 < 0 （说明：目的是凑左右两边的结构相同）（#）
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单增
故由（#）得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
再令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，易知当 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
解法二：将 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 单增
故 SKIPIF 1 < 0 （以下同解法一，从略）.
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，求实数a的取值范围．
【解析】(1)函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；单减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)要使函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，即 SKIPIF 1 < 0 有两个实根，
即 SKIPIF 1 < 0 有两个实根．即 SKIPIF 1 < 0 ．
整理为 SKIPIF 1 < 0 ，
设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则上式为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以只需使 SKIPIF 1 < 0 有两个根，设 SKIPIF 1 < 0 ．
由（1）可知，函数 SKIPIF 1 < 0 ）的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；单减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
要想 SKIPIF 1 < 0 有两个根，只需 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
所以a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】 (1) SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故函数 SKIPIF 1 < 0 不存在极值；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值.
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 不存在极值；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有极大值， SKIPIF 1 < 0 ，不存在极小值．
(2)显然 SKIPIF 1 < 0 ，要证： SKIPIF 1 < 0 ，即证： SKIPIF 1 < 0 ，即证： SKIPIF 1 < 0 ，
即证： SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 ，故只须证： SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而有 SKIPIF 1 < 0 ．故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
11．已知 SKIPIF 1 < 0
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)讨论 SKIPIF 1 < 0 的零点个数．
【解析】 (1)因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增
(2)解：因为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的零点转化为 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个零点；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无零点；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
故此时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有两个不同的零点；
综上：当 SKIPIF 1 < 0 时，0个零点；当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，1个零点； SKIPIF 1 < 0 时，2个零点；
12．已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)请讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围
【解析】 (1) SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增
当 SKIPIF 1 < 0 时，在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减
在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增
(2)原式等价于 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为增函数 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴等式等价于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成立， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为减函数，
在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
13．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)是否存在实数a，使 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】 (1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间是 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间是 SKIPIF 1 < 0 .
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增.又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
故对于 SKIPIF 1 < 0 上任意一个值 SKIPIF 1 < 0 ，都有唯一的一个正数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以要使 SKIPIF 1 < 0 ，只需 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不符合题意.
当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增.
所以 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上，存在a符合题意， SKIPIF 1 < 0 .
14．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证：函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
综上：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 无零点.当 SKIPIF 1 < 0 时，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的零点与 SKIPIF 1 < 0 在上 SKIPIF 1 < 0 的零点相同.若 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上各有一个零点，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点，综上 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 .
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，代入上式，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此要证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以可化成 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
15．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间：
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】 (1)当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，在 SKIPIF 1 < 0 递增，
当 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0
而当 SKIPIF 1 < 0 所以当 SKIPIF 1 < 0 递减；
SKIPIF 1 < 0 递增.故函数增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，减区间为 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 可变形为 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，
由（**）可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 取值范围为 SKIPIF 1 < 0
16．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的导数），求a的取值范围．
【解析】 (1) SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
(2) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在（0，1）上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在（0，e）上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
17．已知 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求正实数a的取值范围．
【解析】由题意， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 在R上单增，
所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以正实数a的取值范围 SKIPIF 1 < 0 .
18．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
综上， SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，
也就是证 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，由（1）可知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
19．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论f(x)的单调性．
(2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在R上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
(2)证明：由题得， SKIPIF 1 < 0 时，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 有解，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．x
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
+
0
-
SKIPIF 1 < 0
增函数
极大值
减函数