高考数学二轮专题复习不等式

这是一份高考数学二轮专题复习不等式，文件包含大招3柯西不等式docx、大招1地位等价法docx、大招2万能docx、大招4权方和不等式docx等4份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
柯西不等式:对于任意的恒有不等式.
对柯西不等式变形,易得.
在时,我们就有了:,当时,等号成立.
这就是我们今天要讲的权方和不等式.
当然,柯西不等式有多维形式,同理权方和也可以拓展成多维形式:
若,则成立,当时,等号成立.
权方和不等式还可以推广为如下形式:
若,则成立,当的时,等号成立.
观察特征,成为该不等式的权,它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.
利用权方和不等式可以巧妙的解决一些多元最值问题.下面就从一些我们常见的模拟题中举例说明权方和在求最值中的应用.
典型例题
例1.已知为正实数,若,则的最小值为 .
解.
当时,即时有的最小值.
例2.设,,若,则的最小值为( )
A.
B.6
C.
D.
解.
当时,时取等号.
例3.已知实数满足且,则的最小值是 .
解 2x+3y+1x-y⩾(2+1)22x+2y=3+222.
当 2x+3y=1x-y 时, x=2-12,y=32-2 取等号.
例4. 已知 a>0,b>0, 且 2a+2+1a+2b=1, 则 a+b 的最小值是
解 1=2a+2+1a+2b⩾(2+1)22a+2b+2.
当 2a+2=1a+2b 时, 即 a=2,b=12,
有 (a+b)min=12+2.
例5. 设 x,y 是正实数, 且 x+y=1, 则 x2x+2+y2y+1 的最小值是
解 x2x+2+y2y+1⩾(x+y)2x+y+3=14. 当 xx+2=yy+1 时, 即 x=23,y=13, 等号成立.
例6. 已知 a>1,b>1, 则 a2b-1+b2a-1 的最小值是
解 a+b-2=t>0, a2b-1+b2a-1⩾(a+b)2a+b-2=(t+2)2t=t+4t+4⩾8.
当 a+b-2=2ab-1=ba-1 时, 即 a=2,b=2, 两个等号同时成立.
自我检测
1.对任意实数 x>1,y>12, 不等式 x2a2(2y-1)+4y2a2(x-1)⩾1 恒成立, 则实数 a 的最大值为 ( ).
A. 2 B. 4 C. 142 D. 22
1. a2≦x22y?1+4y2x?1min, 设 x+2y-2=t>0,
则有 x22y-1+4y2x-1⩾(x+2y)2x+2y-2=(t+2)2t=t+4t+4
⩾8, 当 x+2y-2=2x2y-1=2yx-1 时, 即 x=2,y=1, 两个等号同时成立. 故 a⩽22.
2.设 a,b∈R+,a≠b,x,y∈(0,+∞), 则 a2x+b2y⩾(a+b)2x+y, 当且仅当 ax=by 时, 上式取等号, 利用以 上结论, 可以得到函数 f(x)=2x+91-2xx∈0,12 的最小值为 ( ) ).
A. 169 B. 121 C. 25 D. 16
2.2x+91-2x=42x+91-2x⩾(2+3)22x+(1-2x)=25, 当且仅当 22x=31-2x 时, x=15, 取得 f(x) 的最小值.
2.2x+91-2x=42x+91-2x⩾(2+3)22x+(1-2x)=25, 当且仅当 22x=31-2x 时, x=15, 取得 f(x) 的最小值.
3.已知 x>1,y>1,xy2=1000, 则 1lg⁡x+3lg⁡y 的最小值为 ( ).
A. 4 B. 436 C. 7+263 D. 7-263
3.1lg⁡x+3lg⁡y=1lg⁡x+62lg⁡y⩾(1+6)2lg⁡x+lg⁡y2=7+26lg⁡xy2=7+263, 当 1lg⁡x=62lg⁡y 时, lg⁡x=36+1 时, 选 C.
4.若正实数 x,y 满足 x+y=1,12x+xy+1 最小值是
4.12x+xy+1=12x+1-yy+1=12x+-(y+1)+2y+1=12x+42y+2-1⩾(1+2)22x+2y+2-1=54.
当 12x=22y+2 时, 即 x=23,y=13, 有所求的最小值 54
5. 已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=1, 则 x2y+2z+y2z+2x+z2x+2y 的最小值为 。
5.x2y+2z+y2z+2x+z2x+2y⩾(x+y+z)2(y+2z)+(z+2x)+(x+2y)=(x+y+z)23(x+y+z)=13.
当且仅当 x+y+z=1xy+2z=yz+2x=zx+2y, 即 x=y=z=13 时取得所求式子最小值为 13.
6.已知正数 x,y,z 满足 xyz⩾1, 则 x2y+2z+y2z+2x+z2x+2y 的最小值为
6.x2y+2z+y2z+2x+z2x+2y⩾(x+y+z)2(y+2z)+(z+2x)+(x+2y)=(x+y+z)23(x+y+z)=x+y+z3⩾3xyz⩾1,
当且仅当 xy+2z=yz+2x=zx+2yx=y=zxyz=1, 即 x=y=z=1 时取得所求式子最小值为 1 .
7.设 x,y 是正实数且满足 x+y=1, 求 1x2+8y2 得最小值.
7.1x2+8y2=13x2+23y2⩾(1+2)3(x+y)2=27. 当 1x=2y 时, 即 x=13,y=23 时等号成立.
8.已知 x,y>0,1x+22y=1, 求 x2+y2 的最小值.
8.1=1x+22y=132x212+232y212⩾(1+2)32x2+y212=33x2+y2, 即当 1x2=2y21x+22y=1 时, 即 x=3,y=32,, 有 x2+y2 的最小值为 33.
9.已知 a,b,c∈R+且 1a2+8b2+1c2=1, 求 a+b+c 得最小值.
9.1=1a2+23b2+1c2⩾(1+2+1)3(a+b+c)2⇒(a+b+c)⩾8, 当 1a=2b=1c 时, 即 :a=2,b=4,c=2 时等号成立.