新高考数学二轮复习圆锥曲线重难点提升专题2 直线与圆锥曲线的位置关系（2份打包，原卷版+解析版）

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直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型,一是根据直线与圆锥曲线有两个交点,研究长度、面积、定点、定值等问题,二是判断直线与圆锥曲线的公共点个数,三是直线与圆锥曲线相切问题,其中第一类问题是高考考查频率最高的问题.
二、解题秘籍
(一)根据直线与圆锥曲线有两个交点研究圆锥曲线的性质
1.把直线l： SKIPIF 1 < 0 与椭圆C： SKIPIF 1 < 0 联立,当 SKIPIF 1 < 0 时直线l与椭圆C有2个交点；
2. 直线l： SKIPIF 1 < 0 与双曲线C： SKIPIF 1 < 0 联立得 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时直线l与双曲线C有2个交点；当 SKIPIF 1 < 0 时直线l与双曲线C的左右支各有一个交点；当 SKIPIF 1 < 0 时直线l与双曲线C的右支有2个交点；
3.直线l： SKIPIF 1 < 0 与抛物线C： SKIPIF 1 < 0 联立,得 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时直线l与抛物线C有2个交点.
【例1】（2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,上顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时,直线l恰好经过D点.
(1)求椭圆C的方程：
(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.
【解析】（1）由题意知,离心率 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ；
所以直线为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设直线为 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
因为l不过D点,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ,化简得 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【例2】（2023届广东省部分学校高三上学期联考）设直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,且三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)已知直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直且斜率不为0, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于两个不同的点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的右焦点,若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 三点共线,证明：直线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 轴上的一个定点.
【解析】（1）双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
不妨设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
因为三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,所以右焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ,故可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
化简得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在,所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率也存在,
因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 三点共线,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
化简得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点 SKIPIF 1 < 0 .
【例3】（2023届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个公共点,求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上,且 SKIPIF 1 < 0 ,求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【解析】（1）当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时,其方程为 SKIPIF 1 < 0 ,符合题意；
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时,设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时,直线 SKIPIF 1 < 0 符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时,令 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
综上,直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,或 SKIPIF 1 < 0 ,或 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,不妨令 SKIPIF 1 < 0 ,
∵直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
∴点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ）.
(二)根据直线与圆锥曲线有一个公共点研究圆锥曲线的性质
1.直线与椭圆有一个公共点,则直线与椭圆相切,可把直线方程与椭圆方程联立,整理成关于x或y的一元二次方程,由 SKIPIF 1 < 0 求解；
2. 直线l： SKIPIF 1 < 0 与双曲线C： SKIPIF 1 < 0 联立得 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时直线l与双曲线C有1个交点,即直线与双曲线相切或与渐近线平行时与双曲线有1个公共点；
3.当直线l： SKIPIF 1 < 0 与抛物线C： SKIPIF 1 < 0 联立,得 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时直线l与抛物线C有1个交点,即直线与抛物线相切或与抛物线准线垂直时直线与抛物线有1个公共点.
【例4】（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点,点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上,点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 外,且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上横坐标大于1的一点,过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆有且仅有一个交点,并与直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 交于M,N两点, SKIPIF 1 < 0 为坐标原点,记 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【解析】（1）因为点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上,所以 SKIPIF 1 < 0 ,①
因为点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 外,且 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,②
由①②解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,
由椭圆性质以及点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标大于1可知, SKIPIF 1 < 0 ,
将直线 SKIPIF 1 < 0 代入方程 SKIPIF 1 < 0 并化简可得, SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆有且仅有一个交点,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ．
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,
联立方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,同理得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时,不等式取等号,
故当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
【例5】已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的焦距为4,且过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C有且只有一个公共点,求实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）由题意可知双曲线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,
根据定义有 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 所求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,所以渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 ,消去 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时,此时直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的渐近线平行,此时直线与双曲线相交于一点,符合题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时,由 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
此时直线 SKIPIF 1 < 0 双曲线相切于一个公共点,符合题意．
综上所述：符合题意的 SKIPIF 1 < 0 的所有取值为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
【例6】已知顶点在原点,焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的抛物线过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点,求直线l的方程；
(3)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线交抛物线于A、B两点,使得Q恰好平分线段AB,求直线AB的方程．
【解析】（1）因为顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线过点 SKIPIF 1 < 0 ,
所以抛物线的焦点在y轴正半轴,设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
将点 SKIPIF 1 < 0 代入可得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以抛物线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
（2）当直线斜率不存在时,过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 有一个交点；
当直线斜率存在时,设直线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,直线方程为 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
直线与抛物线只有一个交点,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,所以直线方程为 SKIPIF 1 < 0
综上,过点 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个交点的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）设点 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0
点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上,所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线方程为 SKIPIF 1 < 0
经检验,直线 SKIPIF 1 < 0 符合题意.
(三)判断直线与圆锥曲线公共点个数
判断直线l：Ax＋By＋C＝0与圆锥曲线C：F(x,y) ＝0公共点个数时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y) ＝0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C有2个公共点；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C有1个公共点；Δ