新高考数学二轮复习圆锥曲线重难点提升专题4 圆锥曲线中的面积问题（2份打包，原卷版+解析版）

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圆锥曲线中的面积问题常见的是三角形的面积问题，有时也会考查平行四边形的面积或对角线互相垂直的四边形面积问题，求解此类问题通常是借助弦长公式或点到直线距离公式用某些量，如动直线的斜率或截距表示面积，再利用函数、方程或不等式知识求解.
二、解题秘籍
(一) 利用弦长与点到直线距离计算三角形面积
若直线与圆锥曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，一般是先利用弦长公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用点到直线距离公式求出点P到直线AB的距离 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【例1】（2023届浙江省名校协作体高三上学期考试）如图，已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 的渐近线交于 SKIPIF 1 < 0 两点（从左至右的顺序依次为 SKIPIF 1 < 0 ），其中 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值.
【解析】设 SKIPIF 1 < 0
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可知， SKIPIF 1 < 0
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与其中一条渐近线方程 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则可知 SKIPIF 1 < 0 的中点与 SKIPIF 1 < 0 中点重合.
由于 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 联立，消去 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 .或 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 的最大值为2，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
(二) 三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值，可把三角形分为两个小三角形分别计算面积
若过定点Q的直线与圆锥曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，可先求出点A，B到直线PQ的距离之和d，则 SKIPIF 1 < 0 ，特别的，若 SKIPIF 1 < 0 与y轴垂足， SKIPIF 1 < 0 ，利用这种方法求面积，可以避免使用弦长公式，减少运算量.
【例2】（2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点到左、右焦点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的距离之和为4，且右顶点A到右焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离为1.
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程;
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为右顶点 SKIPIF 1 < 0 到右焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
根据椭圆的对称性得 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的面积为3，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
(三)对角线互相垂直的四边形面积的计算
对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的 SKIPIF 1 < 0 .
【例3】（2023届山东省青岛市高三上学期调研）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，动圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 内切，且与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，记动圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)不过圆心 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线交轨迹 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两个不同的点，连接 SKIPIF 1 < 0 交轨迹 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .
（i）若直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 为一个定点；
（ii）若过圆心 SKIPIF 1 < 0 的直线交轨迹 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两个不同的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值.
【解析】（1）设动圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0
由题意可知：圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ；圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 动圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 内切，且与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 动圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心的轨迹 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆，设其方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0
从而轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0
（2）（i）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 点的横坐标为：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为一个定点，其坐标为 SKIPIF 1 < 0
（ii）根据（i）可进一步求得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0
（法一） SKIPIF 1 < 0
等号当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
（法二）令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
(四)把四边形分割成两个三角形求面积
如果四边形的一条对角线所在直线的方程确定，通常把该四边形分割为以这条对角线为底边的两个三角形，分别表示出这两个三角形的面积再相加
【例4】（2023届THUSSAT中学生标准学术能力高三9月测试）已知A、B分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ）的上、下顶点，F是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，C是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于A、B的点，点D在坐标平面内．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求四边形CADB面积S的最大值．
【解析】（1）由已知 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
得椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
带回原式得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （当 SKIPIF 1 < 0 时取等）
所以四边形CADB面积S的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
(五)利用函数性质求面积最值或范围
如果能把三角形或四边形的面积用某一个变量来表示，此时可把面积看作关于该变量的函数，若函数的单调性容易确定，可利用函数单调性求面积最值或范围.
【例5】（2023届河南省名校联盟2高三上学期联考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上关于原点对称的两点， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆左顶点为A，上顶点为B，直线 SKIPIF 1 < 0 且交椭圆于P，Q，求 SKIPIF 1 < 0 的面积最大时，l的方程.
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
根据对称性得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线l的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当t变化时， SKIPIF 1 < 0 的变化情况如下表：
比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 面积取最大，
此时，l的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(六)利用均值不等式求面积最值或范围
如果能把三角形或四边形的面积转化为某些变量的代数式，若对代数式进行恒等变形后能出现和为定值或乘积为定值的式子，可考虑利用均值不等式求最值或范围.
【例6】（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为其焦点，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，且直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过焦点 SKIPIF 1 < 0 作互相垂直的两条直线，与抛物线 SKIPIF 1 < 0 分别相交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值.
【解析】（1）过点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中位线，所以， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上，则点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别与两坐标轴垂直，则直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中有一条与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的斜率均存在且不为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
三、跟踪检测
1．（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期调研）已知点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，直线l交C于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求l的斜率;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
2．（2023届上海市松江二中高三上学期月考）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为抛物线Γ： SKIPIF 1 < 0 的图像上异于顶点的任意两个点，抛物线Γ在点A、B处的切线相交于 SKIPIF 1 < 0 .
(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等比数列；
(3)若A，F，B三点共线，求出动点P的轨迹方程及 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值.
3．（2023届浙江省嘉兴市高三上学期9月测试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点在直线 SKIPIF 1 < 0 的异侧），若四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
4．（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 外，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上横坐标大于1的一点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆有且仅有一个交点，并与直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于M，N两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
5．（2023届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期联考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆上一动点 SKIPIF 1 < 0 与左､右焦点构成的三角形面积最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 .
①求证：直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点；
②设 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
6．（2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，其右焦点为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 .求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
7．（2023届山东省济南市高三上学期9月考试）已知点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的公共焦点，椭圆上的点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的最大距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，记切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
8．（2023届河北省廊坊市三河市高三上学期段考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
9．（2023届河南省部分学校高三上学期9月联考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，上、下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若椭圆上有三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，证明：四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为定值．
10.（2022届河南省高三上学期联考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，过右焦点 SKIPIF 1 < 0 作两条互相垂直的弦 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）当四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积取得最小值时，求弦 SKIPIF 1 < 0 所在直线的方程．
11.（2022届河南省县级示范性高中高三上学期尖子生对抗赛）顺次连接椭圆 SKIPIF 1 < 0 的四个顶点，得到的四边形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，连接椭圆C的某两个顶点，可构成斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆C交于E，F两点，点B在线段 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 （O为坐标原点）面积的取值范围.
12．（2022届广西“智桂杯”高三上学期联考）如图，已知抛物线： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证：直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线有且仅有一个公共点；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 与此抛物线的公共点为 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
13．（2022届河南省名校联盟高三上学期12月考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是C的左、右焦点，P是C上在第一象限内的一点， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点为M， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点为N．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设A，B分别为C的右顶点和上顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的取值范围．
14．（2022届宁夏石嘴山市高三上学期月考）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与椭圆相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 面积最大值及此时直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率.
15．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点D，过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P，直线PF交抛物线C于另一点Q.
①是否存在定点M，使得四边形AQBM为平行四边形？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.
②求证： SKIPIF 1 < 0 为定值.t
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
+
-
+
-
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0