新高考数学二轮复习圆锥曲线重难点提升专题6 圆锥曲线中的定点问题（2份打包，原卷版+解析版）

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定点问题一直是圆锥曲线中的热点问题，高考主要考查直线过定点问题，有时也会涉及圆过定点问题．
二、解题秘籍
(一) 求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略
1．处理定点问题的思路：
(1)确定题目中的核心变量（此处设为 SKIPIF 1 < 0 ）
(2)利用条件找到 SKIPIF 1 < 0 与过定点的曲线 SKIPIF 1 < 0 的联系，得到有关 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等式
(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点 SKIPIF 1 < 0 ，使得无论 SKIPIF 1 < 0 的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等式进行变形，直至易于找到 SKIPIF 1 < 0 .常见的变形方向如下：
① 若等式的形式为整式，则考虑将含 SKIPIF 1 < 0 的项归在一组，变形为“ SKIPIF 1 < 0 ”的形式，从而 SKIPIF 1 < 0 只需要先让括号内的部分为零即可
② 若等式为含 SKIPIF 1 < 0 的分式， SKIPIF 1 < 0 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去 SKIPIF 1 < 0 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）
2．处理定点问题两个基本策略：
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
【例1】（2023届河南省顶级名校高三上学期月考）设 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直.直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点，过 SKIPIF 1 < 0 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，证明直线 SKIPIF 1 < 0 过定点，并求出定点坐标.
【解析】（1）由题意知，点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直，
SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
又直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的上顶点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
化简整理有 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意；.
当 SKIPIF 1 < 0 时满足方程 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 轴上定点 SKIPIF 1 < 0 .
【例2】椭圆C的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上．过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线l与椭圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点，并求出定点坐标．
【解析】（1）设椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
特殊地，当 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以点B关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
如果存在定点Q满足条件，则为两直线交点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 三点共线，故直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点，定点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】本题是先根据两条特殊的曲线的交点 SKIPIF 1 < 0 ，然后再根据 SKIPIF 1 < 0 三点共线，判断直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点，
(二) 直线过定点问题
1.直线过定点问题的解题模型
2.求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程： SKIPIF 1 < 0 ，然后利用题中条件整理出 SKIPIF 1 < 0 的关系，若 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则该直线过定点 SKIPIF 1 < 0 .
【例3】（2023届福建省泉州市高三毕业班质量监测（一））已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ．右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程：
(2)设过 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，纵坐标不为 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一动点，过 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．
【解析】（1）设点 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程，可得 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：由对称性可知，若直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 必在 SKIPIF 1 < 0 轴上，设点 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
在直线 SKIPIF 1 < 0 的方程中，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，①
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，②
将②代入①可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
(三) 圆过定点问题
圆过定点问题的常见类型是以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为 SKIPIF 1 < 0 ，也可以转化为 SKIPIF 1 < 0
【例4】（2022届广西“智桂杯”高三上学期大联考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合的直线 SKIPIF 1 < 0 过焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，当直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的延长线分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，证明：以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过定点.
【解析】（1）椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，则半焦距 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 轴时，弦AB为椭圆的通径，即 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）依题意，直线 SKIPIF 1 < 0 不垂直于y轴，且过焦点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因点 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，于是有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，
所以以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过定点 SKIPIF 1 < 0 .
(四) 确定定点使某个式子的值为定值
求解此类问题一般先设出点的坐标，然后把所给式子用所设点的横坐标或纵坐标表示，再观察该式子为定值的条件，确定所设点的坐标.
【例5】（2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月诊断）如图，椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是长轴上的任一定点，过 SKIPIF 1 < 0 点的任一直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值，若存在，试求出定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由已知知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）假设存在 SKIPIF 1 < 0 满足题意，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
①当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直时，设 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （*）
（*）式是与 SKIPIF 1 < 0 无关的常数，则 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 为定值；
②当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 也成立，
所以存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值．
(五) 与定点问题有关的基本结论
1.若直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 直线l过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
2. 若直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 直线l过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
3.设点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一定点， SKIPIF 1 < 0 是该抛物线上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 直线MN过定点 SKIPIF 1 < 0 .
4.设点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一定点， SKIPIF 1 < 0 是该抛物线上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 直线MN过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
5.过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ；
6.过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ；
7.设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线AB过定点；
8. 设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线AB过定点.
【例6】（2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测）已知点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）上，且点 SKIPIF 1 < 0 到椭圆右顶点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上不同的两点（均异于 SKIPIF 1 < 0 ）且满足直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ．试判断直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
【解析】（1）点 SKIPIF 1 < 0 ，在椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）上代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到椭圆右顶点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 代入判别式大于零中，解得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意．
综上所述：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
【例7】（2022届海南华侨中学高三上学期月考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的一个顶点， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 分别作直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点，设两直线的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 .
①当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
②当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 也过定点 SKIPIF 1 < 0 .
综合①②，可得直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
三、跟踪检测
1．（2023届江苏省金陵中学、海安中学高三上学期10月联考）在一张纸上有一个圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，定点 SKIPIF 1 < 0 ，折叠纸片使圆 SKIPIF 1 < 0 上某一点 SKIPIF 1 < 0 好与点 SKIPIF 1 < 0 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕 SKIPIF 1 < 0 ，设折痕 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 为定值，并求出点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上一点（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均不在 SKIPIF 1 < 0 轴上）．直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点，并求出此定点的坐标．
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为焦点，实轴长为2的双曲线，即 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由已知得 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线方程与双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线方程与圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若直线 SKIPIF 1 < 0 所过定点，则由对称性得定点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，设定点 SKIPIF 1 < 0 ，
由三点共线得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月测试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．圆 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）在椭圆 SKIPIF 1 < 0 的内部，半径为 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点的最小距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上不同的两点，且直线 SKIPIF 1 < 0 与以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的一个交点在圆 SKIPIF 1 < 0 上．求证：以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过定点．
【解析】（1）设椭圆的长半轴为 SKIPIF 1 < 0 ，短半轴为 SKIPIF 1 < 0 ，半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，
由圆的性质， SKIPIF 1 < 0
当点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上运动时，当 SKIPIF 1 < 0 处于上下顶点时 SKIPIF 1 < 0 最小，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为直线 SKIPIF 1 < 0 与以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的一个交点在圆 SKIPIF 1 < 0 上，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切.
（i）当直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴时，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 < 0 .
（ii）当直线 SKIPIF 1 < 0 不垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，所以 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 < 0 .
综上，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 < 0 .
3（2023届湖南省永州市高三上学期第一次考试）点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，离心率 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2) SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的两个动点（异于点 SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 分别表示直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率，满足 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
【解析】（1）由题意点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，离心率 SKIPIF 1 < 0
可得； SKIPIF 1 < 0 ，解出， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0
（2）①当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，则可设 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 其中一个与点 SKIPIF 1 < 0 重合，不合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，它与双曲线 SKIPIF 1 < 0 不相交，故直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在；
②当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，它过点 SKIPIF 1 < 0 ，舍去
综上，直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0
4．（2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设点 SKIPIF 1 < 0 在C上，过Q作两条互相垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 ，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以抛物线的方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 ，与Q点重合，不符合；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
综上，直线 SKIPIF 1 < 0 过异于Q点的定点 SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2023届四川省部分重点中学高三上学期9月联考）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的右顶点是M（2，0），离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由右顶点是M（2，0），得a＝2，又离心率 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，显然直线l的斜率存在．
直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 < 0
消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为点 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线AD的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线AD的方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线AD恒过点（1，0）．
（方法二）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 消去x得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
因为点 SKIPIF 1 < 0 ，则直线AD的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线AD的方程可化为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线AD恒过点（1,0），
当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝0，也过点（1，0）．
综上，直线AD恒过点（1，0）．
6．（2023届安徽省滁州市定远县高三上学期9月月考）设直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求m的值；
(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，F为C的右焦点，若 SKIPIF 1 < 0 ，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．
【解析】（1）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则不妨令点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，而点O到直线AB的距离为m，因此 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知，双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
因直线l与x轴不垂直且斜率不为0，设直线l与x轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 消去y并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
显然有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，F，N三点共线，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l经过x轴上的一个定点 SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2023届江西省智慧上进高三上学期考试）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点， SKIPIF 1 < 0 ，且总存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．
【解析】（1）由线段RS长度的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，
可知PF平分 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
设直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 时，上式恒为0，
即直线l恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2023届山西省高三上学期第一次摸底）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的内切圆的半径与外接圆的半径的比是 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 作弦 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，这两条弦的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．
【解析】（1）由题设 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则外接圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当直线斜率都存在时，令 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
当一条直线斜率不存在时 SKIPIF 1 < 0 对应 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 即为x轴，也过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
综上，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．
9．（2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的渐近线，且过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上不同于 SKIPIF 1 < 0 的两点，且 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，证明：存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为定值.
【解析】（1）因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，
设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0
代入点 SKIPIF 1 < 0 坐标，解得 SKIPIF 1 < 0
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）（i）当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
且均满足 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，与已知矛盾，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0
（ii）当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE： SKIPIF 1 < 0 ，
与双曲线 SKIPIF 1 < 0 方程联立解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 也过点 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上， SKIPIF 1 < 0 为该圆圆心， SKIPIF 1 < 0 为该圆半径，所以存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 .
10．（2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研）已知抛物线C： SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，过点P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点．当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点．
(1)求p的值；
(2)是否存在定点T， 使得 SKIPIF 1 < 0 为常数？ 若存在，求出点T的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，且点A恰好为线段PF中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为A在抛物线上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，可知直线l斜率存在；设l： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
联立方程得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解之得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0
11．（2023届江苏省百校联考高三上学期第一次考试）设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的右焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在异于 SKIPIF 1 < 0 的定点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为定值（其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率）？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）假设在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在异于点 SKIPIF 1 < 0 的定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值.
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
要使 SKIPIF 1 < 0 为定值，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），此时 SKIPIF 1 < 0 .
故在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在异于 SKIPIF 1 < 0 的定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值.
【例12】（2022届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标及 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设动直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率互为倒数，试问直线 SKIPIF 1 < 0 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．
【分析】(1)利用抛物线定义求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出p值即可得解.
(2)设出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，再联立直线l与抛物线C的方程，借助韦达定理探求出m与n的关系，再根据 SKIPIF 1 < 0 求解.
【解析】（1）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线： SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
而点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去x并整理得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 方程得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
13.（2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .离心率等于 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形且面积等于2.
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）已知斜率存在且不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，当点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点在直线 SKIPIF 1 < 0 上时，直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.
【解析】（1）根据题意，由对称性得 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的面积等于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率等于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率互为相反数，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故解方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2022届江苏省南通市高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1(a、b为正常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点．
（1）设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2，求k1·k2的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．
【解析】（1）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，
因为P、Q在双曲线上，
所以 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1， SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1，
两式作差得 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝0，
即 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
即k1·k2＝ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 APQ是以A为直角顶点的直角三角形，即AP⊥AQ；
①当直线l的斜率不存在时，设l：x＝t，代入 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1得，y＝±b SKIPIF 1 < 0 ，
由|t－a|＝b SKIPIF 1 < 0 得，(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0，
即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0，
得t＝ SKIPIF 1 < 0 或a(舍)，
故直线l的方程为x＝ SKIPIF 1 < 0 ；
②当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，代入 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1，
得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0，
Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝ SKIPIF 1 < 0 ，x1x2＝－ SKIPIF 1 < 0 ；
因为AP⊥AQ，
所以 SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 ＝0，
即(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0，
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0，
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0，
即 SKIPIF 1 < 0 ＝0，
即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0，
即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0，
所以k＝－ SKIPIF 1 < 0 或k＝－ SKIPIF 1 < 0 ；
当k＝－ SKIPIF 1 < 0 时，直线l的方程为y＝－ SKIPIF 1 < 0 x＋m，此时经过A，舍去；
当k＝－ SKIPIF 1 < 0 时，直线l的方程为y＝－ SKIPIF 1 < 0 x＋m，
恒过定点( SKIPIF 1 < 0 ，0)，经检验满足题意；
综上①②，直线l过定点( SKIPIF 1 < 0 ，0)．
15．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点D，过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P，直线PF交抛物线C于另一点Q.
①是否存在定点M，使得四边形AQBM为平行四边形？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.
②求证： SKIPIF 1 < 0 为定值.
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 轴时，易得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①解：易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线C的方程 SKIPIF 1 < 0 ，并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由根与系数的关系得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以线段AB的中点N的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，连接QM，若四边形AQBM为平行四边形，则N是QM的中点，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线PQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线C的方程 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
故可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得四边形AQBM为平行四边形；
②证明：点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，为定值.