新高考数学二轮复习圆锥曲线重难点提升专题10 圆锥曲线与向量的交汇（2份打包，原卷版+解析版）

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平面向量与圆锥曲线的交汇是高考命题的一个显著特征,这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平面向量作为工具可以处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中.
二、解题秘籍
(一) 圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略
1.设 SKIPIF 1 < 0 为直线l的方向向量,若 SKIPIF 1 < 0 ,则l斜率为k；若 SKIPIF 1 < 0 （m≠0）,则l斜率为 SKIPIF 1 < 0 ；
2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线: SKIPIF 1 < 0 = 1 \* GB3 ① SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ; = 2 \* GB3 ② SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =1; = 3 \* GB3 ③ SKIPIF 1 < 0 =( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )/(1+ SKIPIF 1 < 0 )； = 4 \* GB3 ④ SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 .
3.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点: = 1 \* GB3 ① SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ; = 2 \* GB3 ② SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ).
4.在四边形ABCD中,若 SKIPIF 1 < 0 ∙ SKIPIF 1 < 0 =0,则ABAC;若∣ SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ∣=∣ SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 ∣,则ABAD;若 SKIPIF 1 < 0 ∙ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ∙ SKIPIF 1 < 0 ,则ACBD.
5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量 SKIPIF 1 < 0 共线 SKIPIF 1 < 0 转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.
6.圆锥曲线中两直线垂直问题,通常转化为两直线的方向向量的数量积为零,这样做可避免讨论直线的斜率是否存在.
7.圆锥曲线中涉及数量积问题,通常利用数量积的坐标运算把所给条件转化为关于横（纵）坐标的表达式.
【例1】（2023届黑龙江省鸡西市鸡东县高三上学期月考）已知两点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,动点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的投影为 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,记动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程.
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴右侧相交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ,试问 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题可知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率一定存在,且不为0,
不妨设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ,消去 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
则线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 是定值,该定值为 SKIPIF 1 < 0 .
(二) 把点共线问题转化为向量共线
此类问题通常是把点 SKIPIF 1 < 0 共线转化为 SKIPIF 1 < 0 ,或点C在直线AB上.
【例2】（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右顶点分別为 SKIPIF 1 < 0 ,右焦点为F（1,0）,且椭圆C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,M,N为椭圆C上任意两点,点P的坐标为（4,t）（t≠0）,且满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：M,F,N三点共线.
【解析】（1）椭圆C的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,
∴a=2,c=1,则b2=a2-c2=3,
∴椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知, SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 三点共线, SKIPIF 1 < 0 三点共线,即 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,两边平方得 SKIPIF 1 < 0 ,①又M,N在椭圆上,则 SKIPIF 1 < 0 ,代入①并化简得 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴要证M,F,N三点共线,只需证 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,只需证 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴M,F,N三点共线.
(三) 利用向量共线求双变量的关系式
此类问题一般是给出形如 SKIPIF 1 < 0 的条件,确定关于 SKIPIF 1 < 0 的等式,求解思路是利用两向量相等横坐标与纵坐标分别相等（注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等,使用一个即可,解题时哪一个简单使用哪一个）,把 SKIPIF 1 < 0 用其他变量（若点的横坐标或纵坐标）表示,再利用题中条件消去其他变量.
【例3】（2023届甘肃省张掖市高三上学期检测）椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,过椭圆左焦点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线在第二象限与椭圆相交于点 SKIPIF 1 < 0 ,椭圆的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,已知 SKIPIF 1 < 0 ,椭圆过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点,交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 点,若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
【解析】（1）依题可知： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0
又∵椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,
椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由题意可知,直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在,可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
由于点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 的内部,直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 必有两个交点,
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ．
(四) 利用向量加法的几何意义构造平行四边形
若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,则四边形ABCD是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用.
【例4】（2023届四川省广安市岳池县高三上学期10月月考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ,左焦点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点,点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为原点）,求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【解析】（1）设椭圆的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为椭圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时,显然不符合题意；
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时,设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,
由 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 （由上式知 SKIPIF 1 < 0 ）,
SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
∴当 SKIPIF 1 < 0 时,平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积最大值为2.
(五) 把向量的数量积转化为代数式
若圆锥曲线问题有用向量数量积给出的条件,通常是利用向量数量积的坐标运算进行转化.
【例5】（2023届广东省荔湾区高三上学期10月调研）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点,双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点,在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 为定值？若存在,求出定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标及这个定值；若不存在,说明理由．
【解析】（1）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故其渐近线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角小于 SKIPIF 1 < 0 ,而双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ,
则渐近线的 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ．
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合时,设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
代入 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ．
设点 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ．
设点 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
此时 SKIPIF 1 < 0 ．
当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合时,则点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线的两顶点,不妨设点 SKIPIF 1 < 0 ．
对于点 SKIPIF 1 < 0 ．
所以存在定点 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 为定值．
(六) 把垂直问题转化为向量的数量积为零
求解圆锥曲线中的垂直问题,通常可转化为向量的数量积为零,然后利用向量数量积的坐标运算进行转化,这种转化可避免讨论直线的斜率是否存在.
【例6】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点到 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值和最小值分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）若圆 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,是否存在正数 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在,求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在,请说明理由．
【解析】（1）由题意可得, SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）假设存在正数 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ,即使得 SKIPIF 1 < 0 ,当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时,设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ,
则有 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
又直线 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的切线,所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时,设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
且 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为直线 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的切线,
故原点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以存在正数 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ．
三、跟踪检测
1.（2023届重庆市第八中学校高三上学期月考）已知双曲线E： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ）一个顶点为 SKIPIF 1 < 0 ,直线l过点 SKIPIF 1 < 0 交双曲线右支于M,N两点,记 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的面积分别为S, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .当l与x轴垂直时, SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)若l交y轴于点P, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求证： SKIPIF 1 < 0 为定值；
(3)在（2）的条件下,若 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时,求实数m的取值范围.
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
则当l与x轴垂直时,不妨设 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
将 SKIPIF 1 < 0 代入方程 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以双曲线E的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,将 SKIPIF 1 < 0 代入E的方程得： SKIPIF 1 < 0 ,
整理得： SKIPIF 1 < 0 ①,
同理由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ②．
由①②知, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个不等实根．
由韦达定理知 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 为定值．
（3）又 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得： SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,不妨设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
而由（2）知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
代入 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
由双勾函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
.
2.（2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考）已知椭圆中有两顶点为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,当 SKIPIF 1 < 0 时,求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,并与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,当点 SKIPIF 1 < 0 异 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点时,试问 SKIPIF 1 < 0 是否是定值？若是,请求出此定值,若不是,请说明理由.
【解析】（1）∵椭圆的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上,设椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
由已知得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时与题意不符,
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程代入椭圆的方程化简得 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 轴时, SKIPIF 1 < 0 ,不符合题意,
当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直时,设 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,联立方程组 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
又直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 为定值.
3.（2023届四川省成都市郫都区高三上学期检测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,短轴长为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆C于A,B两点,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
解得： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当直线AB的斜率不存在时, SKIPIF 1 < 0 ,
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
当直线AB的斜率存在时,设 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 恒成立,
故 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
综上： SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
4.（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期9月诊断测试）已知点 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点,过 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点,
(1)设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 分别交椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右准线于 SKIPIF 1 < 0 两点,证明：以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过定点.
【解析】（1）由已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时,方程为 SKIPIF 1 < 0 ,不妨设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,同理 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时,设直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
综上, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,右准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
由（1）知直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,同理 SKIPIF 1 < 0 ,
由椭圆的对称性知,以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆有一个圆心 SKIPIF 1 < 0 轴上方的圆,则必定也有一个与之关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称的圆,这两个圆的交点在 SKIPIF 1 < 0 轴上,以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过定点,这个定点必在 SKIPIF 1 < 0 轴上,设定点为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
所以以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过定点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
5. （2023届湖南省部分校高三上学期9月月考）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
(2)设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点,问在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 为常数？若存在,求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,化简得 SKIPIF 1 < 0 .
将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,联立方程组 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 得（1- SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
由题可知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
设存在符合条件的定点 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
化简得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为常数,所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
此时该常数的值为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以,在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在点 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 为常数,该常数为 SKIPIF 1 < 0 .
6.（2023届广东省茂名市高三上学期9月联考）如图,平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中,点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴上的一个动点,动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,又点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 轴的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 平行,且与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点,求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【解析】（1）由题意,设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
代入 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ,故动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）如图,设 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）,又直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 设直线 SKIPIF 1 < 0 为： SKIPIF 1 < 0 ,
可得： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,可得： SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,联立 SKIPIF 1 < 0 ,得： SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立,
SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为2.
.
7.（2023届福建师范大学附属中学高三上学期月考）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中, 设点 SKIPIF 1 < 0 , 点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两点的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 为一动点, 点 SKIPIF 1 < 0 满足向量关系式： SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的左侧), 点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一动点 (且不与 SKIPIF 1 < 0 重合)． 设直线 SKIPIF 1 < 0 轴与直线 SKIPIF 1 < 0 分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 ,证明： SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的角平分线．
【解析】（1）设点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
则由点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两点的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ,
可得点G的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点且长轴长为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆,
其轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,代入点G的轨迹方程,
可得： SKIPIF 1 < 0 ,
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为：
SKIPIF 1 < 0 ,
要证ER为 SKIPIF 1 < 0 的角平分线,只需证 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时,
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
代入上式可得 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的角平分线．
8.（2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月诊断）如图,椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点, SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点, SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点,且 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是长轴上的任一定点,过 SKIPIF 1 < 0 点的任一直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 为定值,若存在,试求出定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标,并求出此定值；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）由已知知 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）假设存在 SKIPIF 1 < 0 满足题意,
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
①当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直时,设 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,
代入 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （*）
（*）式是与 SKIPIF 1 < 0 无关的常数,则 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 为定值；
②当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 也成立,
所以存在定点 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 为定值．
9．（2023届北京市第四中学高三上学期开学测试）已知中心在原点,焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ,离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 为其右顶点.过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点,直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 分别交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）,
由题意,得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
即椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的方程分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
10．（2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的渐近线,且过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上不同于 SKIPIF 1 < 0 的两点,且 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,证明：存在定点 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 为定值.
【解析】（1）因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线,
设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0
代入点 SKIPIF 1 < 0 坐标,解得 SKIPIF 1 < 0
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）（i）当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时,设 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 ,联立 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 ,
化简得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
则有 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
化简,得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
且均满足 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时,直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ,与已知矛盾,
当 SKIPIF 1 < 0 时,直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,过定点 SKIPIF 1 < 0
（ii）当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时,由对称性不妨设直线DE： SKIPIF 1 < 0 ,
与双曲线 SKIPIF 1 < 0 方程联立解得 SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 也过点 SKIPIF 1 < 0 ,
综上,直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ,所以点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上, SKIPIF 1 < 0 为该圆圆心, SKIPIF 1 < 0 为该圆半径,所以存在定点 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 .
11．（2023届四川省达州市开江县高三上学期考试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ​为椭圆 SKIPIF 1 < 0 ​的左、右焦点,过点 SKIPIF 1 < 0 ​的任意直线 SKIPIF 1 < 0 ​交椭圆 SKIPIF 1 < 0 ​于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ​两点,且 SKIPIF 1 < 0 的周长为8,椭圆 SKIPIF 1 < 0 ​的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ​.
(1)椭圆 SKIPIF 1 < 0 ​的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ​为椭圆 SKIPIF 1 < 0 ​上的任一点, SKIPIF 1 < 0 ​为过焦点 SKIPIF 1 < 0 ​的弦,且 SKIPIF 1 < 0 ​,求 SKIPIF 1 < 0 ​的值.
【解析】（1）由题意可知, ​ SKIPIF 1 < 0 的周长为
SKIPIF 1 < 0 ​.
所以 SKIPIF 1 < 0 ​,又 SKIPIF 1 < 0 ​,
所以 SKIPIF 1 < 0 ​,则 SKIPIF 1 < 0 ​,
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 ​的方程为 SKIPIF 1 < 0 ​.
（2）不妨令 SKIPIF 1 < 0 ​.
所以 SKIPIF 1 < 0 ​,即 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 ​时,不妨设直线 SKIPIF 1 < 0 ​为 SKIPIF 1 < 0 ​,其中 SKIPIF 1 < 0 ​.
直线 SKIPIF 1 < 0 ​为 SKIPIF 1 < 0 ​,其中 SKIPIF 1 < 0 ​.
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ​,
得 SKIPIF 1 < 0 ​.
所以 SKIPIF 1 < 0 ​,即 SKIPIF 1 < 0 ​.
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ​.
又 SKIPIF 1 < 0 ​.
所以 SKIPIF 1 < 0 ​.
则 SKIPIF 1 < 0 ​
SKIPIF 1 < 0 ​
SKIPIF 1 < 0 ​
SKIPIF 1 < 0 ​
SKIPIF 1 < 0 ​
SKIPIF 1 < 0 ​
SKIPIF 1 < 0 ​,
综上所述, SKIPIF 1 < 0 ​.
12．（2022届上海市普陀区高三一模）已知点 SKIPIF 1 < 0 与定点 SKIPIF 1 < 0 的距离是点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的 SKIPIF 1 < 0 倍,设点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点,点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上关于原点 SKIPIF 1 < 0 对称的两点,且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时,求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（3）当四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 时,求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ,化简可得 SKIPIF 1 < 0 ,
因此,曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,联立 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,可得点 SKIPIF 1 < 0 ,
将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
因此,直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由（2）可得 SKIPIF 1 < 0 ,则点 SKIPIF 1 < 0 ,
则点 SKIPIF 1 < 0 ,
因为点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上,则 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
所以, SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
13．(2022届内蒙古赤峰市高三上学期11月联考)已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点恰为椭圆 SKIPIF 1 < 0 长轴的端点,且 SKIPIF 1 < 0 的短轴长为2
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程．
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行,且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点, SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【解析】（1）由椭圆 SKIPIF 1 < 0 ,可得其长轴的端点分别为 SKIPIF 1 < 0 ,
根据题意,可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
且 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
所以当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 取得最小值,且最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2022届辽宁省大连市高三上学期期中）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中,点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是动点,且直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积等于 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆： SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ,若存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以可得动点P的轨迹C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
15.（2022届河北省邢台市“五岳联盟”部分重点学校高三上学期12月联考）已知点 SKIPIF 1 < 0 是已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点,点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 面积达到最大,且最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）过 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点,且两点与左右顶点不重合,若 SKIPIF 1 < 0 ,求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围.
【解析】（1）由题可知,当点 SKIPIF 1 < 0 在短轴端点时,△PF1F2的面积最大,且为正三角形,
SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ,则由 SKIPIF 1 < 0 ,
可得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
又因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形,
设平面四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为S,
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ,而对勾函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
16．（2022届四川省成都市高三上学期期中）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ,右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过点 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点.
（1）求椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ,过点 SKIPIF 1 < 0 作与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点.
①求 SKIPIF 1 < 0 的值；
②点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）依题意,如图, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
而点B在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上,于是得： SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 .
（2）①由(1)及 SKIPIF 1 < 0 得, SKIPIF 1 < 0 ,椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,而直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行,
则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 消去x得： SKIPIF 1 < 0 ,显然 SKIPIF 1 < 0
于是得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
②因 SKIPIF 1 < 0 ,由①得 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
而 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 都在椭圆上,即 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
整理得： SKIPIF 1 < 0 ,
由①可知 SKIPIF 1 < 0 ,则有 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的值是 SKIPIF 1 < 0 .
17．（2022届广东省江门市高三上学期10月月考）设 SKIPIF 1 < 0 分别是平面直角坐标系中 SKIPIF 1 < 0 轴正方向上的单位向量,若向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 与轨迹 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,设 SKIPIF 1 < 0 ,是否存在直线 SKIPIF 1 < 0 ,使得四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形？若存在,求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在,试说明理由.
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则动点M满足 SKIPIF 1 < 0 ,
由椭圆的定义可知动点M的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆,
设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
故轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）存在满足条件的直线 SKIPIF 1 < 0 .设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
由方程组 SKIPIF 1 < 0 ,消去 SKIPIF 1 < 0 ,整理得： SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 恒成立,即直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 恒有两个不同的交点,
设交点为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ①, SKIPIF 1 < 0 ②
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,∴四边形OAPB为平行四边形
若存在直线 SKIPIF 1 < 0 使四边形OAPB为矩形,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ③
将①､②代入③式得： SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,此时四边形OAPB为矩形.
18.过双曲线Γ： SKIPIF 1 < 0 的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A,B两点,设Γ的右焦点为F2.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是边长为4的正三角形,求此时Γ的标准方程；
(2)若存在直线l,使得 SKIPIF 1 < 0 ,求Γ的离心率的取值范围.
【解析】（1）依题意,结合双曲线的对称性得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以2a＝|AF2|－|AF1|＝2,a＝1, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,b2＝c2－a2＝2,
此时Γ的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）依题意知直线l的斜率不为0,设l的方程为x＝my－c,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,消去 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由AF2⊥BF2得 SKIPIF 1 < 0 ,故(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0,即(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0,
整理得 SKIPIF 1 < 0 ,即(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0,
则(m2＋1)b4＝4a2c2,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故4a2c2≥(c2－a2)2,
所以c4＋a4－6a2c2≤0,两边除以 SKIPIF 1 < 0 ,得e4－6e2＋1≤0,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为e>1,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
又A,B在左支且l过F1,所以y1y2