新高考数学一轮复习学案 第1章 §1.2　充分条件与必要条件（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案 第1章 §1.2　充分条件与必要条件（含解析），共10页。学案主要包含了充分、必要条件的判定，充分、必要条件的应用等内容，欢迎下载使用。


充分条件、必要条件与充要条件的概念
微思考
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
提示 若AB，则p是q的充分不必要条件；
若A⊇B，则p是q的必要条件；
若AB，则p是q的必要不充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ )
(2)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.( √ )
(3)q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．( √ )
(4)若p⇒q，则p是q的充分不必要条件．( × )
题组二 教材改编
2．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
3．“sin α＝sin β”是“α＝β”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 必要不充分
4．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
答案 m＝－2
题组三 易错自纠
5．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
6．已知p：x>a是q：2答案 (－∞，2]
解析 由已知，可得{x|2a}，∴a≤2.
题型一 充分、必要条件的判定
例1 (1)已知p：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x<1，q：lg2x<0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x<1知x>0，所以p对应的x的范围为(0，＋∞)，由lg2x<0知0(2)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.
当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，
故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．
思维升华 充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
跟踪训练1 (1)已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，
当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．
(2)设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行，
则2λ(1－λ)－6(λ－1)＝0，
解得λ＝1或λ＝－3，
经检验λ＝1或λ＝－3时两直线平行，故选A.
题型二 充分、必要条件的应用
例2 已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围．
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴A＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2， ∴0≤m≤3.,1＋m≤10，))
∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，
即所求m的取值范围是[0,3]．
若将本例中条件改为“若x∈A是x∈B的必要不充分条件”，求m的取值范围．
解 由x∈A是x∈B的必要不充分条件，知BA，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m<10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤1＋m，,1－m>－2，,1＋m≤10，))
解得0≤m≤3或0≤m<3，∴0≤m≤3，
故m的取值范围是[0,3]．
思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
跟踪训练2 (1)使eq \f(2,x)≥1成立的一个充分不必要条件是( )
A．1C．x<2 D．0答案 B
解析 由eq \f(2,x)≥1得0依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.
(2)若关于x的不等式|x－1|答案 [3，＋∞)
解析 |x－1|4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a<0，,1＋a≥4，))解得a≥3.
题型三 充要条件的探求
例3 已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．
解 因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，
所以m≠0.
又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ1＝161－m≥0，,Δ2＝16m2－44m2－4m－5≥0，))
解得m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，1)).
因为两方程的根都是整数，
故其根的和与积也为整数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,m)∈Z，,4m∈Z，,4m2－4m－5∈Z.))
所以m为4的约数．
又因为m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，1))，
所以m＝－1或1.
当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数；
而当m＝1时，两方程的根均为整数，
所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.
思维升华 探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性．
跟踪训练3 (1)命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A．a≥4 B．a>4
C．a≥1 D．a>1
答案 B
解析 要使“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以a>4是命题为真的充分不必要条件．
(2)(2020·武汉质检)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________．
答案 ac<0
解析 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝b2－4ac>0，,\f(c,a)<0.))
即ac<0.
课时精练
1．“lg2(2x－3)<1”是“4x>8”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由lg2(2x－3)<1⇔0<2x－3<2⇔eq \f(3,2)8⇔2x>3⇔x>eq \f(3,2)，所以“lg2(2x－3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.
2．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“aA．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由(a－b)a2<0可知a2≠0，则一定有a－b<0，即a3．“|x－1|<2”是“x<3”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由|x－1|<2，可得－1∵{x|－1∴“|x－1|<2”是“x<3”的充分不必要条件．
4．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由ln(x＋1)<0⇒0即－1故“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件，故选B.
5．若“x>1”是“不等式2x>a－x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( )
A．a>3 B．a<3
C．a>4 D．a<4
答案 A
解析 若2x>a－x，即2x＋x>a.设f(x)＝2x＋x，则函数f(x)为增函数．由题意知“2x＋x>a成立，即f(x)>a成立”能得到“x>1”，反之不成立．因为当x>1时，f(x)>3，∴a>3.
6．已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
答案 B
解析 由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.
7．(多选)若x2－x－2<0是－2A．1 B．2 C．3 D．4
答案 BCD
解析 由x2－x－2<0，解得－1∵x2－x－2<0是－2∴(－1,2)(－2，a)，∴a≥2.
∴实数a的值可以是2,3,4.
8．(多选)下列说法正确的是( )
A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件
B．“eq \f(1,a)>eq \f(1,b)”是“aC．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B
D．“a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要条件
答案 BC
解析 A项，ac＝bc不能推出a＝b，比如a＝1，b＝2，c＝0，而a＝b可以推出ac＝bc，所以“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，故错误；
B项，eq \f(1,a)>eq \f(1,b)不能推出a－eq \f(1,3)，但是2>－3；aeq \f(1,b)，比如－2<3，－eq \f(1,2)eq \f(1,b)”是“aC项，因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以x∈A可以推出x∈B，即A⊆B，故正确；
D项，an>bn(n∈N，n≥2)不能推出a>b>0，比如a＝1，b＝0,1n>0n(n∈N，n≥2)满足，但是a>b>0不满足，所以必要性不满足，故错误．
9．已知命题p：eq \f(1,a)>eq \f(1,4)，命题q：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则p成立是q成立的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 命题p等价于00等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,1>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,a2－4a<0，))则0≤a<4，所以命题p成立是命题q成立的充分不必要条件．
10．已知f(x)是R上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 ∵函数f(x)是奇函数，∴若x1＋x2＝0，则x1＝－x2，则f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)＝0成立，即充分性成立；若f(x)＝0，满足f(x)是奇函数，当x1＝x2＝2时，满足f(x1)＝f(x2)＝0，此时满足f(x1)＋f(x2)＝0，但x1＋x2＝4≠0，即必要性不成立．故“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充分不必要条件．
11．若x∈{－1，m}是不等式2x2－x－3≤0成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2)))
解析 不等式可转化为(x＋1)(2x－3)≤0，解得－1≤x≤eq \f(3,2)，由于x∈{－1，m}是－1≤x≤eq \f(3,2)的充分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到m∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2))).
12．若实数a，b满足a>0，b>0，则“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“即不充分也不必要”)
答案 充要
解析 设f(x)＝x＋ln x，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∵a>b，∴f(a)>f(b)，
∴a＋ln a>b＋ln b，充分性成立；
∵a＋ln a>b＋ln b，
∴f(a)>f(b)，∴a>b，必要性成立，
故“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”成立的充要条件．
13．(2021·深圳模拟)对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 令x＝1.8，y＝0.9，满足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x〉≠〈y〉，可知充分性不成立．当〈x〉＝〈y〉时，设〈x〉＝x＋m，〈y〉＝y＋n，m，n∈[0,1)，则|x－y|＝|n－m|<1，可知必要性成立．所以“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件．故选B.
14．已知p：实数m满足3a0)，q：方程eq \f(x2,m－1)＋eq \f(y2,2－m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,8)))
解析 由2－m>m－1>0，得115．已知集合A＝ SKIPIF 1 < 0 ，B＝{x|lg3(x＋a)≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，0]
解析 由 SKIPIF 1 < 0 ，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，则A＝{x|x≤－2或x≥3}．由lg3(x＋a)≥1，得x＋a≥3，即x≥3－a，则B＝{x|x≥3－a}．由题意知BA，所以3－a≥3，解得a≤0.
16．已知r>0，x，y∈R，p：|x|＋eq \f(|y|,2)≤1，q：x2＋y2≤r2，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(5),5)))
解析 画出|x|＋eq \f(|y|,2)≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x>0，y>0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x＋eq \f(y,2)＝1，即2x＋y－2＝0.由p是q的必要不充分条件，可得圆x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线2x＋y－2＝0的距离d＝eq \f(2,\r(22＋1))＝eq \f(2\r(5),5)≥r，又r>0，所以实数r的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(5),5))).若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p