新高考数学一轮复习学案 第1章 §1.3　全称量词与存在量词（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案 第1章 §1.3　全称量词与存在量词（含解析），共11页。学案主要包含了全称命题、特称命题的真假，含有一个量词的命题的否定，根据命题的真假求参数的取值范围等内容，欢迎下载使用。

1．全称量词和存在量词
(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．
2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
微思考
1．怎样判断一个特称命题是真命题？
提示 要判定特称命题“∃x0∈M，P(x0)”，只需在集合M找到一个x0，使P(x0)成立即可．
2．命题p和綈p可否同时为真，思考一下此结论在解题中的作用？
提示 命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题．( × )
(2)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( × )
(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( √ )
题组二 教材改编
2．命题“∀x∈R，x2＋x＋1>0”的否定是________．
答案 ∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋x0＋1≤0
3．命题“∃x0∈N，xeq \\al(2,0)≤0”的否定是________．
答案 ∀x∈N，x2>0
4．命题“对于函数f(x)＝x2＋eq \f(a,x)(a∈R)，存在a∈R，使得f(x)是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”)
答案 真
解析 当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数．
题组三 易错自纠
5．(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有( )
A．∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－x0＋eq \f(1,4)0，所以AC均为特称命题且为假命题，故选AC.
6．若命题“∃t0∈R，teq \\al(2,0)－2t0－aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x成立，故①是假命题；
对于②，当x＝eq \f(1,2)时，有 SKIPIF 1 < 0 成立，故②是真命题；
对于③，当00
C．∃x0∈R，lg x00
D．∀x∈R，ex－x－1≥0
答案 C
解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
2．(2020·山东模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为( )
A．所有正方形都不是平行四边形
B．有的平行四边形不是正方形
C．有的正方形不是平行四边形
D．不是正方形的四边形不是平行四边形
答案 C
解析 “所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈p为有的正方形不是平行四边形．
3．命题：“∃x0∈R，sin x0＋cs x0>2”的否定是________________．
答案 ∀x∈R，sin x＋cs x≤2
4．若命题p的否定是“对所有正数x，eq \r(x)>x＋1”，则命题p是____________________．
答案 ∃x0∈(0，＋∞)，eq \r(x0)≤x0＋1
思维升华 对全称命题、特称命题进行否定的方法
(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
(2)对原命题的结论进行否定．
题型三 根据命题的真假求参数的取值范围
例2 (1)已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为__________．
答案 (－∞，－2]
解析 由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))
解析 当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，
g(x)min＝g(2)＝eq \f(1,4)－m，由题意得f(x)min≥g(x)min，
即0≥eq \f(1,4)－m，所以m≥eq \f(1,4).
本例中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析 当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝eq \f(1,2)－m，
由题意得f(x)min≥g(x)max，
即0≥eq \f(1,2)－m，
∴m≥eq \f(1,2).
思维升华 (1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
跟踪训练2 (1)由命题“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋2x0＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.
答案 1
解析 由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，
所以Δ＝4－4m1，
故实数m的取值范围是(1，＋∞)，
从而实数a的值为1.
(2)若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
解析 由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，因为a>0，所以函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤eq \f(1,2).故a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
课时精练
1．下列命题中是假命题的是( )
A．∃x0∈R，lg2x0＝0 B．∃x0∈R，cs x0＝1
C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R,2x>0
答案 C
解析 因为lg21＝0，cs 0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x>0，选项D为真命题，故选C.
2．(2021·长沙期末)命题p：“∀x∈N*，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤eq \f(1,2)”的否定为( )
A．∀x∈N*，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>eq \f(1,2)
B．∀x∉N*，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>eq \f(1,2)
C．∃x0∉N*， SKIPIF 1 < 0
D．∃x0∈N*， SKIPIF 1 < 0
答案 D
解析 命题p的否定是把“∀”改成“∃”，再把“eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤eq \f(1,2)”改为“ SKIPIF 1 < 0 ”即可，故选D.
3．下列命题是真命题的是( )
A．所有的素数都是奇数
B．∀x∈R，x2＋1≥0
C．对于每一个无理数x，x2是有理数
D．∀x∈Z，eq \f(1,x)∉Z
答案 B
解析 对于A,2是素数，但2不是奇数，A假；对于B，∀x∈R，总有x2≥0，则x2＋1≥0恒成立，B真；对于C，eq \r(π)是无理数，(eq \r(π))2＝π还是无理数，C假；对于D,1∈Z，但eq \f(1,1)＝1∈Z，D假，故选B.
4．若命题p：∀x∈R,2x2－1>0，则该命题的否定是( )
A．∃x0∈R,2xeq \\al(2,0)－10”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋eq \f(15,2)a>0对任意实数x恒成立．
设f(x)＝x2－5x＋eq \f(15,2)a，则其图象恒在x轴的上方．
故Δ＝25－4×eq \f(15,2)aeq \f(5,6)，
即实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)，＋∞)).
10．已知命题“∀x∈R，sin x－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1]
解析 由题意，对∀x∈R，a≤sin x成立．由于对∀x∈R，－1≤sin x≤1，所以a≤－1.
11．若命题“∀x∈R，kx2－kx－1