新高考数学一轮复习学案 第5章 §5.3　平面向量的数量积（含解析）

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1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．
2．平面向量的数量积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
微思考
1．两个向量的数量积大于0(或小于0)，则夹角一定为锐角(或钝角)吗？
提示 不一定．当夹角为0°(或180°)时，数量积也大于0(或小于0)．
2．平面向量数量积运算常用结论有哪些？
提示 (a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
a与b同向时，a·b＝|a||b|.
a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( × )
(2)向量在另一个向量上的投影为数量，而不是向量．( √ )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ )
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( × )
题组二 教材改编
2．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6eq \r(3)，则a与b的夹角θ等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(5π,6) C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)
答案 B
解析 cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－6\r(3),2×6)＝－eq \f(\r(3),2)，
又因为0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(5π,6).
3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2eq \r(3)，a与b的夹角的余弦值为sin eq \f(17π,3)，则b·(2a－b)等于( )
A．2 B．－1 C．－6 D．－18
答案 D
解析 由题意知cs〈a，b〉＝sin eq \f(17π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π－\f(π,3)))
＝－sin eq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，
所以a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝1×2eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝－3，
所以b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
4．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
答案 －2
解析 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cs θ＝4×cs 120°＝－2.
题组三 易错自纠
5．已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 根据向量数量积的定义可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．
6．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq \r(10)，则eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值为________．
答案 －eq \f(3,2)
解析 在△ABC中，由余弦定理得
cs A＝eq \f(AC2＋AB2－BC2,2×AC×AB)＝eq \f(22＋32－\r(10)2,2×2×3)＝eq \f(1,4).
所以eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(BA,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs(π－A)＝－|eq \(BA,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|·cs A＝－3×2×eq \f(1,4)＝－eq \f(3,2).
题型一 平面向量数量积的简单应用
命题点1 平面向量的模
例1 (2020·全国Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
答案 eq \r(3)
解析 将|a＋b|＝1两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝1.
∵a2＝b2＝1，
∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1.
∴|a－b|＝eq \r(a－b2)＝eq \r(a2－2a·b＋b2)
＝eq \r(1－－1＋1)＝eq \r(3).
命题点2 平面向量的夹角
例2 (2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cs〈a，a＋b〉等于( )
A．－eq \f(31,35) B．－eq \f(19,35) C.eq \f(17,35) D.eq \f(19,35)
答案 D
解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝25－12＋36＝49，
∴|a＋b|＝7，
∴cs〈a，a＋b〉＝eq \f(a·a＋b,|a||a＋b|)＝eq \f(a2＋a·b,|a||a＋b|)
＝eq \f(25－6,5×7)＝eq \f(19,35).
命题点3 平面向量的垂直
例3 (2020·全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 由题意知(ka－b)·a＝0，即ka2－b·a＝0.
因为a，b为单位向量，且夹角为45°，
所以k×12－1×1×eq \f(\r(2),2)＝0，解得k＝eq \f(\r(2),2).
思维升华 (1)求解平面向量模的方法
①若a＝(x，y)，利用公式|a|＝eq \r(x2＋y2).
②利用|a|＝eq \r(a2).
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，θ的取值范围为[0，π]．
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．
跟踪训练1 (1)(2020·唐山模拟)已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝eq \r(3)，则|e1－e2|＝________.
答案 1
解析 方法一 由|e1＋e2|＝eq \r(3)，两边平方，得eeq \\al(2,1)＋2e1·e2＋eeq \\al(2,2)＝3.又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，
所以|e1－e2|2＝eeq \\al(2,1)－2e1·e2＋eeq \\al(2,2)＝1，所以|e1－e2|＝1.
方法二 如图，设eq \(AB,\s\up6(→))＝e1，eq \(AD,\s\up6(→))＝e2，又e1，e2是单位向量，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|＝1，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，BD，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(DB,\s\up6(→))＝e1－e2，因为| e1＋e2|＝eq \r(3)，即|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，所以∠ABC＝120°，则∠DAB＝60°，所以|eq \(DB,\s\up6(→))|＝1，即| e1－e2|＝1.
(2)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 B
解析 设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cs α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cs α＝eq \f(1,2)，∵α∈[0，π]，∴α＝eq \f(π,3)，故选B.
(3)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为( )
A.eq \f(22,15) B.eq \f(10,3) C．6 D.eq \f(12,7)
答案 A
解析 因为eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，
所以有eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝λeq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－λeq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(λ－1)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－λeq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cs 120°－9λ＋16＝0，
解得λ＝eq \f(22,15).
题型二 平面向量数量积的综合运算
例4 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范围是( )
A．(－2,6) B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6)
答案 A
解析 如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，C(3，eq \r(3))，F(－1，eq \r(3))．
设P(x，y)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，且－1