新高考数学一轮复习学案 第6章 §6.1　数列的概念与简单表示法（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案 第6章 §6.1　数列的概念与简单表示法（含解析），共14页。学案主要包含了由an与Sn的关系求通项公式，由数列的递推关系式求通项公式，数列的性质等内容，欢迎下载使用。
考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
1．数列的有关概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
若已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2.))
(3)数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．
2．数列与函数
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}．
3．数列的分类
4.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
微思考
1．数列的项与项数是一个概念吗？
提示 不是．数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
2．数列作为一种特殊函数，特殊性体现在什么地方？
提示 体现在定义域上，数列的定义域是正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列的通项公式是唯一的．( × )
(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．( × )
(3)2,2,2,2，…，不能构成一个数列．( × )
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( √ )
题组二 教材改编
2．数列eq \f(1,3)，eq \f(1,8)，eq \f(1,15)，eq \f(1,24)，eq \f(1,35)，…的通项公式是an＝________.
答案 an＝eq \f(1,nn＋2)，n∈N*
3．已知数列a1＝2，an＝1－eq \f(1,an－1)(n≥2)．则a2 022＝________.
答案 －1
解析 a1＝2，a2＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2，所以数列{an}满足an＝an＋3，所以a2 022＝a3＝－1.
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－λn＋1，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
答案 (－∞，3)
解析 由题意得an＋1>an，即(n＋1)2－λ(n＋1)＋1>n2－λn＋1.
化简得，λ0，得－10或an0时，\f(an＋1,an)>1))，则an＋1>an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)0时，\f(an＋1,an)an，∴选A.
(2)已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，n∈N*，a1＝1，a2＝2，则a2 021等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 A
解析 由题意，数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，
且a1＝1，a2＝2，
当n＝1时，可得a3＝a2－a1＝2－1＝1；
当n＝2时，可得a4＝a3－a2＝1－2＝－1；
当n＝3时，可得a5＝a4－a3＝－1－1＝－2；
当n＝4时，可得a6＝a5－a4＝－2－(－1)＝－1；
当n＝5时，可得a7＝a6－a5＝－1－(－2)＝1；
当n＝6时，可得a8＝a7－a6＝1－(－1)＝2；
……
可得数列{an}是以6为周期的周期数列，
所以a2 021＝a336×6＋5＝a5＝－2.
故选A.
(3)在数列{an}中，an＝(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))n，则数列{an}的最大项是第________项．
答案 6或7
解析 eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))n＋1,n＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))n)＝eq \f(7,8)×eq \f(n＋2,n＋1)≥1.
得n≤6，即当n≤6时，an＋1≥an，
当n>6时，an＋10，因此数列{an}是递增数列，D正确．故选ABD.
6．(多选)若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列数列{an}(a∈N*)，其中是“差递减数列”的有( )
A．an＝3n B．an＝n2＋1
C．an＝eq \r(n) D．an＝lneq \f(n,n＋1)
答案 CD
解析 对于A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不为递减数列，故A错误；
对于B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}为递增数列，故B错误；
对于C，若an＝eq \r(n)，则an＋1－an＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)＝eq \f(1,\r(n＋1)＋\r(n))，所以{an＋1－an}为递减数列，故C正确；
对于D，若an＝lneq \f(n,n＋1)，则an＋1－an＝lneq \f(n＋1,n＋2)－lneq \f(n,n＋1)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n＋2)·\f(n＋1,n)))＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n2＋2n)))，由函数y＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2＋2x)))在(0，＋∞)上单调递减，所以{an＋1－an}为递减数列，故D正确．
故选CD.
7．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,6n－5，n≥2))
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．
故数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,6n－5，n≥2.))
8．(2021·北京市昌平区模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.
答案 n－6(n∈N*)(答案不唯一)
解析 ∀n∈N*，an＋1>an，则数列{an}是递增的，
∀n∈N*，Sn≥S6，即S6最小，
只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，
所以，满足条件的数列{an}的一个通项公式an＝n－6(n∈N*)(答案不唯一)．
9．已知在数列{an}中，a1a2a3·…·an＝n2(n∈N*)，则a9＝________.
答案 eq \f(81,64)
解析 ∵a1a2·…·a8＝82＝64，①
a1·a2·…·a9＝92＝81，②
②÷①得a9＝eq \f(81,64).
10．已知数列的通项为an＝eq \f(n＋1,3n－16)(n∈N*)，则数列{an}的最小项是第________项．
答案 5
解析 因为an＝eq \f(n＋1,3n－16)，数列{an}的最小项必为an