新高考数学一轮复习学案 第6章 §6.3　等比数列及其前n项和（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案 第6章 §6.3　等比数列及其前n项和（含解析），共17页。学案主要包含了等比数列基本量的运算，等比数列的判定与证明，等比数列性质的应用等内容，欢迎下载使用。

1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
(2)对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at.
特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝aeq \\al(2,p).
(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(5)若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a10恒成立
D．若数列{an}为等比数列，则{ SKIPIF 1 < 0 }也为等比数列
答案 ABC
解析 对于A，若数列{an}为等差数列，Sn>0恒成立，则公差d>0，故{an}为递增数列，故A正确；
对于B，若数列{an}为等差数列，a1>0，设公差为d，由S3＝S10，得3a1＋eq \f(3×2,2)d＝10a1＋eq \f(10×9,2)d，即a1＝－6d，故an＝(n－7)d，所以当n≤7时，an≥0，a7＝0，故Sn的最大值在n＝6或7时取得，故B正确；
对于C，若数列{an}为等比数列，则S2 021·a2 021＝eq \f(a11－q2 021,1－q)·a1·q2 020＝aeq \\al(2,1)·q2 020·eq \f(1－q2 021,1－q)>0恒成立，故C正确；
对于D，若数列{an}为等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不是常数，故{ SKIPIF 1 < 0 }不是等比数列，故D错误．
故选ABC.
15．已知数列{an}满足递推公式an＋1＝2an＋1，a1＝1.设Sn为数列{an}的前n项和，则eq \f(4n＋7－n－Sn,an＋1)的最小值是________．
答案 eq \f(17,4)
解析 因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，
所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，
所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1，
所以Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝eq \f(21－2n,1－2)－n＝2n＋1－2－n，
所以eq \f(4n＋7－n－Sn,an＋1)＝eq \f(4n＋7－n－2n＋1－2－n,2n)＝2n＋eq \f(9,2n)－2，
由对勾函数的性质可得，当n＝1时，2n＝2,2n＋eq \f(9,2n)－2＝2＋eq \f(9,2)－2＝eq \f(9,2)，
当n≥2时，2n≥4，所以y＝2n＋eq \f(9,2n)－2单调递增，
当n＝2时，2n＋eq \f(9,2n)－2＝4＋eq \f(9,4)－2＝eq \f(17,4)1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为eq \f(2n－1·3n＋1,2).
(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和为Sn，∀n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数m的最小值．
解 (1)因为a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，
所以2a2＝a1＋a3－8，
即2a1q＝a1＋a1q2－8，所以q2－2q－3＝0，
所以q＝3或q＝－1，又q>1，所以q＝3，
所以an＝2·3n－1(n∈N*)．
因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝eq \f(2n－1·3n＋1,2)，
所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝eq \f(2n－3·3n－1＋1,2)(n≥2)，
两式相减，得anbn＝2n·3n－1(n≥2)，
因为an＝2·3n－1，所以bn＝n(n≥2)，
当n＝1时，由a1b1＝2及a1＝2，得b1＝1(符合上式)，
所以bn＝n(n∈N*)．
(2)因为数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,2)，公比为eq \f(1,3)的等比数列，
所以Sn＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n)),1－\f(1,3))＝eq \f(3,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n))