新高考数学一轮复习学案 第8章 §8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案 第8章 §8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系（含解析），共14页。学案主要包含了直线与圆的位置关系，圆的切线、弦长问题，圆与圆的位置关系等内容，欢迎下载使用。


1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断
2．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(圆C1方程,圆C2方程))eq \(――→,\s\up7(消元))一元二次方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ>0⇒相交,Δ＝0⇒内切或外切,Δ<0⇒内含或外离.))
微思考
1．过一点圆的切线有几条？
提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条．
2．用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？
提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况．
3．当两圆相交时，怎样求两圆公共弦所在直线的方程？
提示 两圆方程相减得到的直线方程即为两圆公共弦所在的直线的方程．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．( √ )
(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( √ )
题组二 教材改编
2．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案 B
3．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案 eq \r(10)
4．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________．
答案 内切
题组三 易错自纠
5．(多选)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )
A．0C．m<1 D．－3答案 AB
解析 联立直线与圆的方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋m＝0，,x2＋y2－2x－1＝0，))消去y，得2x2＋(2m－2)x＋m2－1＝0，根据题意得Δ＝(2m－2)2－8(m2－1)＝－4(m＋1)2＋16>0，得－3∵{m|0∴06．过点A(3,5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为_______________．
答案 5x－12y＋45＝0或x－3＝0
解析 化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径为2，
∵|OA|＝eq \r(3－12＋5－22)＝eq \r(13)>2，∴点A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝eq \f(|3－2k|,\r(k2＋1))＝2，
即|3－2k|＝2eq \r(k2＋1)，∴k＝eq \f(5,12)，
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.
题型一 直线与圆的位置关系
例1 (1)(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有( )
A．直线l恒过定点(3,1)B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C恒相交D．直线l与圆C相离
答案 AC
解析 将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－4＝0，,2x＋y－7＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1.))
则无论m为何值，直线l过定点(3,1)，故直线l与圆C恒相交，故AC正确．
(2)若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )
A．(eq \r(2)＋1，＋∞) B．(eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1)
C．(0，eq \r(2)－1) D．(0，eq \r(2)＋1)
答案 A
解析 计算得圆心到直线l的距离为eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)>1，如图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离eq \r(2)＋1.
思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
跟踪训练1 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
答案 B
解析 因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝eq \f(|a·0＋b·0－1|,\r(a2＋b2))＝eq \f(1,\r(a2＋b2))<1.
所以直线与圆相交．
(2)(2020·安徽江淮十校联考)已知直线l：xcs α＋ysin α＝1(α∈R)与圆C：x2＋y2＝r2(r>0)相交，则r的取值范围是 ( )
A．01
答案 D
解析 圆心到直线的距离d＝eq \f(1,\r(cs2α＋sin2α))＝1，故r>1.
题型二 圆的切线、弦长问题
命题点1 切线问题
例2 (1)(2021·银川模拟)与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是( )
A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6
C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6
答案 B
解析 设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0，
直线l与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1,0)到直线l的距离为半径2，即eq \f(|4＋m|,5)＝2，
所以m＝6或m＝－14，所以4x－3y＋6＝0，或4x－3y－14＝0，结合选项可知B正确．
(2)(2019·浙江)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
答案 －2 eq \r(5)
解析 方法一 设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0，令x＝0，得m＝－2，则r＝eq \r(－2－02＋－1＋22)＝eq \r(5).
方法二 因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以eq \f(m＋1,0－－2)×2＝－1，所以m＝－2，r＝eq \r(－2－02＋－1＋22)＝eq \r(5).
命题点2 弦长问题
例3 (1)(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A．圆M的圆心为(4，－3)
B．圆M被x轴截得的弦长为8
C．过原点的最短弦长为8
D．圆M被y轴截得的弦长为6
答案 ABD
解析 圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，
则(x－4)2＋(y＋3)2＝25.圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.过原点的最短弦长为6，选项C不正确．ABD均正确．
(2)过点P(0,2)引一条直线l交圆(x－1)2＋y2＝4于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则直线l的方程为________．
答案 x＝0或3x＋4y－8＝0
解析 当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，可求出它与圆(x－1)2＋y2＝4的两交点坐标分别为(0，eq \r(3))，(0，－eq \r(3))，所以弦长|AB|＝2eq \r(3)，满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.
如图，设圆心为C，点D是弦AB的中点，连接CD，AC，
则CD⊥AB.在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，|AC|＝r＝2，|AD|＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \r(3)，
故|CD|＝eq \r(|AC|2－|AD|2)＝eq \r(4－3)＝1，即eq \f(|k＋2|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)，
这时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.
故所求直线方程为x＝0或3x＋4y－8＝0.
思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法．
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
跟踪训练2 (1)已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，eq \r(2))，则弦长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0整理，得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆C的圆心坐标为(3,0)，半径为2.因为线段AB的中点坐标为D(2，eq \r(2))，所以|CD|＝eq \r(1＋2)＝eq \r(3)，所以|AB|＝2eq \r(4－3)＝2.
(2)过直线y＝2x＋3上的点作圆C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )
A.eq \r(19) B．2eq \r(5) C.eq \r(21) D.eq \f(\r(55),5)
答案 A
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y＝2x＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y＝2x＋3的距离d，d＝eq \f(|2×2＋3＋3|,\r(5))＝2eq \r(5)，故切线长的最小值为eq \r(d2－r2)＝eq \r(19).
(3)过点(2,0)引直线l与圆x2＋y2＝2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最大值时，直线l的斜率为________．
答案 ±eq \f(\r(3),3)
解析 由题意可得，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，此时圆心O到直线的距离为d＝1，由点到直线的距离公式得d＝eq \f(|－2k|,\r(1＋k2))＝1⇒k＝±eq \f(\r(3),3).
题型三 圆与圆的位置关系
例4 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，
半径分别为eq \r(11)和eq \r(61－m).
(1)当两圆外切时，
eq \r(5－12＋6－32)＝eq \r(11)＋eq \r(61－m).
解得m＝25＋10eq \r(11).
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×eq \r(\r(11)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|4＋3×3－23|,\r(42＋32))))2)＝2eq \r(7).
思维升华 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
跟踪训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
答案 B
解析 由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝eq \f(a,\r(2))，所以2eq \r(a2－\f(a2,2))＝2eq \r(2)，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝eq \r(2)小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交．
(2)若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为2eq \r(3)，则a＝________.
答案 ±2
解析 两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a2＋ay－6＝0.原点到a2＋ay－6＝0的距离为d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(6,a)－a)).
∵公共弦长为2eq \r(3)，∴a2＝(eq \r(3))2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(6,a)－a))2，
∴a2＝4，a＝±2.
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apllnius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.
则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，
则A(－m,0)，B(m,0)．
又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得eq \r(x＋m2＋y2)＝λeq \r(x－m2＋y2)，
两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．
当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
当λ>0且λ≠1时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(λ2＋1,λ2－1)m))2＋y2＝eq \f(4λ2m2,λ2－12)，轨迹为以点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ2＋1,λ2－1)m，0))为圆心，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2λm,λ2－1)))为半径的圆．
上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．
例1 在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(3,0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在点P，使得|PA|＝eq \r(2)|PB|，|PC|＝|PD|，则实数a的取值范围是________．
答案 [－2eq \r(2)－1,2eq \r(2)－1]
解析 设P(x，y)，则eq \r(x－12＋y2)＝eq \r(2)·eq \r(x－32＋y2)，整理得(x－5)2＋y2＝8，即动点P在以(5,0)为圆心，2eq \r(2)为半径的圆上运动．另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝8有交点．所以|a＋1|≤2eq \r(2).故实数a的取值范围是[－2eq \r(2)－1,2eq \r(2)－1]．
例2 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解 (1)联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,y＝2x－4，))
得圆心为C(3,2)．
切线的斜率存在，设切线方程为y＝kx＋3.
圆心C到切线的距离d＝eq \f(|3k＋3－2|,\r(1＋k2))＝r＝1，
得k＝0或k＝－eq \f(3,4).
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)设点M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，
知eq \r(x2＋y－32)＝2eq \r(x2＋y2)，
化简得x2＋(y＋1)2＝4.
即点M的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，
可记为圆D.
又因为点M也在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切．
故1≤|CD|≤3，
其中|CD|＝eq \r(a2＋2a－32).
解得0≤a≤eq \f(12,5).
即圆心C的横坐标a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(12,5))).
课时精练
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
答案 A
解析 方法一 由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝eq \f(|m|,\r(m2＋1))<1方法二 直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，
因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，
所以直线l与圆相交．
2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
答案 B
解析 圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2，所以两圆的圆心距d＝eq \r(5)，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r13．已知圆x2＋y2－2x＋2y＋a＝0截直线x＋y－4＝0所得弦的长度小于6，则实数a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\r(17)，2＋\r(17))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\r(17)，2))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－15，＋∞)) D．(－15,2)
答案 D
解析 圆心(1，－1)，半径r＝eq \r(2－a)，2－a>0，∴a<2，
圆心到直线x＋y－4＝0的距离d＝eq \f(|1－1－4|,\r(2))＝2eq \r(2).
则弦长为2eq \r(\r(2－a)2－2\r(2)2)＝2eq \r(－a－6)<6.
解得a>－15，故－154．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝3B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
答案 B
解析 方法一 设圆心坐标为(a，－a)，由圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切可得eq \f(|2a|,\r(2))＝eq \f(|2a－4|,\r(2))，解得a＝1，所以半径r＝eq \r(2)，故该圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
方法二 圆心在x＋y＝0上，可排除选项C，D，再结合图象，或者验证选项A，B中圆心到两直线的距离等于半径eq \r(2)，可知B正确．
5．(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2eq \r(2)，则实数a的值为( )
A．0 B．4 C．－2 D．6
答案 AB
解析 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2eq \r(2)，所以圆心到直线的距离d＝eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),2)))2)＝eq \r(2).又d＝eq \f(|a－2|,\r(2))，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.
6．(多选)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝12上恰有三个点到直线l：kx＋y＝0的距离等于eq \r(3)，则直线l的斜率为( )
A．2＋eq \r(6) B．－2＋eq \r(6)
C．－eq \r(6)＋2 D．－eq \r(6)－2
答案 AC
解析 由题意，圆心到直线l的距离等于半径的一半，所以eq \f(|2k－1|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝2±eq \r(6).
7．与直线y＝x＋3平行且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线的方程为____________．
答案 x－y＋5＝0或x－y－3＝0
解析 设直线的方程为y＝x＋m，即x－y＋m＝0.圆(x－2)2＋(y－3)2＝8的圆心坐标为(2,3)，半径为2eq \r(2)，由eq \f(|2－3＋m|,\r(2))＝2eq \r(2)，解得m＝5或m＝－3.故所求直线方程为y＝x＋5或y＝x－3，即x－y＋5＝0或x－y－3＝0.
8．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
答案 2eq \r(2)
解析 设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|＝eq \r(2)，半径r＝2.由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，所以最短弦长为2eq \r(22－\r(2)2)＝2eq \r(2).
9．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是______．
答案 8
解析 圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，
圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，
∴|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，
∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.
10．(2021·石家庄质检)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为________．
答案 eq \r(5)或－eq \r(5)
解析 因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得eq \f(|a|,\r(12＋－22))＝1，所以a＝±eq \r(5).
11．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
解 (1)设切线方程为x＋y＋b＝0(b≠－4)，
则eq \f(|1－2＋b|,\r(2))＝eq \r(10)，∴b＝1±2eq \r(5)，
∴切线方程为x＋y＋1±2eq \r(5)＝0.
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则eq \f(|2－2＋m|,\r(5))＝eq \r(10)，∴m＝±5eq \r(2)，
∴切线方程为2x＋y±5eq \r(2)＝0.
(3)∵kAC＝eq \f(－2＋1,1－4)＝eq \f(1,3)，∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.
12．已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x所截得的弦长为2eq \r(7)，求该圆的方程．
解 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2eq \r(7)，
圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝eq \f(|2a|,\r(2))，
∴d2＋(eq \r(7))2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
方法二 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为eq \f(|a－b|,\r(2))，
∴r2＝eq \f(a－b2,2)＋7，即2r2＝(a－b)2＋14.①
由于所求圆与y轴相切，∴r2＝a2，②
又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，③
联立①②③，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，,r2＝9))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝－1，,r2＝9.))
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
方法三 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F).
在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.
由于所求圆与y轴相切，∴Δ＝0，则E2＝4F.①
圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直线y＝x的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))，
由已知得d2＋(eq \r(7))2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．②
又圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直线x－3y＝0上，
∴D－3E＝0.③
联立①②③，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝－2，,F＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝6，,E＝2，,F＝1.))
故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
13．直线x－eq \r(3)y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)
答案 D
解析 画出图形，如图，圆心(2,0)到直线的距离为d＝eq \f(|2|,\r(12＋－\r(3)2))＝1，
∴sin∠AOC＝eq \f(d,|OC|)＝eq \f(1,2)，
∴∠AOC＝eq \f(π,6)，∴∠CAO＝eq \f(π,6)，∴∠ACO＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,6)＝eq \f(2π,3).
14．(2020·长沙调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是________．
答案 [eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1]
解析 圆C1关于直线x－y＝0对称的圆C3的方程为(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，则圆C3与圆C2存在公共点，所以|r－1|≤eq \r(2)≤r＋1，所以r∈[eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1]．
15．已知直线l：x＋y－1＝0截圆Ω：x2＋y2＝r2(r>0)所得的弦长为eq \r(14)，点M，N在圆Ω上，且直线l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0过定点P，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为( )
A．[2－eq \r(2)，2＋eq \r(3)] B．[2－eq \r(2)，2＋eq \r(2)]
C．[eq \r(6)－eq \r(2)，eq \r(6)＋eq \r(3)] D．[eq \r(6)－eq \r(2)，eq \r(6)＋eq \r(2)]
答案 D
解析 由题意得，2eq \r(r2－\f(1,2))＝eq \r(14)，解得r＝2，因为直线l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0过定点P，故P(1,1)；设MN的中点为Q(x，y)，则|OM|2＝|OQ|2＋|MQ|2＝|OQ|2＋|PQ|2，即4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，化简可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2＝eq \f(3,2)，所以点Q的轨迹是以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))为圆心，eq \f(\r(6),2)为半径的圆，P到圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))的距离为eq \f(\r(2),2)，所以|PQ|的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6)－\r(2),2)，\f(\r(6)＋\r(2),2)))，|MN|的取值范围为[eq \r(6)－eq \r(2)，eq \r(6)＋eq \r(2)]．
16．已知圆C经过(2,4)，(1,3)两点，圆心C在直线x－y＋1＝0上，过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点．
(1)求圆C的方程；
(2)①请问eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
②若eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝12(O为坐标原点)，求直线l的方程．
解 (1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a2＋4－b2＝r2，,1－a2＋3－b2＝r2，,a－b＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝3，,r＝1，))
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)①eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))为定值．
过点A(0,1)作直线AT与圆C相切，切点为T，
易得|AT|2＝7，
∴eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝|eq \(AM,\s\up6(→))|·|eq \(AN,\s\up6(→))|cs 0°＝|AT|2＝7，
∴eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))为定值，且定值为7.
②依题意可知，直线l的方程为y＝kx＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入(x－2)2＋(y－3)2＝1，
并整理，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
∴x1＋x2＝eq \f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq \f(7,1＋k2)，
∴eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq \f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12，即eq \f(4k1＋k,1＋k2)＝4，解得k＝1，
又当k＝1时，Δ>0，∴k＝1，
∴直线l的方程为y＝x＋1.位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定
方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
dd＝r
d>r
代数法：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0,x－a2＋y－b2＝r2))
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d> r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|d＝|r1－r2|(r1≠r2)
0≤d<|r1－r2|
(r1≠r2)