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江西省吉安市万安县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）
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一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列各数中是无理数的是（ ）
A. 3.14159B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
【详解】解：属于有理数，不合题意；
B.属于有理数，符合题意；
C.＝5，属于有理数，不合题意；
D.属于无理数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了对无理数定义的应用，能理解无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数包括三方面的数：①含π的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数．
2. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 三角形内角和为
B. 内错角相等
C. 负数没有平方根
D. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据平行线的性质、三角形内角和定理、平行线的判定定理、三角形的外角性质判断即可．
【详解】A．三角形内角和是，本选项说法是真命题，不符合题意；
B．两直线平行，内错角相等，故本选项说法是假命题，符合题意；
C．负数没有平方根，本选项说法是真命题，不符合题意；
D．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，本选项说法是真命题，不符合题意；
故选：B．
3. 已知：点的坐标为，而直线平行于轴，那么点坐标有可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由直线平行于轴，可确定点的横坐标为3，进而可得答案.
【详解】解：∵点的坐标为，而直线平行于轴，
∴点的横坐标为3，
∴点的坐标可能为；
故选：A.
【点睛】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，熟知平行于轴的直线上点的横坐标相同是解题的关键.
4. 已知二元一次方程组 ，则等于（ ）
A. B. 5C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用整体思想解题关键．
将两个方程相加之后，利用整体思想化简求解．
【详解】解：，
得：，
则．
故选：B．
5. 小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的是（ ）
A. 众数是6吨B. 平均数是5吨C. 中位数5.5吨D. 方差是1.2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平均数、众数、中位数以及方差，解题的关键是熟练掌握定义和计算公式．
根据众数、平均数、中位数和方差的定义进行计算，即可得出答案．
【详解】解：A、吨出现了3次，出现的次数最多，
众数是6吨，故选项正确，不符合题意；
B、平均数是吨，选项正确，不符合题意；
C、把这些数从小到大排列为3，4，5，6，6，6，
则中位数是吨，故选项正确，不符合题意；
D、这组数据的方差为，选项错误，符合题意；
故选：D．
6. 直线与直线在同一坐标系中的大致图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线与直线图像的位置确定k的正负，若不存在矛盾则符合题意，据此即可解答．
【详解】解：A、过第二、四象限，则，所以过第一、三、四象限，所以A选项符合题意；
B、过第二、四象限，则，所以过第一、三、四象限，所以B选项不符合题意；
C、过第一、三象限，则，所以过第二、一、四象限，所以C选项不符合题意；
D、过第一、三象限，则，所以过第二、一、四象限，所以D选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像：一次函数的图像为一条直线，当，图像过第一、三象限；当，图像过第二、四象限；直线与y轴的交点坐标为．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 的相反数是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据相反数的定义进行分析解答即可．
【详解】的相反数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查相反数及实数，熟记“相反数”的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”是解答这类题的关键．
8. 在国际数学奥林匹克比赛中，中国队荣获团体总分第一名，我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：，上述公式中的“38”是这组数据______．
【答案】平均数
【解析】
【分析】根据方差计算公式即可分析求解．此题考查了方差的概念和平均数，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式．
【详解】∵我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：，
∴上述公式中的“38”是这组数据平均数．
故答案为：平均数．
9. 如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点，若，则____．
【答案】##40度
【解析】
【分析】此题考查三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余的关系，
根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余的关系得到，由此即可得到答案．
【详解】如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
10. 已知点关于轴的对称点的坐标是，则的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，明确坐标特征是解题的关键．
根据关于x轴对称的点的坐标特征进行求解即可．
【详解】∵点关于轴的对称点的坐标是，
∴，
∴，．
故答案为：．
11. 如图，已知函数与函数的图象交于点，则方程组的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解．
【详解】解：∵函数与函数的图象交于点
∴方程组的解．
故答案为：．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点始终落在边AC上，若△MC为直角三角形，则BM的长为____________
【答案】+或1
【解析】
【分析】①如图1，当∠MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CM是等腰直角三角形，得到CM=M，列方程即可得到结论．
【详解】解：①如图1，
当∠MC=90°，与A重合，M是BC的中点，
∴BM=BC=+；
②如图2，当∠MC=90°，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CM是等腰直角三角形，
∴CM=M，
∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点，
∴BM=M，
∴CM=BM，
∵BC=+1，
∴CM+BM=BM+BM=+1，
∴BM=1，
综上所述，若△MC为直角三角形，则BM的长为+或1，
故答案为：+或1．
【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算： ；
（2）解方程组：．
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先化简二次根式，然后分母有理化，然后计算加减即可；
（2）方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：．
14. 如图，已知，可推得．理由如下：
∵（已知），
且（ ）
∴（等量代换）
∴（ ）
∴（ ）
又∵（已知）
∴________（等量代换）
∴（ ）
【答案】（对顶角相等），（同位角相等，两直线平行），C，（两直线平行，同位角相等），，（内错角相等，两直线平行）．
【解析】
【分析】根据平行线的判定及性质解答.
【详解】解：∵（已知），
且（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：（对顶角相等），（同位角相等，两直线平行），C，（两直线平行，同位角相等），，（内错角相等，两直线平行）.
【点睛】此题考查平行线的判定及性质，熟记平行线的判定定理及性质定理是解题的关键.
15. 已知和是某正数的两个平方根，的立方根为．
（1）求a，b的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1）1，4 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查平方根、立方根．
（1）根据平方根的定义、立方根的定义解决此题．
（2）根据算术平方根的定义解决此题．
【小问1详解】
解：由题意可知：，即，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）可知：，，
5的算术平方根是．
16. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标．
（1）在图中作出关于轴对称的图形；
（2）在轴上找一点，使最短，在图中标出点的位置并写出点坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，点坐标为
【解析】
分析】本题主要考查了坐标与图形变化轴对称，轴对称最短路径问题，
（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据轴对称的性质，连接，交y轴于点P，点P即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，点P即为所求；
∴点坐标为0,4．
17. 先化简张明家有一块菜地如图所示，已知米，米，米，米，且，求这块菜地面积是多少平方米？
【答案】平方米
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．构造直角三角形是解题关键．
连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形，然后根据这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和代数求解即可．
【详解】解：连接，如图，
∵，米，米，
∴米．
∵米，米，
∴，
∴，
∴这块菜地面积等于平方米．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 甘肃地震学生会向全校2000名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为____人，图①中 的值是______．
（2）补全条形统计图．
（3）本次调查获取的样本数据的众数是______元，中位数是______元．
（4）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【答案】（1）、；
（2）见解析； （3）10，15
（4）608．
【解析】
【分析】（1）由元的人数及其所占百分比可得总人数，用元人数除以总人数可得m的值；
（2）总人数乘以元对应百分比可得其人数，据此可补全图形；
（3）根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（4）根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为元的学生人数．
【小问1详解】
本次接受随机抽样调查的学生人数为人．
∵
∴ ．
故答案为50、；
【小问2详解】
捐款元的人数为，
补全图形如下：
【小问3详解】
本次调查获取的样本数据的最多的是10，故众数是：元，
本次调查获取的样本数据的中位数是：元；
【小问4详解】
估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为人．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
19. 如图，将一副三角尺如此放置，，，，点D在边上，不动，将绕点D转动，使线段与相交，线段与相交．
（1）当时，如图1．求的度数；
（2）当与不平行时，如图2，的度数会不会变化？请说明由理．
【答案】（1）；
（2）的度数不会变化，见解析
【解析】
【分析】（1）根据得出，，即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理得出，，然后通过已知角度数和，即可得出的度数．
【小问1详解】
∵，
∴，，
∴
【小问2详解】
绕点D转动过程中，的度数不会变化．理由如下：
∵，，
∴
∴
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
20. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F．
（1）证明：△ADF≌△AB′E；
（2）若AD=12，DC=18，求△AEF的面积．
【答案】（1）证明见解析（2）78
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判定．
（2）利用三角形面积公式求解即可.
试题解析：（1）∵四边形ABCD矩形，
∴∠D=∠C=∠B′=90°，AD=CB=AB′，
∵∠DAF+∠EAF=90°，∠B′AE+∠EAF=90°，
∴∠DAF=∠B′AE，
在△ADF和△AB′E中
，
∴△ADF≌△AB′E．
（2）解：由折叠性质得FA=FC，设FA=FC=x，则DF=DC－FC=18－x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，
∴．
解得．
∵△ADF≌△AB′E，
∴AE=AF=13．
∴S△AEF===78．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 为践行“低碳环保、绿色出行”的理念，周末小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以的速度骑行一段时间，休息了，再以的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程与时间的关系如图． 请结合图象，解答下列问题．
（1）________；________；______；
（2）若小军的速度是，小军出发后多少分钟在途中与爸爸第二次相遇．
【答案】（1）10，15，200
（2）分钟
【解析】
【分析】本题主要考查了函数图象的识别，解题的关键是明确题意，从图象中获取信息．
（1）根据题意和函数图象可知爸爸以150米/分的速度行驶了1500米，即可求a，再根据休息了5分钟得出b即可，根据图象中的数据，可以计算出的值；
（2）根据题意，由路程相等得出方程，然后求解即可．
【小问1详解】
解：由图可得，
，；
；
【小问2详解】
解：设小军在图中与爸爸第二次相遇时时间是第分钟，
，
解得，
答：小军在图中与爸爸第二次相遇时的时间是在第分钟．
22. 春节快到了，学校“慈善小组”计划筹集善款购买面包，到福利院送给老人，已知购买2箱豆沙口味面包和2箱大枣口味面包共需110元；购买3箱豆沙口味面包和1箱大枣口味面包共需105元．
（1）求豆沙口味面包和大枣口味面包每箱的单价；
（2）若该小组计划用375元经费购买两种蛋糕且每种蛋糕最少1箱，经费恰好用完，共有几种购买方案；
【答案】（1）豆沙粽子、大枣粽子每箱的单价为25元，30元．
（2）共有2种购买方案
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解本题要弄懂题意，找出题中的关系式，
（1）设豆沙粽子、大枣粽子每箱的价格分别为元，元．根据等量关系列方程即可．
（2）根据计划用375元经费购买两种粽子，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【小问1详解】
设豆沙粽子、大枣粽子每箱的价格分别为元，元，
得：，
解得：，
答：豆沙粽子、大枣粽子每箱的单价为25元，30元．
【小问2详解】
设购买豆沙粽子箱、大枣粽子箱，
根据题意，有．整理，得，
，均为正整数，
可取5或10．
共有2种购买方案．
六．（本大题共12分）
23. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．
（1）求点C的坐标：
（2）在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点D的坐标为或
（3）存在，满足条件的点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）先求出点B的坐标，再依据点C是的中点，求出点C的坐标．
（2）先根据题意求出，设点，则，再根据三角形面积公式可求的长，解得m的值，即可得出点D的坐标．
（3）假设存在，设点P的坐标为，分两种情况讨论：①，②，由直角三角形的性质可求解．
【小问1详解】
∵直线与y轴交于点B，
令得，，
∴，
∴，
∵点C是OB的中点，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵直线与x轴交于点A，
令得，，
∴，
∴，
∴，
设点，则，
∴，
解得或，
∴点D的坐标为或；
【小问3详解】
假设存在，设点P的坐标为，
因为确定，所以是直角三角形需分2种情况分析：
①若，此时点P与原点O重合，坐标为；
②若，则，
∵，，，；
∵，，，
∴，
解得，此时点的坐标为，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，一次函数的性质，直角三角形性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列各数中是无理数的是（ ）
A. 3.14159B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
【详解】解：属于有理数，不合题意；
B.属于有理数，符合题意；
C.＝5，属于有理数，不合题意；
D.属于无理数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了对无理数定义的应用，能理解无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数包括三方面的数：①含π的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数．
2. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 三角形内角和为
B. 内错角相等
C. 负数没有平方根
D. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据平行线的性质、三角形内角和定理、平行线的判定定理、三角形的外角性质判断即可．
【详解】A．三角形内角和是，本选项说法是真命题，不符合题意；
B．两直线平行，内错角相等，故本选项说法是假命题，符合题意；
C．负数没有平方根，本选项说法是真命题，不符合题意；
D．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，本选项说法是真命题，不符合题意；
故选：B．
3. 已知：点的坐标为，而直线平行于轴，那么点坐标有可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由直线平行于轴，可确定点的横坐标为3，进而可得答案.
【详解】解：∵点的坐标为，而直线平行于轴，
∴点的横坐标为3，
∴点的坐标可能为；
故选：A.
【点睛】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，熟知平行于轴的直线上点的横坐标相同是解题的关键.
4. 已知二元一次方程组 ，则等于（ ）
A. B. 5C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用整体思想解题关键．
将两个方程相加之后，利用整体思想化简求解．
【详解】解：，
得：，
则．
故选：B．
5. 小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的是（ ）
A. 众数是6吨B. 平均数是5吨C. 中位数5.5吨D. 方差是1.2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平均数、众数、中位数以及方差，解题的关键是熟练掌握定义和计算公式．
根据众数、平均数、中位数和方差的定义进行计算，即可得出答案．
【详解】解：A、吨出现了3次，出现的次数最多，
众数是6吨，故选项正确，不符合题意；
B、平均数是吨，选项正确，不符合题意；
C、把这些数从小到大排列为3，4，5，6，6，6，
则中位数是吨，故选项正确，不符合题意；
D、这组数据的方差为，选项错误，符合题意；
故选：D．
6. 直线与直线在同一坐标系中的大致图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线与直线图像的位置确定k的正负，若不存在矛盾则符合题意，据此即可解答．
【详解】解：A、过第二、四象限，则，所以过第一、三、四象限，所以A选项符合题意；
B、过第二、四象限，则，所以过第一、三、四象限，所以B选项不符合题意；
C、过第一、三象限，则，所以过第二、一、四象限，所以C选项不符合题意；
D、过第一、三象限，则，所以过第二、一、四象限，所以D选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像：一次函数的图像为一条直线，当，图像过第一、三象限；当，图像过第二、四象限；直线与y轴的交点坐标为．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 的相反数是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据相反数的定义进行分析解答即可．
【详解】的相反数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查相反数及实数，熟记“相反数”的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”是解答这类题的关键．
8. 在国际数学奥林匹克比赛中，中国队荣获团体总分第一名，我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：，上述公式中的“38”是这组数据______．
【答案】平均数
【解析】
【分析】根据方差计算公式即可分析求解．此题考查了方差的概念和平均数，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式．
【详解】∵我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：，
∴上述公式中的“38”是这组数据平均数．
故答案为：平均数．
9. 如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点，若，则____．
【答案】##40度
【解析】
【分析】此题考查三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余的关系，
根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余的关系得到，由此即可得到答案．
【详解】如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
10. 已知点关于轴的对称点的坐标是，则的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，明确坐标特征是解题的关键．
根据关于x轴对称的点的坐标特征进行求解即可．
【详解】∵点关于轴的对称点的坐标是，
∴，
∴，．
故答案为：．
11. 如图，已知函数与函数的图象交于点，则方程组的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解．
【详解】解：∵函数与函数的图象交于点
∴方程组的解．
故答案为：．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点始终落在边AC上，若△MC为直角三角形，则BM的长为____________
【答案】+或1
【解析】
【分析】①如图1，当∠MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CM是等腰直角三角形，得到CM=M，列方程即可得到结论．
【详解】解：①如图1，
当∠MC=90°，与A重合，M是BC的中点，
∴BM=BC=+；
②如图2，当∠MC=90°，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CM是等腰直角三角形，
∴CM=M，
∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点，
∴BM=M，
∴CM=BM，
∵BC=+1，
∴CM+BM=BM+BM=+1，
∴BM=1，
综上所述，若△MC为直角三角形，则BM的长为+或1，
故答案为：+或1．
【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算： ；
（2）解方程组：．
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先化简二次根式，然后分母有理化，然后计算加减即可；
（2）方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：．
14. 如图，已知，可推得．理由如下：
∵（已知），
且（ ）
∴（等量代换）
∴（ ）
∴（ ）
又∵（已知）
∴________（等量代换）
∴（ ）
【答案】（对顶角相等），（同位角相等，两直线平行），C，（两直线平行，同位角相等），，（内错角相等，两直线平行）．
【解析】
【分析】根据平行线的判定及性质解答.
【详解】解：∵（已知），
且（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：（对顶角相等），（同位角相等，两直线平行），C，（两直线平行，同位角相等），，（内错角相等，两直线平行）.
【点睛】此题考查平行线的判定及性质，熟记平行线的判定定理及性质定理是解题的关键.
15. 已知和是某正数的两个平方根，的立方根为．
（1）求a，b的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1）1，4 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查平方根、立方根．
（1）根据平方根的定义、立方根的定义解决此题．
（2）根据算术平方根的定义解决此题．
【小问1详解】
解：由题意可知：，即，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）可知：，，
5的算术平方根是．
16. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标．
（1）在图中作出关于轴对称的图形；
（2）在轴上找一点，使最短，在图中标出点的位置并写出点坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，点坐标为
【解析】
分析】本题主要考查了坐标与图形变化轴对称，轴对称最短路径问题，
（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据轴对称的性质，连接，交y轴于点P，点P即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，点P即为所求；
∴点坐标为0,4．
17. 先化简张明家有一块菜地如图所示，已知米，米，米，米，且，求这块菜地面积是多少平方米？
【答案】平方米
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．构造直角三角形是解题关键．
连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形，然后根据这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和代数求解即可．
【详解】解：连接，如图，
∵，米，米，
∴米．
∵米，米，
∴，
∴，
∴这块菜地面积等于平方米．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 甘肃地震学生会向全校2000名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为____人，图①中 的值是______．
（2）补全条形统计图．
（3）本次调查获取的样本数据的众数是______元，中位数是______元．
（4）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【答案】（1）、；
（2）见解析； （3）10，15
（4）608．
【解析】
【分析】（1）由元的人数及其所占百分比可得总人数，用元人数除以总人数可得m的值；
（2）总人数乘以元对应百分比可得其人数，据此可补全图形；
（3）根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（4）根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为元的学生人数．
【小问1详解】
本次接受随机抽样调查的学生人数为人．
∵
∴ ．
故答案为50、；
【小问2详解】
捐款元的人数为，
补全图形如下：
【小问3详解】
本次调查获取的样本数据的最多的是10，故众数是：元，
本次调查获取的样本数据的中位数是：元；
【小问4详解】
估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为人．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
19. 如图，将一副三角尺如此放置，，，，点D在边上，不动，将绕点D转动，使线段与相交，线段与相交．
（1）当时，如图1．求的度数；
（2）当与不平行时，如图2，的度数会不会变化？请说明由理．
【答案】（1）；
（2）的度数不会变化，见解析
【解析】
【分析】（1）根据得出，，即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理得出，，然后通过已知角度数和，即可得出的度数．
【小问1详解】
∵，
∴，，
∴
【小问2详解】
绕点D转动过程中，的度数不会变化．理由如下：
∵，，
∴
∴
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
20. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F．
（1）证明：△ADF≌△AB′E；
（2）若AD=12，DC=18，求△AEF的面积．
【答案】（1）证明见解析（2）78
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判定．
（2）利用三角形面积公式求解即可.
试题解析：（1）∵四边形ABCD矩形，
∴∠D=∠C=∠B′=90°，AD=CB=AB′，
∵∠DAF+∠EAF=90°，∠B′AE+∠EAF=90°，
∴∠DAF=∠B′AE，
在△ADF和△AB′E中
，
∴△ADF≌△AB′E．
（2）解：由折叠性质得FA=FC，设FA=FC=x，则DF=DC－FC=18－x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，
∴．
解得．
∵△ADF≌△AB′E，
∴AE=AF=13．
∴S△AEF===78．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 为践行“低碳环保、绿色出行”的理念，周末小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以的速度骑行一段时间，休息了，再以的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程与时间的关系如图． 请结合图象，解答下列问题．
（1）________；________；______；
（2）若小军的速度是，小军出发后多少分钟在途中与爸爸第二次相遇．
【答案】（1）10，15，200
（2）分钟
【解析】
【分析】本题主要考查了函数图象的识别，解题的关键是明确题意，从图象中获取信息．
（1）根据题意和函数图象可知爸爸以150米/分的速度行驶了1500米，即可求a，再根据休息了5分钟得出b即可，根据图象中的数据，可以计算出的值；
（2）根据题意，由路程相等得出方程，然后求解即可．
【小问1详解】
解：由图可得，
，；
；
【小问2详解】
解：设小军在图中与爸爸第二次相遇时时间是第分钟，
，
解得，
答：小军在图中与爸爸第二次相遇时的时间是在第分钟．
22. 春节快到了，学校“慈善小组”计划筹集善款购买面包，到福利院送给老人，已知购买2箱豆沙口味面包和2箱大枣口味面包共需110元；购买3箱豆沙口味面包和1箱大枣口味面包共需105元．
（1）求豆沙口味面包和大枣口味面包每箱的单价；
（2）若该小组计划用375元经费购买两种蛋糕且每种蛋糕最少1箱，经费恰好用完，共有几种购买方案；
【答案】（1）豆沙粽子、大枣粽子每箱的单价为25元，30元．
（2）共有2种购买方案
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解本题要弄懂题意，找出题中的关系式，
（1）设豆沙粽子、大枣粽子每箱的价格分别为元，元．根据等量关系列方程即可．
（2）根据计划用375元经费购买两种粽子，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【小问1详解】
设豆沙粽子、大枣粽子每箱的价格分别为元，元，
得：，
解得：，
答：豆沙粽子、大枣粽子每箱的单价为25元，30元．
【小问2详解】
设购买豆沙粽子箱、大枣粽子箱，
根据题意，有．整理，得，
，均为正整数，
可取5或10．
共有2种购买方案．
六．（本大题共12分）
23. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．
（1）求点C的坐标：
（2）在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点D的坐标为或
（3）存在，满足条件的点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）先求出点B的坐标，再依据点C是的中点，求出点C的坐标．
（2）先根据题意求出，设点，则，再根据三角形面积公式可求的长，解得m的值，即可得出点D的坐标．
（3）假设存在，设点P的坐标为，分两种情况讨论：①，②，由直角三角形的性质可求解．
【小问1详解】
∵直线与y轴交于点B，
令得，，
∴，
∴，
∵点C是OB的中点，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵直线与x轴交于点A，
令得，，
∴，
∴，
∴，
设点，则，
∴，
解得或，
∴点D的坐标为或；
【小问3详解】
假设存在，设点P的坐标为，
因为确定，所以是直角三角形需分2种情况分析：
①若，此时点P与原点O重合，坐标为；
②若，则，
∵，，，；
∵，，，
∴，
解得，此时点的坐标为，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，一次函数的性质，直角三角形性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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