黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列计算正确的是( )
A.B.
C.D.
2．下列各组数作为三角形的三边长,不能构成直角三角形的是( )
A.6,9,12B.5,12,13C.1,,D.0.3,0.4,0.5
3．下列说法,正确的是( )
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C.一个角是直角的菱形是正方形
D.对角线相等且互相平分的四边形是菱形
4．若直线经过第一、二、四象限,则函数的大致图象是( )
A.B.
C.D.
5．某健步走运动爱好者用手机软件记录了某个月(30天)每天健步走的步数(单位：万步),将记录结果绘制成了如图所示的统计图.在每天所走的步数这组数据中,众数和中位数分别是( )
A.1.2,1.3B.1.3,1.3C.1.4,1.35D.1.4,1.3
6．下列方程中,没有实数根的是( )
A.B.
C.D.
7．如图,在中,,D,E分别为,的中点,平分,交于点F,若,,则的长为( )
A.B.1C.D.2
8．如图1,点P从矩形的顶点A出发,沿以2cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点P运动时,的面积随时间变化的关系图像,则a的值为( )
A.8B.6C.4D.3
9．如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,矩形的顶点、,点P为矩形内一点,且满足,则的最小值是( )
A.B.C.16D.12
10．已知a是方程的根,则的值是( )
A.B.C.D.2
11．如图,矩形中,,的平分线交于点E,,垂足为F,连接,,下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题
12．函数中自变量x的取值范围是______.
13．如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在对角线BD上,请你添加一个条件______,使四边形AECF是菱形.
14．若,是方程的两个根,则的值为______.
15．已知一次函数的图象经过点,与y轴交于点B,O为坐标原点.若的面积为6,则该一次函数的解析式为______.
16．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是______.
17．如图,在矩形中,点E在边上,于F,若,,则线段的长是______.
18．矩形的对角线交于点O,为的高,,,则______.
19．如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换,每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点变换到点,得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点,得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点,得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点,得到等腰直角三角形⑤…依此规律,则第2023个等腰直角三角形的面积是______.
三、解答题
20．(1)计算：.
(2)解方程：
①；
②.
21．“足球运球”是中考体育必考项目之一.某校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况,随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本,按A、B、C、D四个等级进行统计,制成了如下不完整的统计图.(说明：A级：分,B级：分,C级：分,D级：分),根据所给信息,解答以下问题：
(1)在扇形统计图中,D对应的扇形的圆心角是______度.
(2)补全条形统计图.
(3)所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在级.
(4)该校九年级有450名学生,请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？
22．为推进美丽乡村建设,改善人居环境,创建美丽家园.我市甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共800吨,甲工厂的生产量是乙工厂的2倍少100吨,这批建设物资将运往A地420吨,B地380吨,运费如下：(单位：吨)
(1)求甲、乙两厂各生产了这批建设物资多少吨？
(2)设这批物资从甲工厂运往A地x吨,全部运往A,B两地的总运费为y元,求y与x之间的函数关系式,写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案；
(3)由于甲工厂到A地的路况得到了改善,缩短了运输距离和运输时间,运费每吨降低m元,其余路线运费不变.若到A,B两市的总运费的最小值不小于14020元,求m的取值范围.
23．骑行是现在流行的健身方式之一,周末“绿色骑行俱乐部”组织了一次从甲地出发,目的地为乙地的骑行活动,在“俱乐部”自行车队出发1小时后,恰有一辆摩托车从甲地出发,沿自行车队行进路线前往乙地,到达乙地后立即按原路返回甲地.自行车队与摩托车行驶速度均保持不变,并且摩托车行驶速度是自行车队行驶速度的3倍.如图所示的是自行车队、摩托车离甲地的路程与自行车队离开甲地的时间的关系图象,请根据图象提供的信息,回答下列问题.
(1)摩托车行驶的速度是__________；____________；
(2)求出自行车队离甲地的路程与自行车队离开甲地的时间的关系式,并求出自行车队出发多少小时与摩托车相遇；
(3)直接写出当摩托车与自行车队相距时,此时离摩托车出发经过了多少小时.
24．综合与实践
【课本再现】在一次课题学习活动中,老师提出了如下问题：如图1,四边形是正方形,点E是边的中点,,且交正方形外角平分线于点F.请你探究与存在怎样的数量关系,并证明你的结论.
经过探究,小明得出的结论是.而要证明结论,就需要证明和所在的两个三角形全等,但和显然不全等(一个是直角三角形,一个是钝角三角形),考虑到点E是边的中点,小明想到的方法是如图2,取的中点M,连接,证明.从而得到.
(1)小明的证法中,证明的条件可以为( )
A.边边边
B.边角边
C.角边角
D.斜边直角边
【类比迁移】
(2)如图3,若把条件“点E是边的中点”改为“点E是边上的任意一点”,其余条件不变,是否仍然成立？若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由.
(3)如图4,如果点E是边延长线上的任意一点,其他条件不变,是否仍然成立？___________(填“是”或“否”,不需证明)；
【拓展应用】
(4)已知：四边形是正方形,点E是直线上的一点,,且交正方形外角平分线于点F,若,,则的长为___________.
25．综合与探究
如图,在平面直角坐标系中,函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,过点A的直线交y轴正半轴于点M,且点M为线段的中点.
(1)A点坐标为____________,B点坐标为________________
(2)求直线的函数解析式.
(3)在直线上找一点P,使得,请直接写出点P的坐标.
(4)在坐标平面内是否存在点C,使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请直接写出点C的坐标；若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：A、3和不是同类二次根式,不能合并,计算错误,不符合题意；
B、和不是同类二次根式,不能合并,计算错误,不符合题意；
C、,计算错误,不符合题意；
D、,计算正确,符合题意；
故选D.
2．答案：A
解析：A.,不能构成直角三角形；
B.,构成直角三角形；
C.,构成直角三角形；
D.,构成直角三角形.
故选：A.
3．答案：C
解析：A.有一个角是直角的四边形不一定是矩形,故该选项错误,不符合题意；
B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形,也可能是等腰梯形,故该选项错误,不符合题意；
C.一个角是直角的菱形是正方形,故该选项正确,符合题意；
D.对角线互相相等平分的四边形是矩形,故该选项错误,不符合题意.
故选C.
4．答案：B
解析：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限,
∴,,
∴,,
∴一次函数图象第一、二、三象限,
故选：B.
5．答案：D
解析：∵这组数据中1.4出现的次数最多,
∴在每天所走的步数这组数据中,众数是1.4；
每天所走的步数的中位数是：
,
∴在每天所走的步数这组数据中,众数和中位数分别是1.4、1.3.
故选：D.
6．答案：B
解析：A.,所以原方程有两个不相等的实数根,故A不符合题意.
B.,所以原方程没有实数根,故B符合题意.
C.,所以原方程有一个实数根,故C不符合题意.
D.,所以原方程有两个不相等的实数根,故D不符合题意.
故选：B.
7．答案：B
解析：在中,,,
由勾股定理得：,
平分,
,
,E分别为,的中点,
,,,
,
,
,
,
故选：B.
8．答案：C
解析：∵矩形中,,
∴当点P在边上运动时,y的值不变,
由图像可知,当时,点P与点D重合,
∴,即矩形的长是,
∴,
即.
当点P在上运动时,y逐渐减小,
由图像可知：点P从点D运动到点B共用了,
∴,
在中,,
∴,
解得.
故选：C.
9．答案：A
解析：过点P作交、于点M、N,
∵,
∴,
即,
作O点关于的对称点,连接,则长即为的最小值；
则,
∴,
故选A.
10．答案：B
解析：∵a是方程的根,
∴,即
,
,
,
,
.
故选B.
11．答案：C
解析：四边形是矩形,
,,,
平分,
,
,
,
,
,
,故①正确；
,,,
,
,,
,
,,
又,
,
,
∴,故②错误；
,,
垂直平分,故③正确；
,
,
又,,
,
,故④正确,
综上所述：正确的结论有①③④,共3个,
故选：C.
12．答案：
解析：由题意得：,,
解得：,
故答案为：.
13．答案：
解析：添加的条件为：,
理由：正方形ABCD中,对角线BD,
∴,.
∵,
∴.
∴
∴四边形AECF是菱形；
故答案为：.
14．答案：7
解析：∵,是方程的两个根,
∴,,
∴,
故答案为：7.
15．答案：或
解析：点,
,
的面积为6,
,
,
,
或,
将,代入得：
,解得：,
一次函数的解析式为：,
将,代入得：
,解得：,
一次函数的解析式为：,
综上所述：一次函数的解析式为：或,
故答案为：或.
16．答案：且
解析：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,
∴且,
即且,
∴且.
故答案为：且
17．答案：4
解析：如图所示,连接,
∵四边形是矩形,
∴,,,,
∴,
∵,
∴,
又∵,,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∴,
设,则
在中,由勾股定理可得,即,
解得,即,
∴,
故答案为：4.
18．答案：
解析：如图,
∵四边形是矩形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵为的高,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∴,
∴,
故答案为：.
19．答案：
解析：∵点,
∴第1个等腰直角三角形的两腰长为2,
∴第1个等腰直角三角形的面积,
∵,
∴第2个等腰直角三角形的腰长为,
∴第2个等腰直角三角形的面积,
∵,
∴第3个等腰直角三角形的边长为,
∴第3个等腰直角三角形的面积,
…
第n个等腰直角三角形的面积
则第2023个等腰直角三角形的面积是；
故答案为：.
20．答案：(1)
(2)①,
②,
解析：(1)
.
(2)①
,
∴,
∴,.
②
整理得：,
即,
∴或,
解得：,.
21．答案：(1)86.4
(2)图见解析
(3)C
(4)27人
解析：(1),
故答案为：86.4.
(2)样本总人数(人),
C级人数(人),
∴统计图为：
(3)∵共有50个数据,其中第25、26个数据的平均数为中位数,而第25、26个数据均在C级,
∴所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在C级,
故答案为：C.
(4)(人),
∴估计足球运球测试成绩达到A级的学生有27人.
22．答案：(1)甲、乙两厂分别生产了这批建设物资500吨和300吨
(2)(),甲工厂运往A地120吨,运往B地380吨；乙工厂运往A地300吨
(3)
解析：(1)设这批建设物资甲厂生产了a吨,乙厂生产了b吨.
根据题意,得,.
解得,.
答：甲、乙两厂分别生产了这批建设物资500吨和300吨.
(2).
解不等式组得,,
∴y与x之间的函数关系式为,
∴y是关于x的一次函数.
∵,y随x的增大而增大,
∴当时,总运费最小.此时,
,,.
∴总运费最少的调运的方案是：
甲工厂运往A地120吨,运往B地380吨；乙工厂运往A地300吨.
(3)由题意可得,.
分三种情况：
(i)当时,
,y随x的增大而增大.
∴当时,y取得最小值,此时有.
解得,；
(ii)当时,,,不合题意,舍去；
(iii)当时,,y随x的增大而减少.
∴当时,y取得最小值,此时有,.
此不等式组无解.
∴当时,这种情况不符合题意,舍去.
综合上述三种情况,可得m的取值范围是.
23．答案：(1)；
(2),自行车队出发后小时或小时与自行车队相遇
(3)摩托车与自行车队相距时,此时离摩托车出发经过了小时或小时或小时或小时.
解析：(1)自行车队行驶的速度为
则摩托车行驶的速度为
故答案；.
(2)设自行车队出发x小时与摩托车相遇,自行车队的函数关系式为：,
根据图像可得：,
∴
∴自行车队的函数关系式为：,,
①首次相遇由题意得,解得
②摩托车在返程中与自行车队再次相遇
根据题意得,解得,
即自行车队出发后小时或小时与自行车队相遇.
(3)设离摩托车出发经过了m小时与自行车队相距.
①当,①当自行车队在摩托车前面时,
解得；
②当摩托车在自行车队前面时,,
解得；
当时,①摩托车从乙地返回,与自行车队未相遇,
,解得；
②摩托车从乙地返回,与自行车队相遇后,.
解得.
即摩托车与自行车队相距时,此时离摩托车出发经过了小时或小时或小时或小时.
24．答案：(1)C
(2)成立,证明见解析
(3)是,理由见解析
(4)或
解析：(1)取的中点M,连接.
正方形中,,
又,,
,
是等腰直角三角形,
,
,
又.
,
在和中,
,
,
故选：C.
(2)成立.
证明：如图,在上截取,连接,
∵四边形是正方形,
∴,,
∴,,
∴.
∵是正方形的外角平分线,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴.
∵,,
∴,
在和中,,
∴,
∴.
(3)理由：连接,过点F作,交BC延长于G,在上截取,连接,如图4,
∵四边形是正方形,
∴,,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵是正方形的外角平分线,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,即,
∴,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴.
(4)分两种情况：当点E在边上时,如图1,
∵四边形是正方形,
∴,,
∴,
由勾股定理,得
,
由(2)知,；
当点E是直线上的一点时,如图4,
∵四边形是正方形,
∴,,
∴,
由勾股定理,得
,
由(3)知,；
综上,的长为或.
25．答案：(1),
(2)
(3)和
(4)或或
解析：(1)∵函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,
∴令,得,即：,
令,得,即：,
故答案为：,；
(2)∵点M为线段的中点,,
∴,
设直线的函数解析式,
将和代入得：,解得：,
∴直线的函数解析式：；
(3)∵,,
∴,
设,
∴,
∵,
∴,解得：,
∴,
∵点P关于点A的对称点为,
∴满足条件的点P坐标为：和；
(4)存在点C,使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形,
∵,,,
①以,为对角线,
根据平移的性质,点,
②以,为对角线,
根据平移的性质,点,
③以,为对角线,
根据平移的性质,点,
综上所述：点C的坐标为或或.
生产厂
A
B
甲
25
20
乙
15
24