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鲁科版 (2019)必修 第一册第2节 力的分解精品习题
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这是一份鲁科版 (2019)必修 第一册第2节 力的分解精品习题，文件包含鲁科版2019高中物理必修第一册42《力的分解》原卷docx、鲁科版2019高中物理必修第一册42《力的分解》解析卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
考点1：分力 力的分解
1.力的分解原则
（1）一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解．因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示)．
（2）把一个力分解成两个分力，仅是一种等效替代关系，不能认为在这两个分力方向有两个施力物体(或受力物体)．
（3）也不能错误地认为F2就是物体对斜面的压力，因为F2不是斜面受到的力，且性质与压力不同，仅在数值上等于物体对斜面的压力．
（4）实际分解时，按力的作用效果可分解为两个确定的分力．
2．按实际效果分解的几个实例
【例1】 将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力F1有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力F2的大小为6 N，则在分解时( )
A．有无数组解 B．有两组解
C．有唯一解 D．无解
【解析】B 由已知条件可得Fsin 30°＝5 N，又5 N＜F2＜10 N，即Fsin 30°＜F2＜F，所以F1、F2和F可构成如图所示的两个三角形，故此时有两组解，选项B正确．
【例2】 如图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则两挡板受到小球的压力大小之比为多大？斜面受到两小球的压力大小之比为多大？
【解析】 对小球1所受的重力来说，其效果有二：第一，使小球沿水平方向挤压挡板；第二，使小球垂直压紧斜面．因此，力的分解如图甲所示，由此可得两个分力的大小分别为F1＝Gtan θ，F2＝eq \f(G,cs θ).对小球2所受的重力G来说，其效果有二：第一，使小球垂直挤压挡板；第二，使小球垂直压紧斜面．因此，力的分解如图乙所示，由此可得两个分力的大小分别为F3＝Gsin θ，F4＝Gcs θ.由力的相互性可知，挡板A、B受到小球的压力之比为F1∶F3＝1∶cs θ，斜面受到两小球的压力之比为F2∶F4＝1∶cs2θ.
甲 乙
【技巧与方法】
力的分解的原理与步骤
原理：若两个力共同作用的效果与某一个力作用时的效果完全相同，则可用这两个力“替代”这一个力．
步骤
① 根据已知力的实际效果确定两个分力的方向．
② 根据两个分力的方向作出力的平行四边形，确定表示分力的有向线段．
③ 利用数学知识解平行四边形或三角形，计算分力的大小和方向．
【针对训练】
1.(多选)一根长为L的易断的均匀细绳，两端固定在天花板上的A、B两点．若在细绳的C处悬挂一重物，已知AC＞CB，如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．增加重物的重力，BC段先断
B．增加重物的重力，AC段先断
C．将A端往左移比往右移时绳子容易断
D．将A端往右移比往左移时绳子容易断
【解析】AC 研究C点，C点受重物的拉力，其大小等于重物的重力，即T＝G.将重物对C点的拉力分解为对AC和BC两段绳的拉力，其力的平行四边形如图所示．因为AC＞CB，得FBC＞FAC.当增加重物的重力G时，按比例FBC增大得较多，所以BC段绳先断，因此A项正确，B项错误．将A端往左移时，FBC与FAC两力夹角变大，合力T一定，则两分力FBC与FAC都增大．将A端向右移时两分力夹角变小，两分力也变小，由此可知C项正确，D项错误．故选A、C.
2．甲、乙两人用绳子拉船，使船沿OO′方向航行，甲用1 000 N的力拉绳子，方向如图所示，要使船沿OO′方向航行，乙的拉力最小值为( )
A．500eq \r(3) N B．500 N
C．1 000 N D．400 N
【解析】B 要使船沿OO′方向航行，甲和乙的拉力的合力方向必须沿OO′方向．如图所示，作平行四边形可知，当乙拉船的力的方向垂直于OO′时，乙的拉力F乙最小，其最小值为F乙min＝F甲sin 30°＝1 000×eq \f(1,2) N＝500 N，故B正确．
考点2：力的正交分解
1．正交分解的适用情况：适用于计算三个或三个以上共点力的合成．
2．正交分解的目的：将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决矢量的运算，“分”的目的是为了更好地“合”．
3．力的正交分解的依据：分力与合力的等效性．
4．正交分解的基本步骤
（1）建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力落在坐标轴上．
（2）正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示．
（3）分别求出x轴、y轴上各分力的合力，即：
Fx＝F1x＋F2x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋…
（4）求共点力的合力： 合力大小F＝eq \r(F\\al(2,x)＋F\\al(2,y))，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝eq \f(Fy,Fx)，即α＝arctan eq \f(Fy,Fx).
【例3】 在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力．(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
【分析】当物体受多个力作用时，一般采用正交分解法求解，可按以下思路：
eq \x(建立坐标系)→eq \x(分解各力)→eq \x(求Fx、Fy)→eq \x(求F合)
【解析】如图甲，建立直角坐标系，把各个力分解到这两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有
甲
Fx＝F1＋F2cs 37°－F3cs 37°＝27 N，
Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N.
因此，如图乙所示，合力：
乙
F＝eq \r(F\\al(2,x)＋F\\al(2,y))≈38.2 N，tan φ＝eq \f(Fy,Fx)＝1.
即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上．
【答案】38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上
【技巧与方法】
正交分解时坐标系的选取原则与方法
（1）原则：用正交分解法建立坐标系时，通常以共点力作用线的交点为原点，并尽量使较多的力落在坐标轴上，以少分解力为原则．
（2）方法：应用正交分解法时，常按以下方法建立坐标轴．
① 研究水平面上的物体时，通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴．
② 研究斜面上的物体时，通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴．
③ 研究物体在杆或绳的作用下转动时，通常沿杆(或绳)方向和垂直杆(或绳)的方向建立坐标轴．
【针对训练】
3．如图所示，一物块置于水平地面上，当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动．若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为( )
A.eq \r(3)－1 B．2－eq \r(3)
C.eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2) D．1－eq \f(\r(3),2)
【解析】B 将两种情况下的力沿水平方向和竖直方向正交分解，因为两种情况下物块均做匀速直线运动，故有F1cs 60°＝μ(mg－F1sin 60°)，F2cs 30°＝μ(mg＋F2sin 30°)，再由F1＝F2，解得μ＝2－eq \r(3)，故B正确．
4．大小均为F的三个力共同作用在O点，如图所示，F1、F3与F2之间的夹角均为60°，求它们的合力．
【解析】 以O点为原点、F1的方向为x轴正方向建立直角坐标系．分别把各个力分解到两个坐标轴上，如图所示．
F1x＝F1，F1y＝0，F2x＝F2cs 60°，F2y＝F2sin 60°，F3x＝－F3cs 60°，F3y＝F3sin 60°，x轴和y轴上的合力分别为Fx＝F1x＋F2x＋F3x＝F1＋F2cs 60°－F3cs 60°＝F，Fy＝F1y＋F2y＋F3y＝0＋F2sin 60°＋F3sin 60°＝eq \r(3)F，求出Fx和Fy的合力即是所求的三个力的合力，如图所示．
F合＝eq \r(F\\al(2,x)＋F\\al(2,y))，代入数据得F合＝2F，tan θ＝eq \f(Fy,Fx)＝eq \r(3)，所以θ＝60°，即合力F合与F2的方向相同．
【答案】 2F，与F2的方向相同
考点达标
一、选择题
1．关于共点力，下列说法中不正确的是( )
A．作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，这两个力是共点力
B．作用在一个物体上的两个力，如果是一对平衡力，则这两个力是共点力
C．作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用点在同一点上，则这几个力是共点力
D．作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用线交于同一点，则这几个力是共点力
【解析】A 共点力是几个力作用于同一点或力的作用线相交于同一点的力．若受两个力平衡的物体，则物体所受的必定是共点力，所以A错，B、C、D对．
2．如图所示，F1、F2为两个相互垂直的共点力，F是它们的合力，已知F1的大小为6 N，F的大小等于10 N，若改变F1、F2的夹角，则它们的合力大小还可能是( )
A．0 B．8 N
C．16 N D．18 N
【解析】B F1、F2为两个相互垂直的共点力，合力F的大小等于10 N，所以根据勾股定理可得，F2＝eq \r(F2－F\\al(2,1))＝eq \r(102－62) N＝8 N，两力合成时，合力范围为：|F1－F2|≤F≤F1＋F2，故2 N≤F≤14 N，所以还可能是B选项．
3．下列图中，F1、F2、F3恰好构成封闭的直角三角形，这三个力的合力最大的是( )
A B C D
【解析】C 由矢量合成法则可知A图的合力为2F3，B图的合力为0，C图的合力为2F2，D图的合力为2F3，因F2为直角三角形的斜边，故这三个力的合力最大的为C图．
4．有三个力，大小分别为13 N、3 N、29 N．那么这三个力的合力最大值和最小值应该是( )
A．29 N,3 N B．45 N,0 N
C．45 N,13 N D．29 N,13 N
【解析】C 当三个力同方向时，合力最大，为45 N；任取其中两个力，如取13 N、3 N两个力，其合力范围为10 N≤F≤16 N，29 N不在该范围之内，故合力不能为零，当13 N、3 N的两个力同向，与29 N的力反向时，合力最小，最小值为13 N，则C正确，A、B、D错误．
5.如图所示的水平面上，橡皮绳一端固定，另一端连接两根弹簧，F1、F2和F3三个力的合力为零．下列判断正确的是( )
A．F1>F2>F3
B．F3>F1>F2
C．F2>F3>F1
D．F3>F2>F1
【解析】B 三个力的合力为零，即F1、F2的合力F3′与F3等大反向，三力构成的平行四边形如图所示，由数学知识可知F3>F1>F2，B正确．
6．如图所示为两个共点力的合力F的大小随两分力的夹角θ变化的图像，则这两个分力的大小分别为( )
A．1 N和4 N B．2 N和3 N
C．1 N和5 N D．2 N和4 N
【解析】B 由题图知，两力方向相同时，合力为5 N．即F1＋F2＝5 N；方向相反时，合力为1 N，即|F1－F2|＝1 N．故F1＝3 N，F2＝2 N，或F1＝2 N，F2＝3 N，B正确．
二、非选择题
7.如图所示，有五个力作用于同一点O，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两邻边和三条对角线．已知F1＝10 N，则这五个力的合力大小为多少？
【解析】 方法一：巧用对角线特性．如图甲所示，根据正六边形的特点及平行四边形定则知：F2与F5的合力恰好与F1重合；F3与F4的合力也恰好与F1重合；故五个力的合力大小为3F1＝30 N.
甲 乙
方法二：利用对称法．如图乙所示，由于对称性，F2和F3的夹角为120°，它们的大小相等，合力在其夹角的平分线上，故力F2和F3的合力F23＝2F2cs 60°＝2(F1cs 60°)cs 60°＝eq \f(F1,2)＝5 N．同理，F4和F5的合力也在其角平分线上，由图中几何关系可知：F45＝2F4cs 30°＝2(F1cs 30°)cs 30°＝eq \f(3,2)F1＝15 N．故这五个力的合力F＝F1＋F23＋F45＝30 N.
巩固提升
一、选择题
1．某物体所受n个共点力的合力为零，若把其中一个力F1的方向沿顺时针方向转过90°，并保持其大小不变，其余力保持不变，则此时物体所受的合力大小为 ( )
A．F1 B.eq \r(2)F1
C．2F1 D．0
【解析】B 物体所受n个力的合力为零，则其中n－1个力的合力一定与剩下来的那个力等大反向，故除F1以外的其他各力的合力的大小也为F1，且与F1反向，故当F1转过90°时，合力应为eq \r(2)F1，B正确．
2．一根细绳能承受的最大拉力是G，现把一重为G的物体系在绳的中点，分别握住绳的两端，先并拢，然后缓慢地左右对称地分开，若要求绳不断，则两绳间的夹角不能超过( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
【解析】C 由于细绳是对称分开的，因而两绳的拉力相等，为保证绳不断，两绳拉力的合力大小等于G，随着两绳夹角的增大，两绳中的拉力增大，当两绳的夹角为120°时，绳中拉力刚好等于G.故C正确，A、B、D错误．
3．如图所示，物体M在斜向右下方的推力F作用下，在水平地面上恰好做匀速运动，则推力F和物体M受到的摩擦力的合力方向( )
A．竖直向下 B．竖直向上
C．斜向下偏左 D．斜向下偏右
【解析】A 物体M受四个力作用(如图所示)，支持力FN和重力G的合力一定在竖直方向上，由平衡条件知，摩擦力Ff和推力F的合力与支持力FN和重力G的合力必定等大反向，故Ff与F的合力方向竖直向下．
4．手握轻杆，杆的另一端安装有一个轻质小滑轮C，支撑着悬挂重物的绳子，如图所示，现保持滑轮C的位置不变，使杆向下转动一个角度，则杆对滑轮C的作用力将( )
A．变大 B．不变
C．变小 D．无法确定
【解析】B 物体的重力不变，那么绳子的拉力大小仍然等于物体的重力，保持滑轮C的位置不变，即两段绳子间的夹角不变，所以两绳子拉力的合力不变，轻质滑轮的重力不计，所以两绳子拉力的合力与杆对滑轮C的作用力等大反向，所以杆对滑轮C的作用力不变，故选B.
二、非选择题
5．如图所示，一条小船在河中向正东方向行驶，船上挂起一风帆，帆受侧向风作用，风力大小F1为100 N，方向为东偏南30°，为了使船受到的合力能恰沿正东方向，岸上一人用一根绳子拉船，绳子取向与河岸垂直，求出风力和绳子拉力的合力大小及绳子拉力F2的大小．
【解析】如图所示，以F1、F2为邻边作平行四边形，使合力F沿正东方向，
则F＝F1cs 30°＝100×eq \f(\r(3),2) N＝50eq \r(3) N.
F2＝F1sin 30°＝100×eq \f(1,2) N＝50 N.
6.(13分)如图所示，两根相同的橡皮条OA、OB，开始时夹角为0°，在O点处打结吊一重50 N的物体后，结点O刚好位于圆心．现将A、B分别沿圆周向两边移到A′、B′，使∠AOA′＝∠BOB′＝60°.欲使结点仍为圆心处，则此时结点处应挂多重的物体？
【解析】根据在原位置时物体静止，求出橡皮条的拉力．由于变化位置后结点位置不变，因此每根橡皮条的拉力大小不变，但是方向变化．设OA、OB并排吊起重物时，橡皮条产生的弹力均为F，则它们产生的合力为2F，且与G1平衡，所以F＝eq \f(G1,2)＝eq \f(50,2) N＝25 N．当A′O、B′O夹角为120°时，橡皮条伸长不变，橡皮条产生的弹力仍为25 N，两根橡皮条互成120°角，所以合力的大小为25 N，即应挂的重物重25 N.
实例
分析
（1）拉力F的效果：
① 使物体具有沿水平地面前进(或有前进的趋势)的分力F1
② 竖直向上提物体的分力F2
（2）分力大小：F1＝Fcs α，F2＝Fsin α
（1）重力的两个效果：
①使物体具有沿斜面下滑(或有下滑的趋势)的分力F1
②使物体压紧斜面的分力F2
（2）2分力大小：F1＝mgsin α，F2＝mgcs α
（1）重力的两个效果：
①使球压紧板的分力F1
②使球压紧斜面的分力F2
（2）分力大小：F1＝mgtan α， F2＝eq \f(mg,cs α)
（1）重力的两个效果：
①使球压紧竖直墙壁的分力F1
②使球拉紧悬线的分力F2
（2）分力大小：F1＝mgtan α，F2＝eq \f(mg,cs α)
（1）重力的两个效果：
①对OA的拉力F1
②对OB的拉力F2
（2）分力大小：F1＝mgtan α，F2＝eq \f(mg,cs α)
（1）重力的两个效果：
①拉伸AB的分力F1
②压缩BC的分力F2
（2）分力大小：F1＝mgtan α，F2＝eq \f(mg,cs α)
考点1：分力 力的分解
1.力的分解原则
（1）一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解．因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示)．
（2）把一个力分解成两个分力，仅是一种等效替代关系，不能认为在这两个分力方向有两个施力物体(或受力物体)．
（3）也不能错误地认为F2就是物体对斜面的压力，因为F2不是斜面受到的力，且性质与压力不同，仅在数值上等于物体对斜面的压力．
（4）实际分解时，按力的作用效果可分解为两个确定的分力．
2．按实际效果分解的几个实例
【例1】 将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力F1有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力F2的大小为6 N，则在分解时( )
A．有无数组解 B．有两组解
C．有唯一解 D．无解
【解析】B 由已知条件可得Fsin 30°＝5 N，又5 N＜F2＜10 N，即Fsin 30°＜F2＜F，所以F1、F2和F可构成如图所示的两个三角形，故此时有两组解，选项B正确．
【例2】 如图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则两挡板受到小球的压力大小之比为多大？斜面受到两小球的压力大小之比为多大？
【解析】 对小球1所受的重力来说，其效果有二：第一，使小球沿水平方向挤压挡板；第二，使小球垂直压紧斜面．因此，力的分解如图甲所示，由此可得两个分力的大小分别为F1＝Gtan θ，F2＝eq \f(G,cs θ).对小球2所受的重力G来说，其效果有二：第一，使小球垂直挤压挡板；第二，使小球垂直压紧斜面．因此，力的分解如图乙所示，由此可得两个分力的大小分别为F3＝Gsin θ，F4＝Gcs θ.由力的相互性可知，挡板A、B受到小球的压力之比为F1∶F3＝1∶cs θ，斜面受到两小球的压力之比为F2∶F4＝1∶cs2θ.
甲 乙
【技巧与方法】
力的分解的原理与步骤
原理：若两个力共同作用的效果与某一个力作用时的效果完全相同，则可用这两个力“替代”这一个力．
步骤
① 根据已知力的实际效果确定两个分力的方向．
② 根据两个分力的方向作出力的平行四边形，确定表示分力的有向线段．
③ 利用数学知识解平行四边形或三角形，计算分力的大小和方向．
【针对训练】
1.(多选)一根长为L的易断的均匀细绳，两端固定在天花板上的A、B两点．若在细绳的C处悬挂一重物，已知AC＞CB，如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．增加重物的重力，BC段先断
B．增加重物的重力，AC段先断
C．将A端往左移比往右移时绳子容易断
D．将A端往右移比往左移时绳子容易断
【解析】AC 研究C点，C点受重物的拉力，其大小等于重物的重力，即T＝G.将重物对C点的拉力分解为对AC和BC两段绳的拉力，其力的平行四边形如图所示．因为AC＞CB，得FBC＞FAC.当增加重物的重力G时，按比例FBC增大得较多，所以BC段绳先断，因此A项正确，B项错误．将A端往左移时，FBC与FAC两力夹角变大，合力T一定，则两分力FBC与FAC都增大．将A端向右移时两分力夹角变小，两分力也变小，由此可知C项正确，D项错误．故选A、C.
2．甲、乙两人用绳子拉船，使船沿OO′方向航行，甲用1 000 N的力拉绳子，方向如图所示，要使船沿OO′方向航行，乙的拉力最小值为( )
A．500eq \r(3) N B．500 N
C．1 000 N D．400 N
【解析】B 要使船沿OO′方向航行，甲和乙的拉力的合力方向必须沿OO′方向．如图所示，作平行四边形可知，当乙拉船的力的方向垂直于OO′时，乙的拉力F乙最小，其最小值为F乙min＝F甲sin 30°＝1 000×eq \f(1,2) N＝500 N，故B正确．
考点2：力的正交分解
1．正交分解的适用情况：适用于计算三个或三个以上共点力的合成．
2．正交分解的目的：将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决矢量的运算，“分”的目的是为了更好地“合”．
3．力的正交分解的依据：分力与合力的等效性．
4．正交分解的基本步骤
（1）建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力落在坐标轴上．
（2）正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示．
（3）分别求出x轴、y轴上各分力的合力，即：
Fx＝F1x＋F2x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋…
（4）求共点力的合力： 合力大小F＝eq \r(F\\al(2,x)＋F\\al(2,y))，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝eq \f(Fy,Fx)，即α＝arctan eq \f(Fy,Fx).
【例3】 在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力．(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
【分析】当物体受多个力作用时，一般采用正交分解法求解，可按以下思路：
eq \x(建立坐标系)→eq \x(分解各力)→eq \x(求Fx、Fy)→eq \x(求F合)
【解析】如图甲，建立直角坐标系，把各个力分解到这两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有
甲
Fx＝F1＋F2cs 37°－F3cs 37°＝27 N，
Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N.
因此，如图乙所示，合力：
乙
F＝eq \r(F\\al(2,x)＋F\\al(2,y))≈38.2 N，tan φ＝eq \f(Fy,Fx)＝1.
即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上．
【答案】38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上
【技巧与方法】
正交分解时坐标系的选取原则与方法
（1）原则：用正交分解法建立坐标系时，通常以共点力作用线的交点为原点，并尽量使较多的力落在坐标轴上，以少分解力为原则．
（2）方法：应用正交分解法时，常按以下方法建立坐标轴．
① 研究水平面上的物体时，通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴．
② 研究斜面上的物体时，通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴．
③ 研究物体在杆或绳的作用下转动时，通常沿杆(或绳)方向和垂直杆(或绳)的方向建立坐标轴．
【针对训练】
3．如图所示，一物块置于水平地面上，当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动．若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为( )
A.eq \r(3)－1 B．2－eq \r(3)
C.eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2) D．1－eq \f(\r(3),2)
【解析】B 将两种情况下的力沿水平方向和竖直方向正交分解，因为两种情况下物块均做匀速直线运动，故有F1cs 60°＝μ(mg－F1sin 60°)，F2cs 30°＝μ(mg＋F2sin 30°)，再由F1＝F2，解得μ＝2－eq \r(3)，故B正确．
4．大小均为F的三个力共同作用在O点，如图所示，F1、F3与F2之间的夹角均为60°，求它们的合力．
【解析】 以O点为原点、F1的方向为x轴正方向建立直角坐标系．分别把各个力分解到两个坐标轴上，如图所示．
F1x＝F1，F1y＝0，F2x＝F2cs 60°，F2y＝F2sin 60°，F3x＝－F3cs 60°，F3y＝F3sin 60°，x轴和y轴上的合力分别为Fx＝F1x＋F2x＋F3x＝F1＋F2cs 60°－F3cs 60°＝F，Fy＝F1y＋F2y＋F3y＝0＋F2sin 60°＋F3sin 60°＝eq \r(3)F，求出Fx和Fy的合力即是所求的三个力的合力，如图所示．
F合＝eq \r(F\\al(2,x)＋F\\al(2,y))，代入数据得F合＝2F，tan θ＝eq \f(Fy,Fx)＝eq \r(3)，所以θ＝60°，即合力F合与F2的方向相同．
【答案】 2F，与F2的方向相同
考点达标
一、选择题
1．关于共点力，下列说法中不正确的是( )
A．作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，这两个力是共点力
B．作用在一个物体上的两个力，如果是一对平衡力，则这两个力是共点力
C．作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用点在同一点上，则这几个力是共点力
D．作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用线交于同一点，则这几个力是共点力
【解析】A 共点力是几个力作用于同一点或力的作用线相交于同一点的力．若受两个力平衡的物体，则物体所受的必定是共点力，所以A错，B、C、D对．
2．如图所示，F1、F2为两个相互垂直的共点力，F是它们的合力，已知F1的大小为6 N，F的大小等于10 N，若改变F1、F2的夹角，则它们的合力大小还可能是( )
A．0 B．8 N
C．16 N D．18 N
【解析】B F1、F2为两个相互垂直的共点力，合力F的大小等于10 N，所以根据勾股定理可得，F2＝eq \r(F2－F\\al(2,1))＝eq \r(102－62) N＝8 N，两力合成时，合力范围为：|F1－F2|≤F≤F1＋F2，故2 N≤F≤14 N，所以还可能是B选项．
3．下列图中，F1、F2、F3恰好构成封闭的直角三角形，这三个力的合力最大的是( )
A B C D
【解析】C 由矢量合成法则可知A图的合力为2F3，B图的合力为0，C图的合力为2F2，D图的合力为2F3，因F2为直角三角形的斜边，故这三个力的合力最大的为C图．
4．有三个力，大小分别为13 N、3 N、29 N．那么这三个力的合力最大值和最小值应该是( )
A．29 N,3 N B．45 N,0 N
C．45 N,13 N D．29 N,13 N
【解析】C 当三个力同方向时，合力最大，为45 N；任取其中两个力，如取13 N、3 N两个力，其合力范围为10 N≤F≤16 N，29 N不在该范围之内，故合力不能为零，当13 N、3 N的两个力同向，与29 N的力反向时，合力最小，最小值为13 N，则C正确，A、B、D错误．
5.如图所示的水平面上，橡皮绳一端固定，另一端连接两根弹簧，F1、F2和F3三个力的合力为零．下列判断正确的是( )
A．F1>F2>F3
B．F3>F1>F2
C．F2>F3>F1
D．F3>F2>F1
【解析】B 三个力的合力为零，即F1、F2的合力F3′与F3等大反向，三力构成的平行四边形如图所示，由数学知识可知F3>F1>F2，B正确．
6．如图所示为两个共点力的合力F的大小随两分力的夹角θ变化的图像，则这两个分力的大小分别为( )
A．1 N和4 N B．2 N和3 N
C．1 N和5 N D．2 N和4 N
【解析】B 由题图知，两力方向相同时，合力为5 N．即F1＋F2＝5 N；方向相反时，合力为1 N，即|F1－F2|＝1 N．故F1＝3 N，F2＝2 N，或F1＝2 N，F2＝3 N，B正确．
二、非选择题
7.如图所示，有五个力作用于同一点O，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两邻边和三条对角线．已知F1＝10 N，则这五个力的合力大小为多少？
【解析】 方法一：巧用对角线特性．如图甲所示，根据正六边形的特点及平行四边形定则知：F2与F5的合力恰好与F1重合；F3与F4的合力也恰好与F1重合；故五个力的合力大小为3F1＝30 N.
甲 乙
方法二：利用对称法．如图乙所示，由于对称性，F2和F3的夹角为120°，它们的大小相等，合力在其夹角的平分线上，故力F2和F3的合力F23＝2F2cs 60°＝2(F1cs 60°)cs 60°＝eq \f(F1,2)＝5 N．同理，F4和F5的合力也在其角平分线上，由图中几何关系可知：F45＝2F4cs 30°＝2(F1cs 30°)cs 30°＝eq \f(3,2)F1＝15 N．故这五个力的合力F＝F1＋F23＋F45＝30 N.
巩固提升
一、选择题
1．某物体所受n个共点力的合力为零，若把其中一个力F1的方向沿顺时针方向转过90°，并保持其大小不变，其余力保持不变，则此时物体所受的合力大小为 ( )
A．F1 B.eq \r(2)F1
C．2F1 D．0
【解析】B 物体所受n个力的合力为零，则其中n－1个力的合力一定与剩下来的那个力等大反向，故除F1以外的其他各力的合力的大小也为F1，且与F1反向，故当F1转过90°时，合力应为eq \r(2)F1，B正确．
2．一根细绳能承受的最大拉力是G，现把一重为G的物体系在绳的中点，分别握住绳的两端，先并拢，然后缓慢地左右对称地分开，若要求绳不断，则两绳间的夹角不能超过( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
【解析】C 由于细绳是对称分开的，因而两绳的拉力相等，为保证绳不断，两绳拉力的合力大小等于G，随着两绳夹角的增大，两绳中的拉力增大，当两绳的夹角为120°时，绳中拉力刚好等于G.故C正确，A、B、D错误．
3．如图所示，物体M在斜向右下方的推力F作用下，在水平地面上恰好做匀速运动，则推力F和物体M受到的摩擦力的合力方向( )
A．竖直向下 B．竖直向上
C．斜向下偏左 D．斜向下偏右
【解析】A 物体M受四个力作用(如图所示)，支持力FN和重力G的合力一定在竖直方向上，由平衡条件知，摩擦力Ff和推力F的合力与支持力FN和重力G的合力必定等大反向，故Ff与F的合力方向竖直向下．
4．手握轻杆，杆的另一端安装有一个轻质小滑轮C，支撑着悬挂重物的绳子，如图所示，现保持滑轮C的位置不变，使杆向下转动一个角度，则杆对滑轮C的作用力将( )
A．变大 B．不变
C．变小 D．无法确定
【解析】B 物体的重力不变，那么绳子的拉力大小仍然等于物体的重力，保持滑轮C的位置不变，即两段绳子间的夹角不变，所以两绳子拉力的合力不变，轻质滑轮的重力不计，所以两绳子拉力的合力与杆对滑轮C的作用力等大反向，所以杆对滑轮C的作用力不变，故选B.
二、非选择题
5．如图所示，一条小船在河中向正东方向行驶，船上挂起一风帆，帆受侧向风作用，风力大小F1为100 N，方向为东偏南30°，为了使船受到的合力能恰沿正东方向，岸上一人用一根绳子拉船，绳子取向与河岸垂直，求出风力和绳子拉力的合力大小及绳子拉力F2的大小．
【解析】如图所示，以F1、F2为邻边作平行四边形，使合力F沿正东方向，
则F＝F1cs 30°＝100×eq \f(\r(3),2) N＝50eq \r(3) N.
F2＝F1sin 30°＝100×eq \f(1,2) N＝50 N.
6.(13分)如图所示，两根相同的橡皮条OA、OB，开始时夹角为0°，在O点处打结吊一重50 N的物体后，结点O刚好位于圆心．现将A、B分别沿圆周向两边移到A′、B′，使∠AOA′＝∠BOB′＝60°.欲使结点仍为圆心处，则此时结点处应挂多重的物体？
【解析】根据在原位置时物体静止，求出橡皮条的拉力．由于变化位置后结点位置不变，因此每根橡皮条的拉力大小不变，但是方向变化．设OA、OB并排吊起重物时，橡皮条产生的弹力均为F，则它们产生的合力为2F，且与G1平衡，所以F＝eq \f(G1,2)＝eq \f(50,2) N＝25 N．当A′O、B′O夹角为120°时，橡皮条伸长不变，橡皮条产生的弹力仍为25 N，两根橡皮条互成120°角，所以合力的大小为25 N，即应挂的重物重25 N.
实例
分析
（1）拉力F的效果：
① 使物体具有沿水平地面前进(或有前进的趋势)的分力F1
② 竖直向上提物体的分力F2
（2）分力大小：F1＝Fcs α，F2＝Fsin α
（1）重力的两个效果：
①使物体具有沿斜面下滑(或有下滑的趋势)的分力F1
②使物体压紧斜面的分力F2
（2）2分力大小：F1＝mgsin α，F2＝mgcs α
（1）重力的两个效果：
①使球压紧板的分力F1
②使球压紧斜面的分力F2
（2）分力大小：F1＝mgtan α， F2＝eq \f(mg,cs α)
（1）重力的两个效果：
①使球压紧竖直墙壁的分力F1
②使球拉紧悬线的分力F2
（2）分力大小：F1＝mgtan α，F2＝eq \f(mg,cs α)
（1）重力的两个效果：
①对OA的拉力F1
②对OB的拉力F2
（2）分力大小：F1＝mgtan α，F2＝eq \f(mg,cs α)
（1）重力的两个效果：
①拉伸AB的分力F1
②压缩BC的分力F2
（2）分力大小：F1＝mgtan α，F2＝eq \f(mg,cs α)
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