高考物理一轮复习专题04受力分析与共点力的平衡(原卷版+解析)

这是一份高考物理一轮复习专题04受力分析与共点力的平衡(原卷版+解析)，共44页。试卷主要包含了受力分析与整体法和隔离法的应用，共点力的静态平衡，动态平衡问题，平衡中的临界、极值问题等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc6089" 题型一 受力分析与整体法和隔离法的应用 PAGEREF _Tc6089 \h 1
\l "_Tc2640" 题型二 共点力的静态平衡 PAGEREF _Tc2640 \h 3
\l "_Tc28375" 类型1 合成法求解共点力静态平衡 PAGEREF _Tc28375 \h 3
\l "_Tc26651" 类型2 正交分解法求解共点力静态平衡 PAGEREF _Tc26651 \h 5
\l "_Tc13875" 类型3 相似三角形法求解共点力静态平衡 PAGEREF _Tc13875 \h 9
\l "_Tc21227" 类型4 正弦定理求解共点力静态平衡 PAGEREF _Tc21227 \h 10
\l "_Tc2484" 类型5 整体法、隔离法解决共点力静态平衡 PAGEREF _Tc2484 \h 12
\l "_Tc6328" 题型三 动态平衡问题 PAGEREF _Tc6328 \h 14
\l "_Tc772" 类型1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 PAGEREF _Tc772 \h 15
\l "_Tc10698" 类型2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 PAGEREF _Tc10698 \h 18
\l "_Tc16744" 类型3 轻绳套轻环的动态平衡模型 PAGEREF _Tc16744 \h 21
\l "_Tc24557" 题型四 平衡中的临界、极值问题 PAGEREF _Tc24557 \h 25
题型一 受力分析与整体法和隔离法的应用
【解题指导】1．受力分析的两种顺序：
先场力再弹力后摩擦力，接触力要逐个接触面排查．
(2)先已知的力、确定的力，而后再结合运动状态推断未知的力、不确定的力.
多个物体系统问题通常整体法和隔离法交替使用.
三重检验：
明确各力的施力物体、受力物体．
判断研究对象是否能保持原来运动状态．
(3)换角度(整体隔离)或换研究对象(相邻的物体)再次受力分析，判断两次分析是否一致．
【例1】(2022·湖南师范大学附属中学高三月考)如图所示，a、b两个小球穿在一根粗糙的固定杆上(球的小孔比杆的直径大)，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接．已知b球质量为m，杆与水平面成θ角，不计滑轮的一切摩擦，重力加速度为g.当两球静止时，Oa段绳与杆的夹角也为θ，Ob段绳沿竖直方向，则下列说法正确的是( )
A．a一定受到4个力的作用
B．b只可能受到2个力的作用
C．绳子对a的拉力有可能等于mg
D．a的质量一定为mtan θ
【例2】(多选)如图所示，两个相似的斜面体A、B在竖直向上的力F的作用下静止靠在竖直粗糙墙壁上．关于斜面体A和B的受力情况，下列说法正确的是( )
A．A一定受到四个力
B．B可能受到四个力
C．B与墙壁之间一定有弹力和摩擦力
D．A与B之间一定有摩擦力
【例3】(2022·沙坪坝重庆八中高三月考)如图所示，某时刻四个物体a、b、c、d与两个长木板巧妙摆放在底座上，且系统处于平衡状态，则在该时刻下列说法正确的是( )
A．物体a可能不受摩擦力
B．物体b受到木板的作用力竖直向上
C．物体b受到木板的作用力垂直于木板向上
D．物体c可能不受摩擦力
【例4】．(多选)如图所示，斜面B放置于水平地面上，其两侧放有物体A、C，物体C通过轻绳连接于天花板，轻绳平行于斜面且处于拉直状态，A、B、C均静止．下列说法正确的是( )
A．A、B间的接触面一定是粗糙的
B．地面对B一定有摩擦力
C．B、C间的接触面可能是光滑的
D．B一共受到6个力的作用
题型二 共点力的静态平衡
【解题指导】1．遇到多物体系统时注意应用整体法与隔离法，一般可先整体后隔离.
三力平衡，一般用合成法，根据平行四边形定则合成后，“力的问题”转换成“三角形问题”，再由三角函数、勾股定理、正弦定理或相似三角形等解三角形.
3.多力平衡，一般用正交分解法．
类型1 合成法求解共点力静态平衡
【例1】(2022·广东深圳实验学校月考)截面为长方形的中空“方钢”固定在水平地面上，截面一边与水平面的夹角为30°，如图所示．方钢内表面光滑，轻质细杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B，已知小球、轻杆与截面共面，当轻质细杆与地面平行时两小球恰好静止，则A、B两小球的质量比eq \f(mA,mB)为( )
A．3 B.eq \r(3) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(\r(3),3)
【例2】(多选)如图所示，质量为M、半径为R的半球形物体A放在水平地面上，通过最高点处大小不计的钉子用水平细线拉住一质量为m、半径为r的光滑球B.重力加速度为g，则( )
A．A对地面的压力等于(M＋m)g
B．A对地面的摩擦力方向向左
C．A对B的支持力大小为eq \f(R＋r,R)mg
D．细线对B的拉力大小为eq \f(r,R)mg
类型2 正交分解法求解共点力静态平衡
【例1】(2022·江苏昆山市适应性检测) 如图所示，放在粗糙的固定斜面上的物块 A 和悬挂的物体 B 均处于静止状态。轻绳AO绕过光滑的定滑轮与轻弹簧的右端及轻绳BO的上端连接于O点， 轻弹簧中轴线沿水平方向，轻绳的OC段与竖直方向的夹角θ＝53°，斜面倾角α＝37°， 物块A和B的质量分别为mA＝5 kg，mB＝1.5 kg，弹簧的劲度系数k＝500 N/m(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，重力加速度g＝10 m/s2)，求：
(1)弹簧的伸长量 x；
(2)物块 A 受到的摩擦力。
【例2】如图所示是一竖直固定的光滑圆环，中央有孔的小球P和Q套在环上，由伸直的细绳连接，它们恰好能在圆环上保持静止状态．已知小球Q的质量为m，O、Q连线水平，细绳与水平方向的夹角为30°，重力加速度为g.则( )
A．细绳对Q球的拉力大小为mg
B．环对Q球的支持力大小为eq \f(\r(3),3)mg
C．P球的质量为2m
D．环对P球的支持力大小为eq \r(3)mg
【例3】（2022·湖南永州·模拟预测）如图所示，一条细绳跨过定滑轮连接物体A、B，A悬挂起来，B穿在一根竖直杆上，两物体均保持静止，不计一切摩擦，已知绳与竖直杆间的夹角为θ，则物体A、B的质量之比mA：mB等于（ ）
A．1：sinθB．sinθ：1C．tanθ：1D．1：csθ
【例4】（2022·山东临沂·高三期中）如图所示，倾斜直杆的左端固定在水平地面上，与地面成角，杆上穿有质量为m的小球a和轻质环b，两者通过一条细绳跨过定滑轮相连接。当a、b静止时，Oa段绳与杆的夹角也为，不计一切摩擦，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．a受杆的弹力方向垂直杆向上B．杆对a的支持力大小为
C．绳对a的拉力大小为D．b受到杆的弹力大小为
【例4】(2022·江西八所重点中学联考)如图甲所示，推力F垂直斜面作用在斜面体上，斜面体静止在竖直墙面上，若将斜面体改成如图乙所示放置，用相同大小的推力F垂直斜面作用到斜面体上，则下列说法正确的是( )
A．墙面受到的压力一定变小
B．斜面体受到的摩擦力一定变小
C．斜面体受到的摩擦力可能变大
D．斜面体可能沿墙面向上滑动
类型3 相似三角形法求解共点力静态平衡
【例1】(2022·重庆市三峡联盟模拟)如图所示，一轻杆两端固定两个小球A、B，A球的质量是B球质量的3倍，轻绳跨过滑轮连接A和B，一切摩擦不计，平衡时OA和OB的长度之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶3 D．1∶4
【例2】如图所示，小圆环A吊着一个质量为m2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细绳一端拴在小圆环A上，另一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后吊着一个质量为m1的物块．如果小圆环A、滑轮、绳子的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计，绳子不可伸长，平衡时弦AB所对的圆心角为α，则两物块的质量之比m1∶m2应为( )
A．cs eq \f(α,2) B．sin eq \f(α,2)
C．2sin eq \f(α,2) D．2cs eq \f(α,2)
类型4 正弦定理求解共点力静态平衡
【例1】如图所示，a、b两个小球穿在一根光滑的固定杆上，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接，已知b球质量为1 kg，杆与水平面的夹角为30°，不计所有摩擦，当两球静止时，Oa段绳与杆的夹角也为30°，Ob段绳沿竖直方向，则a球的质量为( )
A.eq \r(3) kg B.eq \f(\r(3),3) kg
C.eq \f(\r(3),2) kg D．2 kg
【例2】.(2022·湖南雅礼中学高三月考)如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连．系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β.若α＝75°，β＝60°，则甲乙两物体质量之比是( )
A．1∶1 B．1∶2
C.eq \r(3)∶eq \r(2) D.eq \r(2)∶eq \r(3)
【例3】如图所示，一斜面固定在水平面上，一半球形滑块固定在斜面上，球心O的正上方有一定滑轮A(视为质点)，细线的一端与一质量分布均匀的光滑圆球B连接，另一端绕过滑轮A在水平向右的拉力F作用下使圆球B保持静止。改变拉力F的大小，使圆球B从两球心等高的位置缓慢移动到圆球B的球心正好在O点的正上方(不考虑该位置的情况)。圆球B不会与定滑轮A接触，则下列说法正确的是( )
A．拉力F一直增大
B．拉力F先增大后减小
C．半球形滑块对圆球B的支持力先增大后减小
D．半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变
类型5 整体法、隔离法解决共点力静态平衡
【例1】(2022·黑龙江鹤岗市第一中学高三月考)如图甲所示，A、B两小球通过两根轻绳连接并悬挂于O点，已知两轻绳OA和AB的长度之比为eq \r(3)∶1，A、B两小球质量分别为2m和m，现对A、B两小球分别施加水平向右的力F1和水平向左的力F2，两球恰好处于如图乙的位置静止，此时B球恰好在悬点O的正下方，轻绳OA与竖直方向成30°，则( )
A．F1＝F2 B．F1＝eq \r(3)F2
C．F1＝2F2 D．F1＝3F2
【例2】如图所示，两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、B连接，在水平外力F作用下，系统处于静止状态，弹簧实际长度相等．弹簧A、B的劲度系数分别为kA、kB，且原长相等．弹簧A、B与竖直方向的夹角分别为θ与45°.设A、B中的拉力分别为FA、FB，小球直径相比弹簧长度可忽略，重力加速度为g，则( )
A．tan θ＝eq \f(1,2) B．kA＝kB
C．FA＝eq \r(3)mg D．FB＝2mg
【例3】如图所示，一质量为M的楔形木块放在水平桌面上，它的顶角为90°，两底角为α和β；a、b为两个位于斜面上质量均为m的小木块，已知所有接触面都是光滑的，重力加速度为g.现发现a、b沿斜面下滑，而楔形木块静止不动，这时楔形木块对水平桌面的压力等于( )
A．Mg＋mg
B．Mg＋2mg
C．Mg＋mg(sin α＋sin β)
D．Mg＋mg(cs α＋cs β)
【例4】(多选)如图所示，滑块A与小球B用同一根不可伸长的轻绳相连，且滑块A套在水平杆上。现用大小为10 N、与水平方向成30°角的力F拉B，使A、B一起向右匀速运动，运动过程中保持相对静止。已知A、B的质量分别为2 kg、1 kg，取g＝10 m/s2，则( )
A．轻绳与水平方向的夹角θ＝60°
B．轻绳与水平方向的夹角θ＝30°
C．滑块A与水平直杆之间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),4)
D．滑块A与水平直杆之间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),5)
题型三 动态平衡问题
【解题指导】1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态．
2．做题流程
受力分析eq \(――――――→,\s\up7(化“动”为静))画不同状态平衡图构造矢量三角形eq \(―――――→,\s\up7(“静”中求动))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(―――→,\s\up7(定性分析))根据矢量三角形边长关系确定矢量的大小变化,\(―――→,\s\up7(定量计算))\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(三角函数关系,正弦定理,相似三角形))找关系求极值))
3．三力平衡、合力与分力关系
如图，F1、F2、F3共点平衡，三力的合力为零，则F1、F2的合力F3′与F3等大反向，F1、F2、F3′构成矢量三角形，即F3′为F1、F2的合力，也可以将F1、F2、F3直接构成封闭三角形．
类型1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，比较力的大小变化，利用三角函数关系确定三力的定量关系．
基本矢量图，如图所示
2．一力恒定(如重力)，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，恒力之外的两力垂直时，有极值出现．
基本矢量图，如图所示
作与F1等大反向的力F1′，F2、F3合力等于F1′，F2、F3、F1′构成矢量三角形．
3.动态分析常用方法
解析法：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化．
图解法：此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况．
【例1】(2022·福建南平市质检)如图，一粗糙的固定斜杆与水平方向成θ角，一定质量的滑环A静止悬挂在杆上某位置。现用一根轻质细绳AB一端与滑环A相连，另一端与小球B相连，且轻绳AB与斜杆垂直。另一轻质细绳BC沿水平方向拉小球B，使小球B保持静止。将水平细绳BC的C端沿圆弧缓慢移动到竖直位置，B的位置始终不变，则在此过程中( )
A．轻绳AB上的拉力先减小后增大
B．轻绳BC上的拉力先增大后减小
C．斜杆对A的支持力一直在减小
D．斜杆对A的摩擦力一直在减小
【例2】.(2022·天津市南开区高三模拟)(多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中( )
A．斜面对球的支持力逐渐增大
B．斜面对球的支持力逐渐减小
C．挡板对小球的弹力先减小后增大
D．挡板对小球的弹力先增大后减小
【例3】(2021·湖南卷，5)质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图6所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块。用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是( )
A．推力F先增大后减小
B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大
C．墙面对凹槽的压力先增大后减小
D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大
【例4】(2022·山东日照市模拟)如图所示，一小球放在竖直的墙面与倾斜的木板之间。设小球对墙面的压力大小为F1，小球对木板的压力大小为F2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置。不计摩擦，在此过程中( )
A．F1先减小后增大 B．F1一直增大
C．F2一直减小 D．F2先减小后增大
类型2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
1．一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边相比相等．
基本矢量图，如图所示
基本关系式：eq \f(mg,H)＝eq \f(FN,R)＝eq \f(FT,L)
2．一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化．
基本矢量图，如图所示
【例1】(2022·山西大同市开学考)如图所示，AC是上端带光滑轻质定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重力为G的物体，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮，用力F拉绳，开始时∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°。此过程中，轻杆BC所受的力( )
A．逐渐减小 B．逐渐增大
C．大小不变 D．先减小后增大
【例2】.(多选)如图所示，表面光滑的半球形物体固定在水平面上，光滑小环D固定在半球形物体球心O的正上方，轻质弹簧一端用轻质细绳固定在A点，另一端用轻质细绳穿过小环D与放在半球形物体上的小球P相连，DA水平.现将细绳固定点A向右缓慢平移的过程中(小球P未到达半球最高点前)，下列说法正确的是( )
A.弹簧变短 B.弹簧变长
C.小球对半球的压力不变 D.小球对半球的压力变大
【例3】(2022·贵州贵阳市2月适应性考试)如图所示，轻绳两端固定在一硬质轻杆上的A、B两点，在轻绳中点O系一重物。现将杆顺时针在竖直面内缓慢旋转，使OA从水平位置转到竖直位置的过程中，绳OA、OB的张力FA和FB的大小变化情况是( )
A.FA先增大后减小，FB一直减小
B.FA先减小后增大，FB一直增大
C.FA先减小后增大，FB先增大后减小
D.FA先增大后减小，FB先减小后增大
【例3】.(2022·天一大联考)如图所示，半径为R的圆环竖直放置，长度为R的不可伸长的轻细绳OA、OB，一端固定在圆环上，另一端在圆心O处连接并悬挂一质量为m的重物，初始时OA绳处于水平状态.把圆环沿地面向右缓慢转动，直到OA绳处于竖直状态，在这个过程中( )
A.OA绳的拉力逐渐增大
B.OA绳的拉力先增大后减小
C.OB绳的拉力先增大后减小
D.OB绳的拉力先减小后增大
类型3 轻绳套轻环的动态平衡模型
1.如图所示，绳上套的是光滑轻环，作用在绳上形成“活结”，此时绳上的拉力处处相等，平衡时与水平面所成夹角相等，即α＝β。当动点P移至P′时，绳长保持不变，夹角α＝β也保持不变，Q移至Q′，这与绳“死结”模型截然不同。
此类问题破题关键有两点：
(1)不计轻环与绳间的摩擦时，左右两段绳中张力相等，左右两段绳与竖直方向的夹角也相等。
(2)绳总长度不变时，sin θ＝eq \f(d,l)，绳中张力和绳与竖直方向的夹角θ随两悬点水平距离d的变化而变化。
2.如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，Fsin θ1＝Fsin θ2，故θ1＝θ2＝θ3，根据几何关系可知，sin θ＝eq \f(d,L1＋L2)＝eq \f(d,L)，若两杆间距离d不变，则上下移动悬线结点，θ不变，若两杆距离d减小，则θ减小，2FTcs θ＝mg，FT＝eq \f(mg,2cs θ)也减小．
【例1】(2021·山西省高三一模)如图所示，轻质、不可伸长的细钢丝绳两端分别固定在竖直杆P、Q上的a、b两点，a点比b点低．脚穿着粗糙杂技靴的演员在走钢丝表演时，可以在细钢丝绳的中点以及杆P、Q的中间位置保持平衡状态，则演员( )
A．在P、Q中间位置时，左右两侧绳子张力的值相等
B．在P、Q中间位置时，左侧绳子张力的值小于右侧绳子张力的值
C．在细绳的中点时，左右两侧绳子张力的值相等
D．在细绳的中点时，左侧绳子张力的值大于右侧绳子张力的值
【例2】.(2022·山东潍坊市二模)如图所示，通过轻绳和滑轮从矿井中提升重物，光滑轻质动滑轮下吊重物，轻绳a左端固定在井壁的M点，另一端固定在光滑的轻质滑环N上，轻绳b的下端系在滑环N上并绕过定滑轮，滑环N套在竖直杆上.在右侧地面上拉动轻绳b使重物缓慢上升的过程中，下列说法正确的是( )
A.绳a的拉力变大B.绳b的拉力变大
C.杆对滑环的弹力变大D.绳b的拉力始终比绳a的小
【例3】如图所示为建筑工地一个小型起重机起吊重物的示意图。一根轻绳跨过光滑的动滑轮，轻绳的一端系在位置A处，动滑轮的下端挂上重物，轻绳的另一端挂在起重机的吊钩C处，起吊重物前，重物处于静止状态。起吊重物过程是这样的：先让吊钩从位置C竖直向上缓慢地移动到位置B，然后再让吊钩从位置B水平向右缓慢地移动到D，最后把重物卸在某一个位置。则关于轻绳上的拉力大小变化情况，下列说法正确的是( )
A．吊钩从C向B移动过程中，轻绳上的拉力不变
B．吊钩从B向D移动过程中，轻绳上的拉力变小
C．吊钩从C向B移动过程中，轻绳上的拉力变大
D．吊钩从B向D移动过程中，轻绳上的拉力不变
【例4】如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近(C点与A点等高)．则在此过程中绳中拉力大小( )
A．先变大后不变 B．先变大后变小
C．先变小后不变 D．先变小后变大
题型四 平衡中的临界、极值问题
【解题指导】1．三力平衡下的极值问题，常用图解法，将力的问题转化为三角形问题求某一边的最小值.
多力平衡时求极值一般用解析法，由三角函数、二次函数、不等式等求解.
3.若物体受包括弹力、摩擦力在内的四个力平衡，可以把弹力、摩擦力两个力合成一个力，该力方向固定不变(与弹力夹角正切值为μ)，从而将四力平衡变成三力平衡，再用图解法求解．
【必备知识】
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0.
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小．
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．
【例1】(2022·江苏新高考质检)如图所示，倾角θ＝37°的斜面上有一木箱，木箱与斜面之间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),3)。现对木箱施加一拉力F，使木箱沿着斜面向上做匀速直线运动。设F的方向与斜面的夹角为α，在α从0逐渐增大到53°的过程中，木箱的速度保持不变，则( )
A．F先减小后增大 B．F先增大后减小
C．F一直增大 D．F一直减小
【例2】.(2022·新疆维吾尔自治区联考)如图所示为某粮库输送小麦的示意图。麦粒离开传送带受重力作用在竖直方向上掉落后，形成圆锥状的麦堆。若麦堆底面半径为r，麦粒之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不考虑麦粒的滚动。则形成的麦堆的最大高度为( )
A.eq \f(r,μ) B．rμ
C.eq \r(1－μ2)r D.eq \r(1＋μ2)r
【例3】．(2022·唐山市选择考模拟)北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示。若支撑点距水平地面的高度为eq \r(3) m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),3)，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端一定不发生侧滑，则木棍的长度最多为( )
A．1.5 m B.eq \r(3) m
C．2 m D．2eq \r(3) m
【例4】如图所示，在水平推力作用下，物体A静止在倾角为θ＝45°的粗糙斜面上，当水平推力为F0时，A刚好不下滑，然后增大水平推力的值，当水平推力为F时A刚好不上滑。设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，物块A与斜面之间的动摩擦因数为μ(μ＜1)，则下列关系式成立的是( )
A．F＝eq \f(μ,1－μ)F0 B．F＝(eq \f(μ,1－μ))2F0
C．F＝eq \f(1＋μ,1－μ)F0 D．F＝(eq \f(1＋μ,1－μ))2F0
【例5】．(多选)如图所示，A、B两个物体中间用一根不可伸长的轻绳相连，在物体B上施加一斜向上的力F，使A、B两物体保持相对静止一起沿水平地面向右匀速运动，当力F与水平面的夹角为θ时，力F最小。已知A、B两物体的质量分别为m1＝2.5 kg、m2＝0.5 kg，物体A与地面间的动摩擦因数μ＝eq \f( \r(3),3)，g取10 m/s2，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．θ＝30°
B．θ＝60°
C．力F的最小值为12 N
D．力F的最小值为15 N
专题04 受力分析与共点力的平衡
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc6089" 题型一 受力分析与整体法和隔离法的应用 PAGEREF _Tc6089 \h 1
\l "_Tc2640" 题型二 共点力的静态平衡 PAGEREF _Tc2640 \h 3
\l "_Tc28375" 类型1 合成法求解共点力静态平衡 PAGEREF _Tc28375 \h 3
\l "_Tc26651" 类型2 正交分解法求解共点力静态平衡 PAGEREF _Tc26651 \h 5
\l "_Tc13875" 类型3 相似三角形法求解共点力静态平衡 PAGEREF _Tc13875 \h 9
\l "_Tc21227" 类型4 正弦定理求解共点力静态平衡 PAGEREF _Tc21227 \h 10
\l "_Tc2484" 类型5 整体法、隔离法解决共点力静态平衡 PAGEREF _Tc2484 \h 12
\l "_Tc6328" 题型三 动态平衡问题 PAGEREF _Tc6328 \h 14
\l "_Tc772" 类型1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题 PAGEREF _Tc772 \h 15
\l "_Tc10698" 类型2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题 PAGEREF _Tc10698 \h 18
\l "_Tc16744" 类型3 轻绳套轻环的动态平衡模型 PAGEREF _Tc16744 \h 21
\l "_Tc24557" 题型四 平衡中的临界、极值问题 PAGEREF _Tc24557 \h 25
题型一 受力分析与整体法和隔离法的应用
【解题指导】1．受力分析的两种顺序：
先场力再弹力后摩擦力，接触力要逐个接触面排查．
(2)先已知的力、确定的力，而后再结合运动状态推断未知的力、不确定的力.
多个物体系统问题通常整体法和隔离法交替使用.
三重检验：
明确各力的施力物体、受力物体．
判断研究对象是否能保持原来运动状态．
(3)换角度(整体隔离)或换研究对象(相邻的物体)再次受力分析，判断两次分析是否一致．
【例1】(2022·湖南师范大学附属中学高三月考)如图所示，a、b两个小球穿在一根粗糙的固定杆上(球的小孔比杆的直径大)，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接．已知b球质量为m，杆与水平面成θ角，不计滑轮的一切摩擦，重力加速度为g.当两球静止时，Oa段绳与杆的夹角也为θ，Ob段绳沿竖直方向，则下列说法正确的是( )
A．a一定受到4个力的作用
B．b只可能受到2个力的作用
C．绳子对a的拉力有可能等于mg
D．a的质量一定为mtan θ
【答案】 C
【解析】 对a和b受力分析可知，a至少受重力、杆的支持力、绳的拉力3个力，可能还受摩擦力共4个力，b受重力、绳的拉力2个力或重力、绳的拉力、杆的支持力、摩擦力4个力的作用，选项A、B错误；对b受力分析可知，b受绳子拉力可能等于mg，因此绳子对a的拉力可能等于mg，选项C正确；对a
受力分析，如果摩擦力为零Gasin θ＝mgcs θ可得Ga＝eq \f(mg,tan θ)；ma＝eq \f(m,tan θ)，选项D错误．
【例2】(多选)如图所示，两个相似的斜面体A、B在竖直向上的力F的作用下静止靠在竖直粗糙墙壁上．关于斜面体A和B的受力情况，下列说法正确的是( )
A．A一定受到四个力
B．B可能受到四个力
C．B与墙壁之间一定有弹力和摩擦力
D．A与B之间一定有摩擦力
【答案】 AD
【解析】 对A、B整体受力分析，如图甲所示，受到向下的重力和向上的推力F，由平衡条件可知B与墙壁之间不可能有弹力，因此也不可能有摩擦力，故C错误；对B受力分析如图乙所示，其受到重力、A对B的弹力及摩擦力而处于平衡状态，故B受到三个力，B错误；对A受力分析，如图丙所示，受到重力、推力、B对A的弹力和摩擦力，共四个力，A、D正确．
【例3】(2022·沙坪坝重庆八中高三月考)如图所示，某时刻四个物体a、b、c、d与两个长木板巧妙摆放在底座上，且系统处于平衡状态，则在该时刻下列说法正确的是( )
A．物体a可能不受摩擦力
B．物体b受到木板的作用力竖直向上
C．物体b受到木板的作用力垂直于木板向上
D．物体c可能不受摩擦力
【答案】 B
【解析】 物体a、c若不受摩擦力，合力必有水平分量，不能处于平衡状态，故A、D错误；b物体只受到重力与木板的作用力，所以木板对b物体的作用力竖直向上，故B正确，C错误．
【例4】．(多选)如图所示，斜面B放置于水平地面上，其两侧放有物体A、C，物体C通过轻绳连接于天花板，轻绳平行于斜面且处于拉直状态，A、B、C均静止．下列说法正确的是( )
A．A、B间的接触面一定是粗糙的
B．地面对B一定有摩擦力
C．B、C间的接触面可能是光滑的
D．B一共受到6个力的作用
【答案】 AC
【解析】 以A为研究对象，若只受到重力和支持力不可能平衡，故A一定受到B对A沿斜面向上的静摩擦力，A正确；由题意可知，轻绳处于拉直状态，但不确定是否有拉力，以C为研究对象，若斜面粗糙，C受到重力和B对C的支持力、斜面的静摩擦力作用就能平衡，轻绳上可能无拉力，若B、C间光滑，C要能处于平衡状态，则轻绳上一定有拉力，故B、C间的接触面可能是光滑的，C正确；以A、B、C整体为研究对象，若轻绳上无拉力，整体受到重力和地面的支持力作用，地面对B没有摩擦力，若轻绳上有拉力，整体有向左的运动趋势，地面对B有水平向右的静摩擦力，B错误；以B为研究对象，若B、C间光滑(轻绳上有拉力)，B受到重力、A对B的压力、C对B的压力、地面对B的支持力和A对B的静摩擦力、地面对B的静摩擦力，共6个力作用，若B、C间不光滑(轻绳上无拉力)，B受到重力、A对B的压力、C对B的压力、地面对B的支持力、A对B的静摩擦力和C对B的静摩擦力，共6个力作用，若B、C间不光滑且轻绳上有一定拉力时，则B可能受到7个力作用，D错误．
题型二 共点力的静态平衡
【解题指导】1．遇到多物体系统时注意应用整体法与隔离法，一般可先整体后隔离.
三力平衡，一般用合成法，根据平行四边形定则合成后，“力的问题”转换成“三角形问题”，再由三角函数、勾股定理、正弦定理或相似三角形等解三角形.
3.多力平衡，一般用正交分解法．
类型1 合成法求解共点力静态平衡
【例1】(2022·广东深圳实验学校月考)截面为长方形的中空“方钢”固定在水平地面上，截面一边与水平面的夹角为30°，如图所示．方钢内表面光滑，轻质细杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B，已知小球、轻杆与截面共面，当轻质细杆与地面平行时两小球恰好静止，则A、B两小球的质量比eq \f(mA,mB)为( )
A．3 B.eq \r(3) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(\r(3),3)
【答案】 A
【解析】 两小球受力分析如图所示，
轻杆所受合力为零，所以F＝F′，对小球A受力分析得F＝mAgtan 30°，对小球B受力分析得F′＝mBgtan 60°，所以eq \f(mA,mB)＝3，选项A正确．
【例2】(多选)如图所示，质量为M、半径为R的半球形物体A放在水平地面上，通过最高点处大小不计的钉子用水平细线拉住一质量为m、半径为r的光滑球B.重力加速度为g，则( )
A．A对地面的压力等于(M＋m)g
B．A对地面的摩擦力方向向左
C．A对B的支持力大小为eq \f(R＋r,R)mg
D．细线对B的拉力大小为eq \f(r,R)mg
【答案】 AC
【解析】 对A、B整体受力分析，受重力和支持力，相对地面无相对滑动趋势，故不受摩擦力，根据平衡条件知，支持力等于整体的重力，根据牛顿第三定律知，整体对地面的压力与地面对整体的支持力大小相等，故A对地面的压力等于(M＋m)g，故A正确，B错误；对B受力分析，如图所示，根据平衡条件得：F＝eq \f(mg,cs θ)，FT＝mgtan θ，其中cs θ＝eq \f(R,R＋r)，tan θ＝eq \f(\r(R＋r2－R2),R)，故F＝eq \f(R＋r,R)mg，FT＝mgeq \f(\r(R＋r2－R2),R)，故C正确，D错误．
类型2 正交分解法求解共点力静态平衡
【例1】(2022·江苏昆山市适应性检测) 如图所示，放在粗糙的固定斜面上的物块 A 和悬挂的物体 B 均处于静止状态。轻绳AO绕过光滑的定滑轮与轻弹簧的右端及轻绳BO的上端连接于O点， 轻弹簧中轴线沿水平方向，轻绳的OC段与竖直方向的夹角θ＝53°，斜面倾角α＝37°， 物块A和B的质量分别为mA＝5 kg，mB＝1.5 kg，弹簧的劲度系数k＝500 N/m(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，重力加速度g＝10 m/s2)，求：
(1)弹簧的伸长量 x；
(2)物块 A 受到的摩擦力。
【答案】 (1)4 cm (2)5 N，方向沿斜面向上
【解析】 (1)对结点O受力分析如图甲所示。

甲 乙
根据平衡条件，有FTcs θ－mBg＝0，
FTsin θ－F＝0，且F＝kx，解得x＝4 cm。
(2)设物体A所受摩擦力沿斜面向下，对物体A受力分析如图乙所示。
根据平衡条件，有FT－Ff－mAgsin α＝0
解得Ff＝－5 N
即物体A所受摩擦力大小为5 N，方向沿斜面向上。
【例2】如图所示是一竖直固定的光滑圆环，中央有孔的小球P和Q套在环上，由伸直的细绳连接，它们恰好能在圆环上保持静止状态．已知小球Q的质量为m，O、Q连线水平，细绳与水平方向的夹角为30°，重力加速度为g.则( )
A．细绳对Q球的拉力大小为mg
B．环对Q球的支持力大小为eq \f(\r(3),3)mg
C．P球的质量为2m
D．环对P球的支持力大小为eq \r(3)mg
【答案】 C
【解析】 对Q球受力分析，如图所示，
由平衡条件可知，在竖直方向上有Fsin 30°＝mg，在水平方向上有Fcs 30°＝FQ，联立解得F＝2mg，FQ＝eq \r(3)mg，故A、B错误；设P球的质量为M，对P球受力分析，如图所示，在水平方向上有F′cs 30°＝FPsin 30°，在竖直方向上有FPcs 30°＝Mg＋F′sin 30°，F′＝F，联立解得M＝2m，FP＝2eq \r(3)mg，故C正确，D错误．
【例3】（2022·湖南永州·模拟预测）如图所示，一条细绳跨过定滑轮连接物体A、B，A悬挂起来，B穿在一根竖直杆上，两物体均保持静止，不计一切摩擦，已知绳与竖直杆间的夹角为θ，则物体A、B的质量之比mA：mB等于（ ）
A．1：sinθB．sinθ：1C．tanθ：1D．1：csθ
【答案】 D
【解析】
物体A受力如图1所示
受到重力mAg和绳子拉力T，由平衡条件得
T=mAg
物体B受力如图2所示
重力mBg、绳子拉力T、杆的弹力N，由平衡条件得
Tcsθ=mBg
联立解得
故选D。
【例4】（2022·山东临沂·高三期中）如图所示，倾斜直杆的左端固定在水平地面上，与地面成角，杆上穿有质量为m的小球a和轻质环b，两者通过一条细绳跨过定滑轮相连接。当a、b静止时，Oa段绳与杆的夹角也为，不计一切摩擦，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．a受杆的弹力方向垂直杆向上B．杆对a的支持力大小为
C．绳对a的拉力大小为D．b受到杆的弹力大小为
【答案】 AD
【解析】
当a、b静止时，受力分析如图所示
对a由平衡条件可得
联立解得
，
所以A正确；BC 错误；
D对b分析，由平衡条件可知，b受到杆的弹力大小为
所以D正确；
故选AD。
【例4】(2022·江西八所重点中学联考)如图甲所示，推力F垂直斜面作用在斜面体上，斜面体静止在竖直墙面上，若将斜面体改成如图乙所示放置，用相同大小的推力F垂直斜面作用到斜面体上，则下列说法正确的是( )
A．墙面受到的压力一定变小
B．斜面体受到的摩擦力一定变小
C．斜面体受到的摩擦力可能变大
D．斜面体可能沿墙面向上滑动
【答案】 B
【解析】 受力分析如图所示
甲图中，FN1＝Fcs θ，Ff1＝mg＋Fsin θ≤Ffm；乙图中，FN2＝Fcs θ，所以墙面受到的压力不变，A项错误；若Fsin θ＝mg，则Ff2＝0，若Fsin θ＞mg，则Ff2方向向下，Ff2＝Fsin θ－mg，若Fsin θ＜mg，则Ff2方向向上，Ff2＝mg－Fsin θ，所以斜面体受到的摩擦力一定变小，B项正确，C项错误；因为墙面受到的压力没有变，所以Ffm不变，甲图中，Ff1＝mg＋Fsin θ≤Ffm，推不动斜面体，乙图中，Ff2＝Fsin θ－mg，肯定比Ffm小，所以斜面体肯定不沿墙面向上滑动，D项错误．
类型3 相似三角形法求解共点力静态平衡
【例1】(2022·重庆市三峡联盟模拟)如图所示，一轻杆两端固定两个小球A、B，A球的质量是B球质量的3倍，轻绳跨过滑轮连接A和B，一切摩擦不计，平衡时OA和OB的长度之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶3 D．1∶4
【答案】 C
【解析】 设绳上拉力为FT，OA长L1，OB长L2，过O点做竖直向下的辅助线交与AB为C点，如图所示，利用力的三角形和长度三角形相似有eq \f(FT,mAg)＝eq \f(L1,OC)；eq \f(FT,mBg)＝eq \f(L2,OC)得eq \f(L1,L2)＝eq \f(1,3)，故A、B、D错误，C正确．
【例2】如图所示，小圆环A吊着一个质量为m2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细绳一端拴在小圆环A上，另一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后吊着一个质量为m1的物块．如果小圆环A、滑轮、绳子的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计，绳子不可伸长，平衡时弦AB所对的圆心角为α，则两物块的质量之比m1∶m2应为( )
A．cs eq \f(α,2) B．sin eq \f(α,2)
C．2sin eq \f(α,2) D．2cs eq \f(α,2)
【答案】 C
【解析】 对小圆环A受力分析，如图所示，FT2与FN的合力F与FT1大小相等，由矢量三角形与几何三角形相似，可知eq \f(FT2,R)＝eq \f(F,2Rsin \f(α,2))，其中FT2＝m2g，F＝FT1＝m1g，联立解得eq \f(m1,m2)＝2sin eq \f(α,2)，C正确．
类型4 正弦定理求解共点力静态平衡
【例1】如图所示，a、b两个小球穿在一根光滑的固定杆上，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接，已知b球质量为1 kg，杆与水平面的夹角为30°，不计所有摩擦，当两球静止时，Oa段绳与杆的夹角也为30°，Ob段绳沿竖直方向，则a球的质量为( )
A.eq \r(3) kg B.eq \f(\r(3),3) kg
C.eq \f(\r(3),2) kg D．2 kg
【答案】 A
【解析】 分别对a、b两球受力分析，如图所示
根据共点力平衡条件，得FT＝mbg，根据正弦定理列式，可得eq \f(FT,sin 30°)＝eq \f(mag,sin 120°)，解得ma＝eq \r(3) kg，故选A.
【例2】.(2022·湖南雅礼中学高三月考)如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连．系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β.若α＝75°，β＝60°，则甲乙两物体质量之比是( )
A．1∶1 B．1∶2
C.eq \r(3)∶eq \r(2) D.eq \r(2)∶eq \r(3)
【答案】 D
【解析】 甲物体是拴牢在O点，且O点处于平衡状态，受力分析如图所示
根据几何关系有γ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理有eq \f(m甲g,sin γ)＝eq \f(m乙g,sin β)，故eq \f(m甲,m乙)＝eq \f(sin 45°,sin 60°)＝eq \f(\r(2),\r(3))，故选D.
【例3】如图所示，一斜面固定在水平面上，一半球形滑块固定在斜面上，球心O的正上方有一定滑轮A(视为质点)，细线的一端与一质量分布均匀的光滑圆球B连接，另一端绕过滑轮A在水平向右的拉力F作用下使圆球B保持静止。改变拉力F的大小，使圆球B从两球心等高的位置缓慢移动到圆球B的球心正好在O点的正上方(不考虑该位置的情况)。圆球B不会与定滑轮A接触，则下列说法正确的是( )
A．拉力F一直增大
B．拉力F先增大后减小
C．半球形滑块对圆球B的支持力先增大后减小
D．半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变
【答案】 D
【解析】 对圆球B受力分析，并合成三角形如图所示。
根据几何关系可知图中力构成的矢量三角形与阴影部分的三角形相似，则eq \f(mg,h)＝eq \f(FN,r)＝eq \f(F,l)，移动过程中，高度h和两球心距离r不变，所以半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变，绳子长度l变短，F减小，A、B、C错误，D正确。
类型5 整体法、隔离法解决共点力静态平衡
【例1】(2022·黑龙江鹤岗市第一中学高三月考)如图甲所示，A、B两小球通过两根轻绳连接并悬挂于O点，已知两轻绳OA和AB的长度之比为eq \r(3)∶1，A、B两小球质量分别为2m和m，现对A、B两小球分别施加水平向右的力F1和水平向左的力F2，两球恰好处于如图乙的位置静止，此时B球恰好在悬点O的正下方，轻绳OA与竖直方向成30°，则( )
A．F1＝F2 B．F1＝eq \r(3)F2
C．F1＝2F2 D．F1＝3F2
【答案】 C
【解析】 由题意知两轻绳OA和AB的长度之比为eq \r(3)∶1，B球恰好在悬点O的正下方，由几何关系可知，OA与AB垂直；以B球为研究对象，受力示意图如图甲所示，由平衡条件得F2＝mgtan (90°－30°)＝eq \r(3)mg，以A、B两球整体为研究对象，受力示意图如图乙所示，由平衡条件得F1－F2＝3mgtan 30°＝eq \r(3)mg，可得F1＝2eq \r(3)mg，即F1＝2F2，故C正确．
【例2】如图所示，两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、B连接，在水平外力F作用下，系统处于静止状态，弹簧实际长度相等．弹簧A、B的劲度系数分别为kA、kB，且原长相等．弹簧A、B与竖直方向的夹角分别为θ与45°.设A、B中的拉力分别为FA、FB，小球直径相比弹簧长度可忽略，重力加速度为g，则( )
A．tan θ＝eq \f(1,2) B．kA＝kB
C．FA＝eq \r(3)mg D．FB＝2mg
【答案】 A
【解析】 对下面的小球进行受力分析，如图甲所示．根据平衡条件得：F＝mgtan 45°＝mg，FB＝eq \f(mg,cs 45°)＝eq \r(2)mg；对两个小球整体受力分析，如图乙所示，根据平衡条件得：tan θ＝eq \f(F,2mg)，又F＝mg，解得tan θ＝eq \f(1,2)，FA＝eq \r(2mg2＋F2)＝eq \r(5)mg，由题图可知两弹簧的形变量相等，则有：x＝eq \f(FA,kA)＝eq \f(FB,kB)，解得：eq \f(kA,kB)＝eq \f(FA,FB)＝eq \f(\r(5),\r(2))，故A正确，B、C、D错误．

【例3】如图所示，一质量为M的楔形木块放在水平桌面上，它的顶角为90°，两底角为α和β；a、b为两个位于斜面上质量均为m的小木块，已知所有接触面都是光滑的，重力加速度为g.现发现a、b沿斜面下滑，而楔形木块静止不动，这时楔形木块对水平桌面的压力等于( )
A．Mg＋mg
B．Mg＋2mg
C．Mg＋mg(sin α＋sin β)
D．Mg＋mg(cs α＋cs β)
【答案】 A
【解析】 对木块a受力分析，如图，受重力和支持力，由几何关系，得到：FN1＝mgcs α，由牛顿第三定律得木块a对楔形木块的压力为：FN1′＝mgcs α①
同理，木块b对楔形木块的压力为：FN2′＝mgcs β②
对楔形木块受力分析，如图，
根据共点力平衡条件，得到：
FN2′cs α－FN1′cs β＝0③
F支－Mg－FN1′sin β－FN2′sin α＝0④
根据题意有：α＋β＝90°⑤
由①②③④⑤解得：F支＝Mg＋mg
根据牛顿第三定律，楔形木块对水平桌面的压力等于Mg＋mg
故选A.
【例4】(多选)如图所示，滑块A与小球B用同一根不可伸长的轻绳相连，且滑块A套在水平杆上。现用大小为10 N、与水平方向成30°角的力F拉B，使A、B一起向右匀速运动，运动过程中保持相对静止。已知A、B的质量分别为2 kg、1 kg，取g＝10 m/s2，则( )
A．轻绳与水平方向的夹角θ＝60°
B．轻绳与水平方向的夹角θ＝30°
C．滑块A与水平直杆之间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),4)
D．滑块A与水平直杆之间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),5)
【答案】 BD
【解析】 对B受力分析，B受重力、拉力F及绳子的拉力而处于平衡状态；将两拉力合成，因拉力为10 N，小球的重力为10 N，则由几何关系可知，轻绳的拉力也为10 N，方向与水平方向成30°角，故B正确，A错误；对A、B整体受力分析可知，A受到的支持力FN＝(mA＋mB)g－Fsin 30°＝25 N，摩擦力等于F沿水平方向的分力Ff＝Fcs 30°＝5eq \r(3) N，由Ff＝μFN′，FN′＝FN，解得μ＝eq \f(Ff,FN)＝eq \f(\r(3),5)，故D正确，C错误。
题型三 动态平衡问题
【解题指导】1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态．
2．做题流程
受力分析eq \(――――――→,\s\up7(化“动”为静))画不同状态平衡图构造矢量三角形eq \(―――――→,\s\up7(“静”中求动))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(―――→,\s\up7(定性分析))根据矢量三角形边长关系确定矢量的大小变化,\(―――→,\s\up7(定量计算))\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(三角函数关系,正弦定理,相似三角形))找关系求极值))
3．三力平衡、合力与分力关系
如图，F1、F2、F3共点平衡，三力的合力为零，则F1、F2的合力F3′与F3等大反向，F1、F2、F3′构成矢量三角形，即F3′为F1、F2的合力，也可以将F1、F2、F3直接构成封闭三角形．
类型1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，比较力的大小变化，利用三角函数关系确定三力的定量关系．
基本矢量图，如图所示
2．一力恒定(如重力)，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，恒力之外的两力垂直时，有极值出现．
基本矢量图，如图所示
作与F1等大反向的力F1′，F2、F3合力等于F1′，F2、F3、F1′构成矢量三角形．
3.动态分析常用方法
解析法：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化．
图解法：此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况．
【例1】(2022·福建南平市质检)如图，一粗糙的固定斜杆与水平方向成θ角，一定质量的滑环A静止悬挂在杆上某位置。现用一根轻质细绳AB一端与滑环A相连，另一端与小球B相连，且轻绳AB与斜杆垂直。另一轻质细绳BC沿水平方向拉小球B，使小球B保持静止。将水平细绳BC的C端沿圆弧缓慢移动到竖直位置，B的位置始终不变，则在此过程中( )
A．轻绳AB上的拉力先减小后增大
B．轻绳BC上的拉力先增大后减小
C．斜杆对A的支持力一直在减小
D．斜杆对A的摩擦力一直在减小
【答案】 C
【解析】 由题意知，小球B处于平衡，对小球受力分析如图甲所示，BC由水平方向变到竖直方向，由矢量三角形的动态分析可以看出，轻绳BC上的拉力先减小后增大，轻绳AB上的拉力一直在减小，故A、B错误；滑环A处于静止，对A受力分析如图乙所示。

甲 乙
由于AB绳对A的拉力FT一直在减小，故斜杆对A的支持力也一直在减小，斜杆对A的摩擦力一直等于mAgsin θ，保持不变，故C正确，D错误。
【例2】.(2022·天津市南开区高三模拟)(多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中( )
A．斜面对球的支持力逐渐增大
B．斜面对球的支持力逐渐减小
C．挡板对小球的弹力先减小后增大
D．挡板对小球的弹力先增大后减小
【答案】 BC
【解析】 对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和挡板的弹力FN2，如图，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，FN1和FN2的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，由图看出，斜面对小球的支持力FN1逐渐减小，挡板对小球的弹力FN2先减小后增大，当FN1和FN2垂直时，弹力FN2最小，故选项B、C正确，A、D错误．
【例3】(2021·湖南卷，5)质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图6所示，A为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块。用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是( )
A．推力F先增大后减小
B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大
C．墙面对凹槽的压力先增大后减小
D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大
【答案】 C
【解析】 对小滑块受力分析，如图甲所示，由题意可知，推力F与凹槽对滑块的支持力FN始终垂直，即α＋β始终为90°，在小滑块由A点向B点缓慢移动的过程中，α减小，β增大，由平衡条件得F＝mgcs α、FN＝mgsin α，可知推力F一直增大，凹槽对滑块的支持力FN一直减小，A、B错误；对小滑块和凹槽整体受力分析，如图乙所示，根据平衡条件可得，墙面对凹槽的压力大小FN1＝Fsin α＝eq \f(1,2)mgsin 2α，水平地面对凹槽的支持力FN2＝Mg＋mg－Fcs α，在小滑块由A点向B点缓慢移动的过程中，α由eq \f(π,2)逐渐减小到零，根据数学知识可知墙面对凹槽的压力先增大后减小，水平地面对凹槽的支持力一直减小，C正确，D错误。

甲 乙
【例4】(2022·山东日照市模拟)如图所示，一小球放在竖直的墙面与倾斜的木板之间。设小球对墙面的压力大小为F1，小球对木板的压力大小为F2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置。不计摩擦，在此过程中( )
A．F1先减小后增大 B．F1一直增大
C．F2一直减小 D．F2先减小后增大
【答案】 C
【解析】 以小球为研究对象，分析受力情况如图所示：重力G、墙面的支持力FN1和木板的支持力FN2，令木板与墙面的夹角为θ，根据平衡条件知FN1和FN2的合力与G等大反向，且得FN1＝eq \f(G,tan θ)，FN2＝eq \f(G,sin θ)，根据牛顿第三定律知墙面对球的压力大小为F1＝FN1＝eq \f(G,tan θ)，球对木板的压力大小为F2＝FN2＝eq \f(G,sin θ)，木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置时θ增大，则F1一直减小，F2一直减小，故选项C正确。
类型2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
1．一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边相比相等．
基本矢量图，如图所示
基本关系式：eq \f(mg,H)＝eq \f(FN,R)＝eq \f(FT,L)
2．一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化．
基本矢量图，如图所示
【例1】(2022·山西大同市开学考)如图所示，AC是上端带光滑轻质定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重力为G的物体，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮，用力F拉绳，开始时∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°。此过程中，轻杆BC所受的力( )
A．逐渐减小 B．逐渐增大
C．大小不变 D．先减小后增大
【答案】 C
【解析】 以结点B为研究对象，分析受力情况，如图所示，根据平衡条件可知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反。根据相似三角形得eq \f(F合,FN)＝eq \f(AC,BC)，且F合＝G，则有FN＝eq \f(BC,AC)G，现使∠BCA缓慢变小的过程中，AC、BC不变，即FN不变，则轻杆BC所受的力大小不变，C正确，A、B、D错误。
【例2】.(多选)如图所示，表面光滑的半球形物体固定在水平面上，光滑小环D固定在半球形物体球心O的正上方，轻质弹簧一端用轻质细绳固定在A点，另一端用轻质细绳穿过小环D与放在半球形物体上的小球P相连，DA水平.现将细绳固定点A向右缓慢平移的过程中(小球P未到达半球最高点前)，下列说法正确的是( )
A.弹簧变短 B.弹簧变长
C.小球对半球的压力不变 D.小球对半球的压力变大
【答案】 AC
【解析】 以小球为研究对象，受力分析如图，小球受重力G、细绳的拉力FT和半球面的支持力FN，作出FN、FT的合力F，由平衡条件得知F＝G，根据三角形相似可得eq \f(FN,PO)＝eq \f(F,DO)＝eq \f(FT,PD)，将F＝G代入得：FN＝eq \f(PO,DO)G，FT＝eq \f(PD,DO)G，将细绳固定点A向右缓慢平移，DO、PO不变，PD变小，可知FT变小，FN不变，即弹簧的弹力变小，弹簧变短，由牛顿第三定律知小球对半球的压力不变，故A、C正确，B、D错误.
【例3】(2022·贵州贵阳市2月适应性考试)如图所示，轻绳两端固定在一硬质轻杆上的A、B两点，在轻绳中点O系一重物。现将杆顺时针在竖直面内缓慢旋转，使OA从水平位置转到竖直位置的过程中，绳OA、OB的张力FA和FB的大小变化情况是( )
A.FA先增大后减小，FB一直减小
B.FA先减小后增大，FB一直增大
C.FA先减小后增大，FB先增大后减小
D.FA先增大后减小，FB先减小后增大
【答案】 A
【解析】 合力大小不变，等于mg，方向不变，两个分力的夹角不变，根据三角形定则作图，如图所示。由图可知，当OA从水平位置转到竖直位置的过程中，FA先增大后减小，FB一直减小，选项A正确。
【例3】.(2022·天一大联考)如图所示，半径为R的圆环竖直放置，长度为R的不可伸长的轻细绳OA、OB，一端固定在圆环上，另一端在圆心O处连接并悬挂一质量为m的重物，初始时OA绳处于水平状态.把圆环沿地面向右缓慢转动，直到OA绳处于竖直状态，在这个过程中( )
A.OA绳的拉力逐渐增大
B.OA绳的拉力先增大后减小
C.OB绳的拉力先增大后减小
D.OB绳的拉力先减小后增大
【答案】 B
【解析】 以重物为研究对象，重物受到重力mg、OA绳的拉力F1、OB绳的拉力F2三个力而平衡，构成矢量三角形，置于几何圆中如图：
在转动的过程中，OA绳的拉力F1先增大，转过直径后开始减小，OB绳的拉力F2开始处于直径上，转动后一直减小，B正确，A、C、D错误.
类型3 轻绳套轻环的动态平衡模型
1.如图所示，绳上套的是光滑轻环，作用在绳上形成“活结”，此时绳上的拉力处处相等，平衡时与水平面所成夹角相等，即α＝β。当动点P移至P′时，绳长保持不变，夹角α＝β也保持不变，Q移至Q′，这与绳“死结”模型截然不同。
此类问题破题关键有两点：
(1)不计轻环与绳间的摩擦时，左右两段绳中张力相等，左右两段绳与竖直方向的夹角也相等。
(2)绳总长度不变时，sin θ＝eq \f(d,l)，绳中张力和绳与竖直方向的夹角θ随两悬点水平距离d的变化而变化。
2.如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，Fsin θ1＝Fsin θ2，故θ1＝θ2＝θ3，根据几何关系可知，sin θ＝eq \f(d,L1＋L2)＝eq \f(d,L)，若两杆间距离d不变，则上下移动悬线结点，θ不变，若两杆距离d减小，则θ减小，2FTcs θ＝mg，FT＝eq \f(mg,2cs θ)也减小．
【例1】(2021·山西省高三一模)如图所示，轻质、不可伸长的细钢丝绳两端分别固定在竖直杆P、Q上的a、b两点，a点比b点低．脚穿着粗糙杂技靴的演员在走钢丝表演时，可以在细钢丝绳的中点以及杆P、Q的中间位置保持平衡状态，则演员( )
A．在P、Q中间位置时，左右两侧绳子张力的值相等
B．在P、Q中间位置时，左侧绳子张力的值小于右侧绳子张力的值
C．在细绳的中点时，左右两侧绳子张力的值相等
D．在细绳的中点时，左侧绳子张力的值大于右侧绳子张力的值
【答案】 B
【解析】 设a到脚的高度为h1，b到脚的高度为h2，脚到P的水平距离为x1，脚到Q的水平距离为x2，a端绳子和水平方向的夹角为α，b端绳子和水平方向的夹角为β，对脚与绳子的接触点进行受力分析，如图所示．
演员在P、Q中间位置时，根据几何关系tan α＝eq \f(h1,x1)，tan β＝eq \f(h2,x2)，x1＝x2，因为h1【例2】.(2022·山东潍坊市二模)如图所示，通过轻绳和滑轮从矿井中提升重物，光滑轻质动滑轮下吊重物，轻绳a左端固定在井壁的M点，另一端固定在光滑的轻质滑环N上，轻绳b的下端系在滑环N上并绕过定滑轮，滑环N套在竖直杆上.在右侧地面上拉动轻绳b使重物缓慢上升的过程中，下列说法正确的是( )
A.绳a的拉力变大B.绳b的拉力变大
C.杆对滑环的弹力变大D.绳b的拉力始终比绳a的小
【答案】 D
【解析】 重物缓慢上升的过程中，对重物受力分析，如图甲所示
则2FTacs θ＝mg，解得FTa＝eq \f(mg,2cs θ).
设a绳总长为l，左侧井壁与竖直杆的宽度为d，如图乙所示
由几何关系知l1sin θ＋l2sin θ＝d
l1＋l2＝l
解得sin θ＝eq \f(d,l)
故重物缓慢向上过程中，sin θ不变，cs θ不变，故FTa不变，A错误；
对滑环N受力分析如图丙所示
可知FN＝FTasin θ
FTb＝FTacs θ
联立解得FTb＝eq \f(1,2)mg，FN＝eq \f(1,2)mgtan θ
故绳b的拉力和杆对滑环的弹力都不变，B、C错误；
由于cs θ<1，FTb＝FTacs θ，故FTb【例3】如图所示为建筑工地一个小型起重机起吊重物的示意图。一根轻绳跨过光滑的动滑轮，轻绳的一端系在位置A处，动滑轮的下端挂上重物，轻绳的另一端挂在起重机的吊钩C处，起吊重物前，重物处于静止状态。起吊重物过程是这样的：先让吊钩从位置C竖直向上缓慢地移动到位置B，然后再让吊钩从位置B水平向右缓慢地移动到D，最后把重物卸在某一个位置。则关于轻绳上的拉力大小变化情况，下列说法正确的是( )
A．吊钩从C向B移动过程中，轻绳上的拉力不变
B．吊钩从B向D移动过程中，轻绳上的拉力变小
C．吊钩从C向B移动过程中，轻绳上的拉力变大
D．吊钩从B向D移动过程中，轻绳上的拉力不变
【答案】 A
【解析】 由C到B时，两绳夹角不变，由滑轮受力平衡知，绳子拉力不变，由B到D时，两绳夹角θ增大，由滑轮受力平衡得2FTcs eq \f(θ,2)＝mg，绳子拉力变大，故A正确。
【例4】如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近(C点与A点等高)．则在此过程中绳中拉力大小( )
A．先变大后不变 B．先变大后变小
C．先变小后不变 D．先变小后变大
【答案】 A
【解析】 对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即F1＝F2，由几何关系易知绳子拉力方向与竖直方向夹角相等，设为θ，可知：
F1＝F2＝eq \f(mg,2cs θ)①
如图乙所示，设绳长为L，由几何关系
即sin θ＝eq \f(d,L)②
其中d为两端点间的水平距离，由B点向C点移动过程中，d先变大后不变，因此θ先变大后不变，由①式可知绳中拉力先变大后不变，故A正确．
题型四 平衡中的临界、极值问题
【解题指导】1．三力平衡下的极值问题，常用图解法，将力的问题转化为三角形问题求某一边的最小值.
多力平衡时求极值一般用解析法，由三角函数、二次函数、不等式等求解.
3.若物体受包括弹力、摩擦力在内的四个力平衡，可以把弹力、摩擦力两个力合成一个力，该力方向固定不变(与弹力夹角正切值为μ)，从而将四力平衡变成三力平衡，再用图解法求解．
【必备知识】
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0.
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小．
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．
【例1】(2022·江苏新高考质检)如图所示，倾角θ＝37°的斜面上有一木箱，木箱与斜面之间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),3)。现对木箱施加一拉力F，使木箱沿着斜面向上做匀速直线运动。设F的方向与斜面的夹角为α，在α从0逐渐增大到53°的过程中，木箱的速度保持不变，则( )
A．F先减小后增大 B．F先增大后减小
C．F一直增大 D．F一直减小
【答案】 A
【解析】 对物体受力分析如图所示，木箱沿着斜面向上做匀速直线运动，合力为零，根据平衡条件，在垂直斜面方向，有FN＋Fsin α＝mgcs θ，在平行斜面方向，有Fcs α＝mgsin θ＋Ff，其中Ff＝μFN，联立解得F＝eq \f(mgsin θ＋μmgcs θ,cs α＋μsin α)＝eq \f(（4＋3\r(3)）mg,10sin（α＋60°）)，当α＝30°时F最小，则在α从0逐渐增大到53°的过程中，F先减小后增大，故A正确。
【例2】.(2022·新疆维吾尔自治区联考)如图所示为某粮库输送小麦的示意图。麦粒离开传送带受重力作用在竖直方向上掉落后，形成圆锥状的麦堆。若麦堆底面半径为r，麦粒之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不考虑麦粒的滚动。则形成的麦堆的最大高度为( )
A.eq \f(r,μ) B．rμ
C.eq \r(1－μ2)r D.eq \r(1＋μ2)r
【答案】 B
【解析】 设麦堆最大高度为h，此时麦堆母线与底面形成的角为α，此时侧面上的麦粒恰好不下滑，则有mgsin α＝μmgcs α，又由几何关系有tan α＝eq \f(h,r)，解得h＝rμ，故B正确。
【例3】．(2022·唐山市选择考模拟)北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示。若支撑点距水平地面的高度为eq \r(3) m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),3)，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端一定不发生侧滑，则木棍的长度最多为( )
A．1.5 m B.eq \r(3) m
C．2 m D．2eq \r(3) m
【答案】 C
【解析】 设木棍与竖直方向夹角为θ，木棍长度为L，粮仓对木棍的作用力为F。为使木棍下端一定不发生侧滑，则有Fsin θ≤μFcs θ，即μ≥tan θ，由几何知识有tan θ＝eq \f(\r(L2－h2),h)，联立解得L≤2 m，即木棍的长度最多为2 m，故C项正确。
【例4】如图所示，在水平推力作用下，物体A静止在倾角为θ＝45°的粗糙斜面上，当水平推力为F0时，A刚好不下滑，然后增大水平推力的值，当水平推力为F时A刚好不上滑。设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，物块A与斜面之间的动摩擦因数为μ(μ＜1)，则下列关系式成立的是( )
A．F＝eq \f(μ,1－μ)F0 B．F＝(eq \f(μ,1－μ))2F0
C．F＝eq \f(1＋μ,1－μ)F0 D．F＝(eq \f(1＋μ,1－μ))2F0
【答案】 D
【解析】 当物体恰好不下滑时，沿斜面方向刚好平衡，则有
mgsin 45°＝F0cs 45°＋μFN
垂直于斜面方向，有
FN＝mgcs 45°＋F0sin 45°
解得F0＝eq \f(1－μ,1＋μ)mg
同理，当物体恰好不上滑时，有F＝eq \f(1＋μ,1－μ)mg
解得F＝(eq \f(1＋μ,1－μ))2F0，故选项D正确。
【例5】．(多选)如图所示，A、B两个物体中间用一根不可伸长的轻绳相连，在物体B上施加一斜向上的力F，使A、B两物体保持相对静止一起沿水平地面向右匀速运动，当力F与水平面的夹角为θ时，力F最小。已知A、B两物体的质量分别为m1＝2.5 kg、m2＝0.5 kg，物体A与地面间的动摩擦因数μ＝eq \f( \r(3),3)，g取10 m/s2，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．θ＝30°
B．θ＝60°
C．力F的最小值为12 N
D．力F的最小值为15 N
【答案】 AD
【解析】 对A、B两物体，采用整体法进行受力分析，由共点力平衡和正交分解法知，在竖直方向上，FN＝(m1＋m2)g－Fsin θ
滑动摩擦力为Ff＝μFN
在水平方向上Ff＝Fcs θ
解得F＝eq \f(μ（m1＋m2）g,cs θ＋μsin θ)
由三角函数知识，得F的最小值为
Fmin＝eq \f(μ（m1＋m2）g,\r(1＋μ2))＝15 N
此时有tan θ＝μ＝eq \f(\r(3),3)，θ＝30°，A、D正确。