2025高考数学一轮复习- 复 数-专项训练【含解析】

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1．已知z＝(2－i)(1＋3i)，则z的虚部为( )
A．－1 B．－i
C．5D．5i
2．已知a＋eq \r(5)i＝－2＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝( )
A．1B．eq \r(7)
C．3 D．9
3．已知i是虚数单位，复数z与复平面内的点(2，－1)对应，则复数eq \f(1－2i,z)对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
4．已知复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)，则“a＝2”是“z为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．设复数z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－i,1＋i)))n＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))n，i为虚数单位，n∈N，则由z的所有可能取值构成的集合为( )
A．{1,0，－1}B．{0,2，－2}
C．{0,1＋i,1－i}D．{0,2＋2i,2－2i}
6．(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是( )
A．|z|＝eq \r(5)
B．z的虚部为2
C．z的共轭复数为－1＋2i
D．复数z在复平面内对应的点在第四象限
7．(多选)设z∈C，则下列说法中正确的是( )
A．|z|2＝eq \x\t(z)·z
B．|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|
C．若zeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,2)＝0，则z1＝z2＝0
D．若|z|＝1，则|z－i|≤2
8．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
9．设O是坐标原点，向量eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i．那么向量eq \(BA,\s\up7(―→))对应的复数是________．
10．若复数z＝2＋(z＋1)i，其中i为虚数单位，则复数z的模为________．
11．若i为虚数单位，复数z满足|z＋eq \r(3)＋i|≤eq \r(3)，则|z－2i|的最大值为( )
A．2B．3
C．2eq \r(3)D．3eq \r(3)
12．设复数z满足|eq \x\t(z)－2i|＝3，且z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x－2)2＋y2＝9B．(x＋2)2＋y2＝9
C．x2＋(y－2)2＝9D．x2＋(y＋2)2＝9
13．(多选)已知复数z＝cs θ＋isin θ(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是( )
A．z·eq \x\t(z)＝1
B．z＋eq \f(1,z)为实数
C．若θ＝eq \f(8π,3)，则复数z在复平面上对应的点落在第一象限
D．若θ∈(0，π)，复数z是纯虚数，则θ＝eq \f(π,2)
14．若复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)满足|z－2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝________．
15．已知(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，a，b∈R，i是虚数单位，则a＋b＝________；若复数z＝a＋bi，则z在复平面内对应的点位于第________象限．
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复 数【解析版】
1．已知z＝(2－i)(1＋3i)，则z的虚部为( )
A．－1 B．－i
C．5D．5i
解析：C z＝(2－i)(1＋3i)＝2＋6i－i－3i2＝5＋5i，虚部为5．故选C．
2．已知a＋eq \r(5)i＝－2＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝( )
A．1B．eq \r(7)
C．3 D．9
解析：C 因为a＋eq \r(5)i＝－2＋bi(a，b∈R)，所以a＝－2，b＝eq \r(5)，|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(4＋5)＝3．故选C．
3．已知i是虚数单位，复数z与复平面内的点(2，－1)对应，则复数eq \f(1－2i,z)对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：D 由复数z与复平面内的点(2，－1)对应，可知z＝2－i，所以eq \f(1－2i,2－i)＝eq \f(1－2i2＋i,2－i2＋i)＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i，其对应的点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5)))．故选D．
4．已知复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)，则“a＝2”是“z为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：A 因为复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)为纯虚数，等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－4＝0，,a－3≠0，))即a＝±2，由充分条件和必要条件的定义知“a＝2”是“a＝±2”的充分不必要条件，所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件．故选A．
5．设复数z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－i,1＋i)))n＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))n，i为虚数单位，n∈N，则由z的所有可能取值构成的集合为( )
A．{1,0，－1}B．{0,2，－2}
C．{0,1＋i,1－i}D．{0,2＋2i,2－2i}
解析：B z＝in＋(－i)n，i为虚数单位，n∈N，当n＝4k(k∈N)时，z＝2；当n＝4k＋1(k∈N)时，z＝0；当n＝4k＋2(k∈N)时，z＝－2；当n＝4k＋3(k∈N)时，z＝0．故选B．
6．(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是( )
A．|z|＝eq \r(5)
B．z的虚部为2
C．z的共轭复数为－1＋2i
D．复数z在复平面内对应的点在第四象限
解析：AC 由题意|z|＝eq \r(－12＋－22)＝eq \r(5)，虚部为－2，共轭复数是－1＋2i，对应点坐标为(－1，－2)，在第三象限．故选A、C．
7．(多选)设z∈C，则下列说法中正确的是( )
A．|z|2＝eq \x\t(z)·z
B．|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|
C．若zeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,2)＝0，则z1＝z2＝0
D．若|z|＝1，则|z－i|≤2
解析：AD A选项，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi，|z|2＝a2＋b2，eq \x\t(z)·z＝a2＋b2，所以|z|2＝eq \x\t(z)·z，故A正确；
B选项，令z1＝1＋i，z2＝1－i，则|z1＋z2|＝2，|z1|＋|z2|＝2eq \r(2)，不满足|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|，故B错误；
C选项，若z1＝i，z2＝1，则zeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,2)＝0，但不满足z1＝z2＝0，故C错误；
D选项，若|z|＝1，不妨令z＝cs θ＋sin θ·i，则|z－i|＝eq \r(cs2θ＋sin θ－12)＝eq \r(2－2sin θ)≤2，故D正确．故选A、D．
8．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
解析：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，由已知，得a＋2＝0,1－2a≠0，∴a＝－2．
答案：－2
9．设O是坐标原点，向量eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i．那么向量eq \(BA,\s\up7(―→))对应的复数是________．
解析：∵向量eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，∴eq \(OA,\s\up7(―→))＝(2，－3)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(－3,2)，∴eq \(BA,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))＝(5，－5)，其对应的复数是5－5i．
答案：5－5i
10．若复数z＝2＋(z＋1)i，其中i为虚数单位，则复数z的模为________．
解析：因为z＝2＋(z＋1)i，所以z(1－i)＝2＋i，所以z＝eq \f(2＋i,1－i)＝eq \f(2＋i1＋i,1－i1＋i)＝eq \f(1＋3i,2)，故|z|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2)＝eq \f(\r(10),2)．
答案：eq \f(\r(10),2)
11．若i为虚数单位，复数z满足|z＋eq \r(3)＋i|≤eq \r(3)，则|z－2i|的最大值为( )
A．2B．3
C．2eq \r(3)D．3eq \r(3)
解析：D |z＋eq \r(3)＋i|≤eq \r(3)表示以点M(－eq \r(3)，－1)为圆心，R＝eq \r(3)为半径的圆及其内部，|z－2i|表示上述圆面内的点到N(0,2)的距离，据此作出如图所示的示意图，则|z－2i|max＝MN＋R＝eq \r([0－－\r(3)]2＋[2－－12]2)＋eq \r(3)＝3eq \r(3)．故选D．
12．设复数z满足|eq \x\t(z)－2i|＝3，且z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x－2)2＋y2＝9B．(x＋2)2＋y2＝9
C．x2＋(y－2)2＝9D．x2＋(y＋2)2＝9
解析：D 因为z在复平面内对应的点为(x，y)，所以z＝x＋yi，则eq \x\t(z)＝x－yi，所以eq \x\t(z)－2i＝x＋(－y－2)i，所以|eq \x\t(z)－2i|＝eq \r(x2＋y＋22)＝3，整理得x2＋(y＋2)2＝9．故选D．
13．(多选)已知复数z＝cs θ＋isin θ(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是( )
A．z·eq \x\t(z)＝1
B．z＋eq \f(1,z)为实数
C．若θ＝eq \f(8π,3)，则复数z在复平面上对应的点落在第一象限
D．若θ∈(0，π)，复数z是纯虚数，则θ＝eq \f(π,2)
解析：ABD 对选项A，z·eq \x\t(z)＝(cs θ＋isin θ)(cs θ－isin θ)＝cs2θ－(isin θ)2＝cs2θ＋sin2θ＝1，故A正确；对选项B，因为z＋eq \f(1,z)＝cs θ＋isin θ＋eq \f(1,cs θ＋isin θ)＝cs θ＋isin θ＋eq \f(cs θ－isin θ,cs θ＋isin θcs θ－isin θ)＝cs θ＋isin θ＋cs θ－isin θ＝2cs θ，所以z＋eq \f(1,z)为实数．故B正确；
对选项C，因为θ＝eq \f(8π,3)为第二象限角，所以cs eq \f(8π,3)<0，sin eq \f(8π,3)>0，所以z＝cs eq \f(8π,3)＋isin eq \f(8π,3)在复平面对应的点落在第二象限．故C错误；
对选项D，复数z是纯虚数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ＝0，,sin θ≠0，))又因为θ∈(0，π)，所以θ＝eq \f(π,2)，故D正确．故选A、B、D．
14．若复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)满足|z－2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝________．
解析：z＝a＋bi，故z－2i＝a＋(b－2)i．由|z－2i|＝|z|知， eq \r(a2＋b－22)＝eq \r(a2＋b2)，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i(a可为任意实数)均满足题意，可取z＝1＋i．
答案：1＋i(答案不唯一)
15．已知(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，a，b∈R，i是虚数单位，则a＋b＝________；若复数z＝a＋bi，则z在复平面内对应的点位于第________象限．
解析：由(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，得a－2－(1＋2a)i＝－3＋bi，由复数相等的充要条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2＝－3，,－1＋2a＝b，))解得a＝－1，b＝1，所以a＋b＝0，所以z＝－1＋i，复数z在复平面内对应的点为(－1,1)，位于第二象限．
答案：0 二