2025高考数学一轮复习- 指数与指数函数-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习- 指数与指数函数-专项训练【含解析】，共8页。
1．已知a＞0，则eq \f(a2,\r(a)\r(3,a2))＝( )
A．a B．a
C．aD．a
2．已知函数f(x)＝eq \f(2ex,ex＋1)＋x(其中e为自然对数的底数，e＝2．718 28…)，若实数m满足f(m)＝－1，则f(－m)＝( )
A．4B．3
C．2D．1
3．函数y＝eq \r(16－4x)的值域是( )
A．[0，＋∞)B．[0,4]
C．[0,4)D．(0,4)
4．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
5．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为( )
A．3．6小时B．3．8小时
C．4小时D．4．2小时
6．(多选)已知f(x)＝eq \f(1－2x,1＋2x)，则( )
A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数
C．f(x)在R上单调递增D．f(x)在R上单调递减
7．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数________．
①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x)为偶函数．
8．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．
9．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)))x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
10．已知f(x)＝a－eq \f(2,3x＋1)(a为常数)为奇函数，则满足f(ax)＞f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(1，＋∞)B．(－∞，1)
C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)
11．(多选)关于函数f(x)＝eq \f(1,4x＋2)的性质，下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)的定义域为R
B．函数f(x)的值域为(0，＋∞)
C．方程f(x)＝x有且只有一个实根
D．函数f(x)的图象是中心对称图形
12．当x∈(－∞，－1]时，不等式1＋2x＋4xa≥0恒成立，则a的取值范围是________．
13．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－eq \f(1,2|x|)．
(1)若f(x)＝eq \f(3,2)，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
14．已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x．若存在x∈[－1,1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，则实数m的最大值为( )
A．eq \f(3,5)B．－eq \f(3,5)
C．1D．－1
15．对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．
(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；
(2)判断函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明；
(3)若函数f(x)为理想函数，假定∃x0∈[0,1]，使得f(x0)∈[0,1]，且f[f(x0)]＝x0，求证：f(x0)＝x0．
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指数与指数函数【解析版】
1．已知a＞0，则eq \f(a2,\r(a)\r(3,a2))＝( )
A．a B．a
C．aD．a
解析：B eq \f(a2,\r(a)\r(3,a2))＝eq \f(a2,a·a)＝a＝a．故选B．
2．已知函数f(x)＝eq \f(2ex,ex＋1)＋x(其中e为自然对数的底数，e＝2．718 28…)，若实数m满足f(m)＝－1，则f(－m)＝( )
A．4B．3
C．2D．1
解析：B 由题意，函数f(x)＝eq \f(2ex,ex＋1)＋x，可得f(－x)＝eq \f(2e－x,e－x＋1)－x＝eq \f(\f(2,ex),\f(1,ex)＋1)－x＝eq \f(2,ex＋1)－x，可得f(x)＋f(－x)＝eq \f(2ex,ex＋1)＋x＋eq \f(2,ex＋1)－x＝2，即f(m)＋f(－m)＝2，因为f(m)＝－1，所以f(－m)＝3．故选B．
3．函数y＝eq \r(16－4x)的值域是( )
A．[0，＋∞)B．[0,4]
C．[0,4)D．(0,4)
解析：C 要使函数有意义，须满足16－4x≥0，则x∈(－∞，2]，所以4x∈(0,16]，则0≤16－4x＜16，即函数y＝eq \r(16－4x)的值域为[0,4)．故选C．
4．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
解析：A 由图象可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＜0，,f1＞0，,f－1＜0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＜0， ①,1－a1－b＞0， ②,－1－a－1－b＜0， ③))
因为a＞b，所以由①可得：a＞0＞b，由③可得：－1－b＞0⇒b＜－1，由②可得：1－a＞0⇒a＜1，因此有1＞a＞0＞－1＞b，所以函数g(x)＝ax＋b是减函数，g(0)＝1＋b＜0，所以选项A符合，故选A．
5．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为( )
A．3．6小时B．3．8小时
C．4小时D．4．2小时
解析：C 由题意可得N0e－4k＝eq \f(4,5)N0，可得e－4k＝eq \f(4,5)，设N0e－kt＝0．64N0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2N0，可得e－kt＝(e－4k)2＝e－8k，解得t＝8．因此，污染物消除至最初的64%还需要4小时．故选C．
6．(多选)已知f(x)＝eq \f(1－2x,1＋2x)，则( )
A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数
C．f(x)在R上单调递增D．f(x)在R上单调递减
解析：AD f(x)的定义域为R，关于原点对称，因为f(－x)＝eq \f(1－2－x,1＋2－x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)＝－eq \f(1－2x,1＋2x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除B；因为f(x)＝eq \f(1－2x,1＋2x)＝eq \f(2,1＋2x)－1，且y＝2x在R上单调递增，所以y＝1＋2x在R上单调递增，所以y＝eq \f(2,1＋2x)－1在R上单调递减，即f(x)在R上单调递减，排除C．故选A、D．
7．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数________．
①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x)为偶函数．
解析：若满足①对任意的x1x2≥0有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)成立，则对应的函数为指数函数y＝ax的形式；若满足②f(x)为偶函数，只需要将x加绝对值即可，所以满足①②两个条件的函数满足f(x)＝a|x|(a＞0，a≠1)即可．
答案：f(x)＝2|x|(答案不唯一)
8．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．
解析：因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a＞1．由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)＞f(1)．
答案：(1，＋∞) f(－4)＞f(1)
9．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)))x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b·a＝6，,b·a3＝24.))
所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3．所以f(x)＝3·2x．
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－m≥0恒成立，即m≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x在x∈(－∞，1]上恒成立．又因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x均为减函数，所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x也是减函数，所以当x＝1时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x有最小值eq \f(5,6)．则m≤eq \f(5,6)，故m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,6)))．
10．已知f(x)＝a－eq \f(2,3x＋1)(a为常数)为奇函数，则满足f(ax)＞f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(1，＋∞)B．(－∞，1)
C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)
解析：A 因为函数f(x)＝a－eq \f(2,3x＋1)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝2a－eq \f(2,3x＋1)－eq \f(2,3－x＋1)＝2a－eq \f(2,3x＋1)－eq \f(2·3x,3x3－x＋1)＝2a－eq \f(21＋3x,3x＋1)＝2a－2＝0，解得a＝1，所以f(x)＝1－eq \f(2,3x＋1)，任取x1＞x2，则3eq \a\vs4\al(x1)＞3eq \a\vs4\al(x2)，则f(x1)－f(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3\a\vs4\al(x1)＋1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3\a\vs4\al(x2＋1))))＝eq \f(2,3\a\vs4\al(x2)＋1)－eq \f(2,3\a\vs4\al(x1)＋1)＝eq \f(23\a\vs4\al(x1)－3\a\vs4\al(x2),3\a\vs4\al(x1)＋13\a\vs4\al(x2)＋1)＞0，所以f(x1)＞f(x2)，则函数f(x)为R上的增函数，由f(x)＞f(1)，解得x＞1．故选A．
11．(多选)关于函数f(x)＝eq \f(1,4x＋2)的性质，下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)的定义域为R
B．函数f(x)的值域为(0，＋∞)
C．方程f(x)＝x有且只有一个实根
D．函数f(x)的图象是中心对称图形
解析：ACD 函数f(x)＝eq \f(1,4x＋2)的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)＝eq \f(1,4x＋2)在定义域内单调递减，所以函数的值域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，所以方程f(x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f(x＋1)＋f(－x)＝eq \f(1,4x＋1＋2)＋eq \f(1,4－x＋2)＝eq \f(1,4·4x＋2)＋eq \f(4x,2·4x＋1)＝eq \f(1,2)，所以f(x)关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))对称，所以D正确．
12．当x∈(－∞，－1]时，不等式1＋2x＋4xa≥0恒成立，则a的取值范围是________．
解析：不等式1＋2x＋4xa≥0恒成立，转化为－a≤eq \f(1＋2x,4x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，易知函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x是R上的减函数，因此x∈(－∞，－1]时，ymin＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))－1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＝6，所以－a≤6，即a≥－6．
答案：[－6，＋∞)
13．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－eq \f(1,2|x|)．
(1)若f(x)＝eq \f(3,2)，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x0，所以2x＝2，所以x＝1．
(2)当t∈[1,2]时，2teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(22t－\f(1,22t)))＋meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t－\f(1,2t)))≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1>0，
所以m≥－(22t＋1)，
又y＝－22t－1，t∈[1,2]为减函数，
所以ymax＝－22－1＝－5，故m≥－5．
即m的取值范围是[－5，＋∞)．
14．已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x．若存在x∈[－1,1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，则实数m的最大值为( )
A．eq \f(3,5)B．－eq \f(3,5)
C．1D．－1
解析：A ∵g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且g(x)－h(x)＝2x①，∴g(－x)－h(－x)＝g(x)＋h(x)＝2－x②，①②两式联立可得g(x)＝eq \f(2x＋2－x,2)，h(x)＝eq \f(2－x－2x,2)．由m·g(x)＋h(x)≤0得m≤eq \f(2x－2－x,2x＋2－x)＝eq \f(4x－1,4x＋1)＝1－eq \f(2,4x＋1)，∵y＝1－eq \f(2,4x＋1)在x∈[－1,1]上为增函数，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,4x＋1)))max＝eq \f(3,5)，故选A．
15．对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．
(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；
(2)判断函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明；
(3)若函数f(x)为理想函数，假定∃x0∈[0,1]，使得f(x0)∈[0,1]，且f[f(x0)]＝x0，求证：f(x0)＝x0．
解：(1)若函数f(x)为理想函数，取x1＝x2＝0，由条件③可得f(0)≥f(0)＋f(0)，即f(0)≤0．
由条件①对任意的x∈[0,1]，总有f(0)≥0．
综上所述，f(0)＝0．
(2)函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])为理想函数，证明如下：
函数g(x)＝2x－1在[0,1]上满足g(x)≥0，即满足条件①．
∵g(1)＝21－1＝1，∴g(x)满足条件②．
若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则
g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]
＝2eq \a\vs4\al(x1＋x2)－1－[(2eq \a\vs4\al(x1)－1)＋(2eq \a\vs4\al(x2)－1)]
＝2eq \a\vs4\al(x1＋x2)－2eq \a\vs4\al(x1)－2eq \a\vs4\al(x2)＋1
＝(2eq \a\vs4\al(x2)－1)(2eq \a\vs4\al(x1)－1)≥0，
即满足条件③．
综上所述，g(x)同时满足理想函数的三个条件，故g(x)为理想函数．
(3)证明：由条件③知，任给m，n∈[0,1]，当m＜n时，n－m∈[0,1]，
∴f(n)＝f(n－m＋m)≥f(n－m)＋f(m)≥f(m)．
若x0＜f(x0)，则f(x0)≤f[f(x0)]＝x0，与假设矛盾；
若x0＞f(x0)，则f(x0)≥f[f(x0)]＝x0，与假设矛盾．
综上所述，x0＝f(x0)．