2025高考数学一轮复习-7.1-分类计数原理与分步计数原理-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.1-分类计数原理与分步计数原理-专项训练【含解析】，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的选派方法有( )
A．6种 B．5种
C．4种 D．3种
2．某演讲比赛候选人中高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名，从每个年级中各选1人参加市团委组织的演讲比赛，则不同的选法有( )
A．60种B．45种
C．30种D．12种
3．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．下图是数独的一个简化版，由3行3列 9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有( )
A．12种B．24种
C．72种D．216种
4．已知x∈{1,2,3,4}，y∈{5,6,7,8}，则xy可表示不同的值的个数为( )
A．2B．4
C．8D．15
5．一辆单向行驶的汽车，满载为25人，全程共设14个车站，途中每个车站均可上下乘客，由不同的起点到达不同的终点的乘客应购买不同的车票，在一次单程行驶中，车上最多卖出不同的车票的种数是( )
A．63B．65
C．67D．69
6．从集合{1,2,3 ，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3B．4
C．6D．8
7．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的半身裙，另有2套不同样式的连衣裙．若“五一”节需选择1套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择方式有( )
A．24种B．14种
C．10种D．9种
8．(多选题)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是( )
A.此人有4种选课方式
B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第2节
D．自习可安排在4节课中的任一节
二、填空题
9．用0,1,2,3,4,5,6七个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是 ；可以组成有重复数字的四位数的个数为 .
10.现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同部分)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方案有 种．(用数字作答)
11．把编号为i(i＝1,2,3,4,5)的五个小球随机放入编号为j(j＝1,2,3,4,5)的五个盒子，每盒一个小球，若满足|i－j|≤2，则不同的放法共有 种．
三、解答题
12．我们把个位数比十位数小的两位数称为“和谐两位数”．则1,2,3,4四个数组成的两位数中，“和谐两位数”有多少个？
13．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
14．(多选题)以下命题正确的是( )
A．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有64种
B．现有不同的红球7个，不同的白球5个．若从中任取两个不同颜色的球，则不同的取法有35种
C．已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为8
D．甲、乙两人做从装有14个玻璃球的盒子中抓取玻璃球的游戏，规定：甲、乙两人轮流抓取，每次至少抓取1个，最多抓取4个，最后一次取完者获胜．若甲先抓取，为确保甲一定获胜，则甲第一次应该抓取的玻璃球个数为4
15．三名参加过抗击新冠肺炎疫情的医务人员在疫情结束之后商定再次前往湖北的武汉、宜昌、黄冈3个城市，如果三人均等可能的前往上述3个城市之一，那么他们恰好选择同一个城市的概率是 .
16．用1,2,3,4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}．
(1)这个数列共有多少项？
(2)若an＝341，求n.
2025高考数学一轮复习-7.1-分类计数原理与分步计数原理-专项训练【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的选派方法有( C )
A．6种 B．5种
C．4种 D．3种
解析：不同的选派情况可分为3类：若选甲、乙，有2种方法；若选甲、丙，有1种方法；若选乙、丙，有1种方法．根据分类加法计数原理知，不同的选派方法有2＋1＋1＝4种．故选C.
2．某演讲比赛候选人中高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名，从每个年级中各选1人参加市团委组织的演讲比赛，则不同的选法有( A )
A．60种B．45种
C．30种D．12种
解析：由分步乘法计数原理可得共有5×4×3＝60种不同的选法．故选A.
3．数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．下图是数独的一个简化版，由3行3列 9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有( A )
A．12种B．24种
C．72种D．216种
解析：先填第一行，有3×2×1＝6种不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其他单元格唯一确定．根据分步乘法计数原理可知，共有6×2＝12种不同的填法．故选A.
4．已知x∈{1,2,3,4}，y∈{5,6,7,8}，则xy可表示不同的值的个数为( D )
A．2B．4
C．8D．15
解析：x∈{1,2,3,4}，y∈{5,6,7,8}，x有4种选法，y有4种选法，共有4×4＝16种，其中3×8＝4×6，故xy可表示不同的值的个数为16－1＝15.故选D.
5．一辆单向行驶的汽车，满载为25人，全程共设14个车站，途中每个车站均可上下乘客，由不同的起点到达不同的终点的乘客应购买不同的车票，在一次单程行驶中，车上最多卖出不同的车票的种数是( C )
A．63B．65
C．67D．69
解析：车上应准备每个车站到达它后面每一个车站的车票，所以共应准备13＋12＋11＋10＋9＋…＋2＋1＝91种，但不可能在一次单程行驶中都卖得出去，以前面7个车站中的每一个作为起点，后面7个车站作为终点，应当有7×7＝49种，但持有这种票的乘客都要通过7号车站与8号车站之间，但由于汽车满员为25人，所以这种车票至少会有49－25＝24种卖不出去，所以车上最多卖出不同的车票的种数是91－24＝67.故选C.
6．从集合{1,2,3 ，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( D )
A．3B．4
C．6D．8
解析：当公比为2时，等比数列可为1、2、4,2、4、8.当公比为3时，等比数列可为1、3、9.当公比为eq \f(3,2)时，等比数列可为4、6、9.同时，4、2、1,8、4、2,9、3、1和9、6、4也是等比数列，共8个．故选D.
7．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的半身裙，另有2套不同样式的连衣裙．若“五一”节需选择1套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择方式有( B )
A．24种B．14种
C．10种D．9种
解析：由题意可得，李芳不同的选择方式有4×3＋2＝14种．故选B.
8．(多选题)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是( BD )
A.此人有4种选课方式
B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第2节
D．自习可安排在4节课中的任一节
解析：由于生物在B层，只有第2,3节有，故分两类：若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选，故有2×2＝4种(此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节)；若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．根据分类加法计数原理可得，选课方式有4＋1＝5种．综上，自习可安排在4节课中的任一节．故选BD.
二、填空题
9．用0,1,2,3,4,5,6七个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是720；可以组成有重复数字的四位数的个数为2_058.
解析：组成无重复数字四位数时，千位的数字可以选择的种数为6，百位，十位，个位可以选的种数分别为6,5,4，
则可组成无重复数字四位数的种数为6×6×5×4＝720；
可组成有重复数字的四位数的种数为6×7×7×7＝2 058.
10.现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同部分)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方案有96种．(用数字作答)
解析：根据题意，假设正五角星的区域依次为A、B、C、D、E、F，如图所示：
要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步乘法计数原理，先对A区域涂色有3种方法，B、C、D、E、F这5个区域都与A相邻，每个区域都有2种涂色方法，所以共有3×2×2×2×2×2＝96种涂色方案．
11．把编号为i(i＝1,2,3,4,5)的五个小球随机放入编号为j(j＝1,2,3,4,5)的五个盒子，每盒一个小球，若满足|i－j|≤2，则不同的放法共有31种．
解析：|i－j|>2的所有可能包括：i＝1，j＝4,5；i＝2，j＝5；i＝4，j＝1；i＝5，j＝1,2.
(1)盒1放球1时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列：2345,3245,4235,2354,3254,4253,2435,3425,4325,2453,2534,3524,4523,2543(其中球5不能放在盒2，不用列举．而3452,4352,3542,4532满足|i－j|>2，应舍去)共14种；
(2)盒1放球2时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列：1345,3145,4135,1354,3154,4153,1435,1453,1534,1543(其中球5不能放在盒2，不用列举．而3415,4315,3451,4351,3514,4513,3541,4531满足|i－j|>2，应舍去)共10种；
(3)盒1放球3时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列：1245,2145,4125,1254,2154,1425,1524，(其中球5不能放在盒2，不用列举．而4152,2415,4215,1452,2451,4251,2514,4512,1542,2541,4521满足|i－j|>2，应舍去)共7种，
所以共有14＋10＋7＝31种．
三、解答题
12．我们把个位数比十位数小的两位数称为“和谐两位数”．则1,2,3,4四个数组成的两位数中，“和谐两位数”有多少个？
解：当十位数取4时，个位可以是1,2,3，共三种情况；
当十位数取3时，个位可以是1,2，共两种情况；
当十位数取2时，个位可以是1，共一种情况；
当十位数取1时，个位不存在．
所以“和谐两位数”有6个．
13．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法；
从A型血的人中选1人有7种不同的选法；
从B型血的人中选1人有9种不同的选法；
从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以采用分类加法计数原理．
故不同的选法有28＋7＋9＋3＝47种．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才算完成，所以采用分步乘法计数原理．
故不同的选法有28×7×9×3＝5 292种．
14．(多选题)以下命题正确的是( BD )
A．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有64种
B．现有不同的红球7个，不同的白球5个．若从中任取两个不同颜色的球，则不同的取法有35种
C．已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为8
D．甲、乙两人做从装有14个玻璃球的盒子中抓取玻璃球的游戏，规定：甲、乙两人轮流抓取，每次至少抓取1个，最多抓取4个，最后一次取完者获胜．若甲先抓取，为确保甲一定获胜，则甲第一次应该抓取的玻璃球个数为4
解析：对于A，每位学生都有3种选择，则4位学生的报名方式共有34＝81种．故A错误．对于B，依题意，第一步，取红球，有7种不同取法；第二步，取白球，有5种不同取法．根据分步乘法计数原理可知，共有7×5＝35种不同的取法．故B正确．对于C，因为从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的乘法计算，且经检验计算结果均不相同，所以x·y可表示不同的值有9个．故C错误．对于D，因为每人每次至少抓取1个，最多抓取4个，当两人所拿的和为5时，有14÷(1＋4)＝2……4，所以甲第一次应该抓取4个玻璃球，后面只要满足甲拿的球与乙拿的球和为5，则甲一定获胜，故D正确．
15．三名参加过抗击新冠肺炎疫情的医务人员在疫情结束之后商定再次前往湖北的武汉、宜昌、黄冈3个城市，如果三人均等可能的前往上述3个城市之一，那么他们恰好选择同一个城市的概率是eq \f(1,9).
解析：三人前往3个城市的所有基本事件个数为3×3×3＝27，三人去了同一个城市的基本事件个数为3，所以他们恰好选择同一个城市的概率是P＝eq \f(3,27)＝eq \f(1,9).
16．用1,2,3,4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}．
(1)这个数列共有多少项？
(2)若an＝341，求n.
解：(1)由题意知这个数列的项数就是由1,2,3,4四个数字组成的可有重复数字的三位数的个数．
由于每个数位上的数都有4种取法，由分步乘法计数原理，得满足条件的三位数有4×4×4＝64个．即数列{an}共有64项．
(2)把比341小的数分为两类：
第1类，百位上的数是1或2，十位和个位上的数分别可以是1,2,3,4中的任一个，这样的数的个数为2×4×4＝32.
第2类，百位上的数是3，十位上的数可以是1,2,3中的任一个，个位上的数可以是1,2,3,4中的任一个，这样的数的个数为3×4＝12.
所以比341小的数的个数为32＋12＝44.所以n＝44＋1＝45.
第1节
第2节
第3节
第4节
地理1班
化学A层3班
地理2班
化学A层4班
生物A层1班
化学B层2班
生物B层2班
历史B层1班
物理A层1班
生物A层3班
物理A层2班
生物A层4班
物理B层2班
生物B层1班
物理B层1班
物理A层4班
政治1班
物理A层3班
政治2班
政治3班
第1节
第2节
第3节
第4节
地理1班
化学A层3班
地理2班
化学A层4班
生物A层1班
化学B层2班
生物B层2班
历史B层1班
物理A层1班
生物A层3班
物理A层2班
生物A层4班
物理B层2班
生物B层1班
物理B层1班
物理A层4班
政治1班
物理A层3班
政治2班
政治3班