2025高考数学一轮复习-7.3.1-组合与组合数公式-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.3.1-组合与组合数公式-专项训练【含解析】，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知Ceq \\al(2x,17)＝Ceq \\al(x＋2,17)(x∈N＋)，则x＝( )
A．2B．5
C．2或5D．2或6
2．如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为( )
A．530B．502
C．503D．505
3．若3Aeq \\al(3,n)－6Aeq \\al(2,n)＝4Ceq \\al(2,n＋1)，则n＝( )
A．5B．8
C．7D．6
4．6名同学参加4项社会实践活动，要求每项活动至少1人，则不同的参加方式共有( )
A．2 640种B．1 560种
C．1 080种D．480种
5．当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为( )
A．86B．64
C．42D．30
6．若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是( )
A．Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,85)B．Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,89)
C．Ceq \\al(3,90)－Ceq \\al(3,85)D．Ceq \\al(3,90)－Ceq \\al(2,85)
7．埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象．在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2＝285714,142857×3＝428571,142857×4＝571428，…，所以这组数字又叫“走马灯数”．该组数字还有如下发现：142＋857＝999,428＋571＝999,285＋714＝999，…，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x，剩下的三个数字构成另一个三位数y，若x＋y＝999，则所有可能的有序实数组(x，y)的个数为( )
A．48B．60
C．96D．120
8．(多选题)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的有( )
A．若任意选择三门课程，选法总数为Aeq \\al(3,7)
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为Ceq \\al(3,7)－Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)－Ceq \\al(1,5)
二、填空题
9．若Ceq \\al(3n＋6,18)＝Ceq \\al(4n－2,18)，则Ceq \\al(n,8)＝ .
10．某公司有A，B，C，D，E五幢独立的大楼，每两幢大楼的顶楼之间没有连接的天桥，现公司打算在这五幢楼的顶楼之间共建造3座天桥(每两幢楼的顶楼之间至多建造一座天桥)，要使A楼的人员能够通过天桥走到B楼，则3座天桥的建造方法共有 种．
11．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有2个空位相邻的不同坐法有 种．
三、解答题
12．如图，一个正方形花圃被分成5份.
(1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？
(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？
13．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M.
(1)求集合M中不含有数字0的元素的个数；
(2)求集合M中含有数字0的元素的个数；
(3)从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率．
14．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60种B．63种
C．65种D．66种
15．高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选3个科目构成“选考科目组合”参加高考．已知某班37名学生关于选考科目的统计结果如下：
下面给出关于该班学生选考科目的四个结论：①若a＝19，则b＝11；②选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生一定不超过9人；③在选考化学的所有学生中，最多出现10种不同的选考科目组合；④选考科目组合为“生物＋历史＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的．其中所有正确结论的序号是 .
16．在①每个盒子都不空，②恰有一个空盒子，③恰有两个空盒子，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，问题：将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，若________，求放法的种数？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2025高考数学一轮复习-组合与组合数公式-专项训练【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．已知Ceq \\al(2x,17)＝Ceq \\al(x＋2,17)(x∈N＋)，则x＝( C )
A．2B．5
C．2或5D．2或6
解析：由Ceq \\al(2x,17)＝Ceq \\al(x＋2,17)(x∈N＋)，可得2x＝x＋2或2x＋x＋2＝17，解得x＝2或5.经检验，符合题意．故选C.
2．如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为( B )
A．530B．502
C．503D．505
解析：由题意，“上升”的正整数包含：两位数有Ceq \\al(2,9)个，三位数有Ceq \\al(3,9)个……九位数有Ceq \\al(9,9)个，所有“上升”的正整数个数为Ceq \\al(2,9)＋Ceq \\al(3,9)＋Ceq \\al(4,9)＋…＋Ceq \\al(9,9)＝29－Ceq \\al(0,9)－Ceq \\al(1,9)＝502，故选B.
3．若3Aeq \\al(3,n)－6Aeq \\al(2,n)＝4Ceq \\al(2,n＋1)，则n＝( A )
A．5B．8
C．7D．6
解析：∵3Aeq \\al(3,n)－6Aeq \\al(2,n)＝4Ceq \\al(2,n＋1)，∴3n(n－1)(n－2)－6n(n－1)＝4×eq \f(n＋1n,2)，即3(n－1)(n－2)－6(n－1)＝2n＋2，解得n＝5或n＝eq \f(2,3)(舍去)．故选A.
4．6名同学参加4项社会实践活动，要求每项活动至少1人，则不同的参加方式共有( B )
A．2 640种B．1 560种
C．1 080种D．480种
解析：6名同学参加4项社会实践活动，要求每项活动至少1人，则有1项社会实践活动有3人参加或者有2项社会实践活动有2人参加．先把6人分成4组，有Ceq \\al(3,6)＋eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4),2)＝65种分法，再把这4组人分配到4项社会实践活动中，有65Aeq \\al(4,4)＝1 560种分配方式，故选B.
5．当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为( D )
A．86B．64
C．42D．30
解析：①当两个地区各分2人另一个地区分1人时，总数有Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(3,3)＝12种；②当两个地区各分1人另一个地区分3人时，总数有Ceq \\al(1,3)·Aeq \\al(3,3)＝18种．故满足条件的分法共有12＋18＝30种．故选D.
6．若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是( C )
A．Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,85)B．Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,89)
C．Ceq \\al(3,90)－Ceq \\al(3,85)D．Ceq \\al(3,90)－Ceq \\al(2,85)
解析：根据题意，用间接法分析：从90件产品中任取3件，有Ceq \\al(3,90)种取法，其中没有次品，即全部为正品的取法有Ceq \\al(3,85)种取法，则至少有一件是次品的取法有Ceq \\al(3,90)－Ceq \\al(3,85)种．故选C.
7．埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象．在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2＝285714,142857×3＝428571,142857×4＝571428，…，所以这组数字又叫“走马灯数”．该组数字还有如下发现：142＋857＝999,428＋571＝999,285＋714＝999，…，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x，剩下的三个数字构成另一个三位数y，若x＋y＝999，则所有可能的有序实数组(x，y)的个数为( A )
A．48B．60
C．96D．120
解析：在1,4,2,8,5,7这六个数中，1＋8＝9,2＋7＝9,4＋5＝9，共3组，要使六个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，剩下的三个数字构成另一个三位数y，且x＋y＝999，则从每组数字中抽取一个构成x，所以x共有m＝Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,2)＝48种情况，x的每个数字对应的同组数字按顺序构成对应的y，故所有可能的有序实数组(x，y)的个数也为48.故选A.
8．(多选题)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的有( ABD )
A．若任意选择三门课程，选法总数为Aeq \\al(3,7)
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为Ceq \\al(3,7)－Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)－Ceq \\al(1,5)
解析：若任意选择三门课程，选法总数为Ceq \\al(3,7)，故A错误；若物理和化学至少选一门，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)，故B错误；若物理和历史不能同时选，选法总数为Ceq \\al(3,7)－Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)，故C正确；若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)－Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)，故D错误．故选ABD.
二、填空题
9．若Ceq \\al(3n＋6,18)＝Ceq \\al(4n－2,18)，则Ceq \\al(n,8)＝28.
解析：由Ceq \\al(3n＋6,18)＝Ceq \\al(4n－2,18)，得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，解得n＝8(舍去)或n＝2，Ceq \\al(2,8)＝28.
10．某公司有A，B，C，D，E五幢独立的大楼，每两幢大楼的顶楼之间没有连接的天桥，现公司打算在这五幢楼的顶楼之间共建造3座天桥(每两幢楼的顶楼之间至多建造一座天桥)，要使A楼的人员能够通过天桥走到B楼，则3座天桥的建造方法共有63种．
解析：①A直接连B，还剩两座天桥未连，
有eq \f(C\\al(2,5)－1C\\al(2,5)－2,2)＝36种；
②A通过一幢楼作为中介连B，可选中介有C、D、E三种，共有3×(2＋3＋2)＝21种；
③A通过两幢楼作为中介连B，可选中介有CD、CE、DE三种，其中CD又有A－C－D－B，A－D－C－B两种，即共有3×2＝6种．
综上所述，一共有36＋21＋6＝63种．
11．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有2个空位相邻的不同坐法有72种．
解析：当相邻两个空位在两端时，必有一个人坐在空位旁边，余下两个人坐三个空位中的两个，则有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,3)种坐法；当相邻两个空位不在两端时，有三种情况，必有两人坐在空位旁边，余下一人坐两个空位中的一个，则有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(1,2)种坐法，所以共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,3)＋Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(1,2)＝72种不同的坐法．
三、解答题
12．如图，一个正方形花圃被分成5份.
(1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？
(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？
解：(1)先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C部分种植进行分类：
①C若与B相同，D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×1×2×2＝48种种植方法；
②C若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×2×1×2＝48种种植方法．综上，共有96种种植方法．
(2)将7个盆栽分成5组，有2种分法：
①若分成2－2－1－1－1的5组，有eq \f(C\\al(2,7)C\\al(2,5),A\\al(2,2))种分法；
②若分成3－1－1－1－1的5组，有Ceq \\al(3,7)种分法；将分好的5组全排列，对应5个部分，
则一共有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C\\al(2,7)C\\al(2,5),A\\al(2,2))＋C\\al(3,7)))·Aeq \\al(5,5)＝16 800种放法．
13．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M.
(1)求集合M中不含有数字0的元素的个数；
(2)求集合M中含有数字0的元素的个数；
(3)从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率．
解：(1)M中不含有数字0的元素：从1、3、5、7中任取2个数字有Ceq \\al(2,4)种取法，从2、4、6、8中任取2个数字有Ceq \\al(2,4)种取法，将前两步所得的四个数字全排列有Aeq \\al(4,4)个四位数，所以M中共有不含有数字0的元素Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(4,4)＝864个．
(2)M中含有数字0的元素：从1、3、5、7中任取2个数字有Ceq \\al(2,4)种取法，从2、4、6、8中任取1个数字有Ceq \\al(1,4)种取法，将前两步所得的四个数字全排列，排除0在第一位的元素有Aeq \\al(4,4)－Aeq \\al(3,3)个四位数，所以M中共有含有数字0的元素Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,4)(Aeq \\al(4,4)－Aeq \\al(3,3))＝432个．
(3)由(1)(2)知：M中共有1 296个元素，M中能被5整除的元素，即个位为0或5的元素，个位为0的元素有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,4)Aeq \\al(3,3)＝144个，个位为5的元素有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)
＝156个，所以M中能被5整除的元素有300个，则随机选择一个元素能被5整除的概率是eq \f(25,108).
14．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( D )
A．60种B．63种
C．65种D．66种
解析：满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有Ceq \\al(4,5)＝5种取法；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,4)＝60种取法；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66种取法．故选D.
15．高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选3个科目构成“选考科目组合”参加高考．已知某班37名学生关于选考科目的统计结果如下：
下面给出关于该班学生选考科目的四个结论：①若a＝19，则b＝11；②选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生一定不超过9人；③在选考化学的所有学生中，最多出现10种不同的选考科目组合；④选考科目组合为“生物＋历史＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的．其中所有正确结论的序号是①②③.
解析：①所有学生选的科目总数为37×3＝111，则a＋b＝111－24－28－14－15＝30，若a＝19，则b＝11，故①对；②选化学的学生有28人，37－28＝9人，则选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生一定不超过9人，故②对；③在选考化学的所有学生中，学生还须选另外两科，则从五种里面选两种，共有Ceq \\al(2,5)＝10种选法，最多出现10种不同的选考科目组合，故③对；④因为地理、政治人数不确定，选考科目组合为“生物＋历史＋政治”的学生人数不一定比选考科目组合为“生物＋历史＋地理”的学生人数多，故④错．
16．在①每个盒子都不空，②恰有一个空盒子，③恰有两个空盒子，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，问题：将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，若________，求放法的种数？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：若选①，先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有Ceq \\al(3,5)＝10种插法．
若选②，恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|○|○○○|○○|，有Ceq \\al(2,5)种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|○|○○○||○○|，有Ceq \\al(1,4)种插法，故共有Ceq \\al(2,5)·Ceq \\al(1,4)＝40种插法．
若选③，恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有Ceq \\al(1,5)种插法，如|○○|○○○○|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．
①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，
如||○○||○○○○|，有Ceq \\al(2,3)种插法．
②将两块板与前面三块板之一并放，如|○○|||○○○○|，有Ceq \\al(1,3)种插法．故共有Ceq \\al(1,5)·(Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(1,3))＝30种不同的插法．
选考科目名称
物理
化学
生物
历史
地理
政治
选考该科人数
24
28
14
15
a
b
选考科目名称
物理
化学
生物
历史
地理
政治
选考该科人数
24
28
14
15
a
b