2025高考数学一轮复习-7.3.2-组合数的性质及应用-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.3.2-组合数的性质及应用-专项训练【含解析】，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数相乘，则积的不同结果共有( )
A．6种B．9种
C．10种D．15种
2．从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是( )
A．12B．18
C．35D．36
3．某新农村社区共包括4个自然村，且这些自然村分布零散，没有任何三个自然村在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( )
A．4B．6
C．8D．12
4．现从2名男班长和2名女班长中选出两名同学参加表彰活动，则选出的两名都是男班长的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
5．有两个盒子甲和乙，甲中有3个不同蓝球，乙中有2个不同红球，从甲和乙中分别取1个球，共有的组合的数量为( )
A．6B．5
C．9D．8
6．素数也叫质数，指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，不能被其他自然数整除的数．在不超过10的素数中任取两个不同的数，则取出的两个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,6)
7．从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有( )
A．6种B．9种
C．10种D．15种
8．(多选题)下列问题中属于组合问题的是( )
A．从甲、乙、丙、丁四名学生中选2名去参加“防疫”宣讲活动，有多少种不同的选法
B．从四名医生中选两名参加“中国医师节”庆祝活动，有多少种不同的选法
C．从甲、乙、丙、丁四名武警教官中选2名对高一年级一班和二班进行军训指导，有多少种不同的安排方法
D．a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果
二、填空题
9．从0,1，eq \r(2)，eq \f(π,2)，eq \r(3)，2这六个数字中，任取两个数字作为直线y＝xtan α＋b的倾斜角和截距，可组成 条平行于x轴的直线．
10．从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数，则其和为奇数的共有 种．
三、解答题
11．某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)列出选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果．
12．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？
13．(多选题)下列问题属于组合问题的是( )
A．从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作
B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式
D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
14．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1、b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．用球的标号列出所有可能摸出的结果．
15．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少种可能结果？
2025高考数学一轮复习-组合数的性质及应用-专项训练【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数相乘，则积的不同结果共有( C )
A．6种B．9种
C．10种D．15种
解析：从1,2,3,4,5中任取两个不同的数相乘，其结果有2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，共10种结果．
2．从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是( B )
A．12B．18
C．35D．36
解析：先从3名男生A，B，C中选出2人，有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，再从4名女生D，E，F，G中选出2人，有(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)共6种，所以共有3×6＝18种．故选B.
3．某新农村社区共包括4个自然村，且这些自然村分布零散，没有任何三个自然村在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( B )
A．4B．6
C．8D．12
解析：用A，B，C，D表示4个自然村，则共需建公路的条数可看作从4个不同的元素中取出2个元素的组合个数，即AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6条．故选B.
4．现从2名男班长和2名女班长中选出两名同学参加表彰活动，则选出的两名都是男班长的概率为( D )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
解析：设2名男班长为A，B,2名女班长为C，D，从中选出两名同学的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)这6种情况，则选出的两名都是男班长为事件(A，B)，就有一种情况，所以选出两名都是男班长概率为eq \f(1,6).故选D.
5．有两个盒子甲和乙，甲中有3个不同蓝球，乙中有2个不同红球，从甲和乙中分别取1个球，共有的组合的数量为( A )
A．6B．5
C．9D．8
解析：设甲有A，B，C 3个蓝球，乙有1,2两个红球，共有A1，A2，B1，B2，C1，C2 6种组合，故选A.
6．素数也叫质数，指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，不能被其他自然数整除的数．在不超过10的素数中任取两个不同的数，则取出的两个数之差的绝对值为2的概率是( A )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,6)
解析：不超过10的素数有2,3,5,7共4个，从中取出2个不同的数有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(3,5)，(3,7)，(5,7)，共6种，其中取出的两个数之差的绝对值为2的有(3,5)，(5,7)，共2种，所以所求的概率是eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).故选A.
7．从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有( C )
A．6种B．9种
C．10种D．15种
解析：在这六个数字中任取三个不同的数求和，则和的最小值为1＋2＋3＝6，和的最大值为4＋5＋6＝15，所以当从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数相加时，则不同结果有10种．故选C.
8．(多选题)下列问题中属于组合问题的是( AB )
A．从甲、乙、丙、丁四名学生中选2名去参加“防疫”宣讲活动，有多少种不同的选法
B．从四名医生中选两名参加“中国医师节”庆祝活动，有多少种不同的选法
C．从甲、乙、丙、丁四名武警教官中选2名对高一年级一班和二班进行军训指导，有多少种不同的安排方法
D．a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果
解析：A.从甲、乙、丙、丁四名学生中选2名去参加“防疫”宣讲活动，没有顺序，是组合问题；B.从四名医生中选两名参加“中国医师节”庆祝活动，没有顺序，是组合问题；C.从甲、乙、丙、丁四名武警教官中选2名对高一年级一班和二班进行军训指导，班级有顺序，是排列问题；D.a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，冠亚军是有顺序的，是排列问题．故选AB.
二、填空题
9．从0,1，eq \r(2)，eq \f(π,2)，eq \r(3)，2这六个数字中，任取两个数字作为直线y＝xtan α＋b的倾斜角和截距，可组成5条平行于x轴的直线．
解析：要使得直线与x轴平行，则倾斜角为0，截距在0以外的五个数字均可．若用(α，b)表示每一个组合的取值情况，则所有的组合为(0,1)，(0，eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，(0，eq \r(3))，(0,2)，共可组成5条平行于x轴的直线．
10．从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数，则其和为奇数的共有4种．
解析：从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10种情况，而和为奇数有(1,2,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,5)共4种情况．
三、解答题
11．某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)列出选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果．
解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
12．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？
解：从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，用列举法可得所有的组合如下：
{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,6}，{1,3,4} ，{1,3,5}，{1,3,6}，{1,4,5}，{1,4,6}，{1,5,6}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,6}，{2,4,5}，{2,4,6}，{2,5,6}，{3,4,5}，{3,4,6}，{3,5,6}，{4,5,6}，共20个．
13．(多选题)下列问题属于组合问题的是( AC )
A．从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作
B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式
D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
解析：选项A, 从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作，只需选出2人即可，无排序要求，故是组合问题；选项B, 从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，选出3个不同数字，还需对3个数字进行排序成三位数，故是排列问题；选项C, 从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式， 只需选出3人即可，无排序要求，故是组合问题；选项D, 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，先从全班选出3人，再安排其职务，即需排序，故是排列问题．所以B，D项均为排列问题，A，C项是组合问题．故选AC.
14．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1、b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．用球的标号列出所有可能摸出的结果．
解：所有可能结果为(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)，共计12种结果．
15．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少种可能结果？
解：从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其所有可能的结果有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30