2025高考数学一轮复习-8.2.4.2-超几何分布的综合问题-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.2.4.2-超几何分布的综合问题-专项训练【含解析】，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是eq \f(3,10)的事件为( )
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
2．如图，我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为( )
A.eq \f(5,7) B.eq \f(4,7)
C.eq \f(2,7) D.eq \f(1,7)
3．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好生”的人数，则eq \f(C\\al(3,5)C\\al(3,7),C\\al(6,12))表示的概率是( )
A．P(X＝2) B．P(X＝3)
C．P(X≤2) D．P(X≤3)
4．一盒中有7个乒乓球．其中5个未使用过，2个已使用过，现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论错误的是( )
A．X的所有可能取值是3,4,5
B．X最有可能的取值是4
C．X等于3的概率为eq \f(4,7)
D．X的数学期望是eq \f(29,7)
5．学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二(1)班的候选人的人数，则E(X)＝( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(8,9)
C.eq \f(3,8) D.eq \f(4,5)
6．一袋中装有5个红球和3个黑球(除颜色外无区别)，任取3球，记其中黑球数为X，则E(X)为( )
A.eq \f(9,8) B.eq \f(7,8)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(62,56)
7．10件产品中有2件次品，现任取n件，若2件次品全部被抽中的概率超过0.4，则n的最小值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
8．(多选题)一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是( )
A．取出的最大号码X服从超几何分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为eq \f(1,14)
D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为eq \f(1,14)
二、填空题
9．把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X的期望为 .
10．在某年级的联欢会上设计了一个抽奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．则中奖的概率大约是 .(保留一位小数)
11．一袋中有除颜色不同其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个，有黄球的概率是eq \f(9,10)，若ξ表示取到黄球的个数，则E(ξ)＝ .
三、解答题
12．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
13．某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．
(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
14．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于eq \f(C\\al(1,22)C\\al(1,4)＋C\\al(2,22),C\\al(2,26))的是( )
A．P(0eq \f(3,10)，故D选项不正确．故选C.
2．如图，我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为( A )
A.eq \f(5,7) B.eq \f(4,7)
C.eq \f(2,7) D.eq \f(1,7)
解析：由题，则P＝1－eq \f(C\\al(3,5),C\\al(3,7))＝1－eq \f(2,7)＝eq \f(5,7).故选A.
3．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好生”的人数，则eq \f(C\\al(3,5)C\\al(3,7),C\\al(6,12))表示的概率是( B )
A．P(X＝2) B．P(X＝3)
C．P(X≤2) D．P(X≤3)
解析：6人中“三好生”的人数X服从超几何分布，其中参数为N＝12，M＝5，n＝6，所以P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,5)C\\al(3,7),C\\al(6,12)).
4．一盒中有7个乒乓球．其中5个未使用过，2个已使用过，现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论错误的是( C )
A．X的所有可能取值是3,4,5
B．X最有可能的取值是4
C．X等于3的概率为eq \f(4,7)
D．X的数学期望是eq \f(29,7)
解析：记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B，任取3个球的所有可能是：1A2B,2A1B,3A；A使用后成为B，故X的所有可能取值是3,4,5；P(X＝3)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,2),C\\al(3,7))＝eq \f(1,7)，P(X＝4)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(1,2),C\\al(3,7))＝eq \f(4,7)，P(X＝5)＝eq \f(C\\al(3,5),C\\al(3,7))＝eq \f(2,7)，所以X最有可能的取值是4；E(X)＝3×eq \f(1,7)＋4×eq \f(4,7)＋5×eq \f(2,7)＝eq \f(29,7).故选C.
5．学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二(1)班的候选人的人数，则E(X)＝( D )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(8,9)
C.eq \f(3,8) D.eq \f(4,5)
解析：方法一(公式法)：由题意得，随机变量X服从超几何分布，则E(X)＝eq \f(nM,N)＝2×eq \f(4,10)＝eq \f(4,5).
方法二：X服从超几何分布．随机变量X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,6),C\\al(2,10))＝eq \f(1,3)， P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(1,4),C\\al(2,10))＝eq \f(8,15)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(0,6)C\\al(2,4),C\\al(2,10))＝eq \f(2,15).分布列如下：
∴E(X)＝1×eq \f(8,15)＋2×eq \f(2,15)＝eq \f(4,5).故选D.
6．一袋中装有5个红球和3个黑球(除颜色外无区别)，任取3球，记其中黑球数为X，则E(X)为( A )
A.eq \f(9,8) B.eq \f(7,8)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(62,56)
解析：由题意可知，随机变量X的可能取值有0,1,2,3，则P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,5),C\\al(3,8))＝eq \f(5,28)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(1,3),C\\al(3,8))＝eq \f(15,28)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,3),C\\al(3,8))＝eq \f(15,56)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,8))＝eq \f(1,56).因此，随机变量X的数学期望为E(X)＝0×eq \f(5,28)＋1×eq \f(15,28)＋2×eq \f(15,56)＋3×eq \f(1,56)＝eq \f(9,8).故选A.
7．10件产品中有2件次品，现任取n件，若2件次品全部被抽中的概率超过0.4，则n的最小值为( B )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：根据题意得P＝eq \f(C\\al(n－2,8)C\\al(2,2),C\\al(n,10))>0.4，
所以eq \f(8！,n－2！10－n！)>0.4×eq \f(10！,n！10－n！)，
所以1>0.4×eq \f(10×9,n×n－1)，所以n2－n－36>0，
即n>eq \f(1＋\r(145),2)，所以n的最小值为7.故选B.
8．(多选题)一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是( BD )
A．取出的最大号码X服从超几何分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为eq \f(1,14)
D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为eq \f(1,14)
解析：一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，对于A，取出的最大号码X不服从超几何分布，错误；对于B，取出的黑球个数Y服从超几何分布，正确；对于C，取出2个白球的概率为P＝eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4),C\\al(4,10))＝eq \f(3,7)，错误；对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，∴总得分最大的概率为P＝eq \f(C\\al(4,6),C\\al(4,10))＝eq \f(1,14)，正确．故选BD.
二、填空题
9．把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X的期望为eq \f(21,10).
解析：以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，一共能画出Ceq \\al(3,5)＝10个三角形，其中钝角三角形有7个，所以X＝0,1,2,3，P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,10))＝eq \f(1,120)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,7)C\\al(2,3),C\\al(3,10))＝eq \f(7,40)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,7)C\\al(1,3),C\\al(3,10))＝eq \f(21,40)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,7),C\\al(3,10))＝eq \f(7,24)，所以E(X)＝0×eq \f(1,120)＋1×eq \f(7,40)＋2×eq \f(21,40)＋3×eq \f(7,24)＝eq \f(21,10).
10．在某年级的联欢会上设计了一个抽奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．则中奖的概率大约是0.2.(保留一位小数)
解析：设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5.于是中奖的概率为P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝eq \f(C\\al(3,10)C\\al(5－3,30－10),C\\al(5,30))＋eq \f(C\\al(4,10)C\\al(5－4,30－10),C\\al(5,30))＋eq \f(C\\al(5,10)C\\al(5－5,30－10),C\\al(5,30))≈0.2.
11．一袋中有除颜色不同其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个，有黄球的概率是eq \f(9,10)，若ξ表示取到黄球的个数，则E(ξ)＝eq \f(6,5).
解析：一袋中有除颜色不同其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个，样本点总数n＝Ceq \\al(3,5)＝10，其中有黄球包含的样本点个数m＝Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,3)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,3)＝9.∴有黄球的概率是P＝eq \f(m,n)＝eq \f(9,10).ξ表示取到黄球的个数，则ξ的所有可能取值为0,1,2，
P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,5))＝eq \f(1,10)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
∴E(ξ)＝0×eq \f(1,10)＋1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＝eq \f(6,5).
三、解答题
12．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
解：(1)由题知，X可能取值为5,6,7,8，
P(X＝5)＝eq \f(C\\al(3,3)·C\\al(1,4),C\\al(4,7))＝eq \f(4,35)，P(X＝6)＝eq \f(C\\al(2,3)·C\\al(2,4),C\\al(4,7))＝eq \f(18,35)，
P(X＝7)＝eq \f(C\\al(1,3)·C\\al(3,4),C\\al(4,7))＝eq \f(12,35)，P(X＝8)＝eq \f(C\\al(4,4),C\\al(4,7))＝eq \f(1,35).
故分布列为
(2)P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝eq \f(12,35)＋eq \f(1,35)＝eq \f(13,35).故得分大于6分的概率为eq \f(13,35).
13．某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．
(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
解：(1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得
P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),C\\al(3,6))＝eq \f(3,5)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,2),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5).
∴ξ的分布列为
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，则
P(C)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,6))＝eq \f(4,20)＝eq \f(1,5).
∴所求概率为P(eq \x\t(C))＝1－P(C)＝1－eq \f(1,5)＝eq \f(4,5).
(3)P(B)＝eq \f(C\\al(2,5),C\\al(3,6))＝eq \f(10,20)＝eq \f(1,2)；P(B|A)＝eq \f(C\\al(1,4),C\\al(2,5))＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).
14．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于eq \f(C\\al(1,22)C\\al(1,4)＋C\\al(2,22),C\\al(2,26))的是( B )
A．P(0