2025高考数学一轮复习-10.5-古典概型、概率的基本性质-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-10.5-古典概型、概率的基本性质-专项训练【含解析】，共9页。试卷主要包含了04，故选B等内容，欢迎下载使用。


A．eq \f(1,5) B．eq \f(7,10)
C．eq \f(4,5)D．eq \f(9,10)
2．如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”(如132)，现从集合{1,2,3,4}中任取3个互不相同的数字，组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(1,12)
C．eq \f(1,6)D．eq \f(1,3)
解
3．已知大于3的素数只分布在{6n－1}和{6n＋1}两数列中(其中n为非零自然数)．数列{6n－1}中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数；数列{6n＋1}中的合数叫阳性合数，其中的素数叫阳性素数．则从30以内的素数中任意取出两个，恰好是一个阴性素数、一个阳性素数的概率是( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,6)D．eq \f(3,4)
4．(多选)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：
则下列说法正确的是( )
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0．04
5．已知事件A，B互斥，且事件A发生的概率P(A)＝eq \f(1,5)，事件B发生的概率P(B)＝eq \f(1,3)，则事件A，B都不发生的概率是________．
6．小明在一个专用的邮票箱中，收藏了北京2022年冬奥会吉祥物和冬残奥会吉祥物纪念邮票一套2枚，冬奥会会徽和冬残奥会会徽纪念邮票一套2枚．现从这4枚邮票中随机抽取2枚，恰好有一张是“冰墩墩”(图案为大熊猫)的概率为________．
7．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，两数中至少有一个奇数的概率为________；以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部的概率为________．
8．A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层随机抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表(单位：小时)：
(1)试估计C班的学生人数；
(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．
9．《三十六计》是中华民族非物质文化遗产之一，是一部传习久远的兵法奇书．三十六计中，每六计为一套，共分为胜战计、敌战计、攻战计、混战计、并战计、败战计六套，合三十六个计策，如果从这36个计策中任取2个计策，则这2个计策都来自同一套的概率为( )
A．eq \f(1,21)B．eq \f(1,14)
C．eq \f(1,7)D．eq \f(1,42)
10．(多选)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是( )
A．P(B)＝eq \f(7,10)B．P(A∪B)＝eq \f(9,10)
C．P(A∩B)＝0D．P(A∪B)＝P(C)
11．已知方程eq \f(x2,a)＋eq \f(y2,b)＝1表示的曲线为C，任取a，b∈{1,2,3,4,5}，则曲线C表示焦距等于2的椭圆的概率等于________．
12．厦门国际马拉松赛是与北京国际马拉松赛齐名的中国著名赛事品牌，两者“一南一北”，形成春秋交替之势，为了备战2023年厦门马拉松赛，厦门市某“跑协”决定从9名协会会员中随机挑选3人参赛，则事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时参加，C与D不同时参加”发生的概率为________．
13．有一种击球比赛，把从裁判发球哨响开始到之后裁判第一哨响止，叫做一回合，每一回合中，发球队赢球后得分1分并在下一回合发球，另一队得零分，发球队输球后，比赛双方均得零分，下一回合由另一队发球，甲乙两球队正在进行这种击球比赛，从以往统计结果看，每一回合，甲乙两队输赢球的概率都相等．
(1)在连续三个回合中，第一回合由甲队发球，求甲队得1分的概率；
(2)比赛进入决胜局，两队得分均为25分．在接下来的比赛中，甲队第一回合发球，若甲乙两队某一队得分比对方得分多2分，则比赛结束，得分多的队获比赛胜利，求甲队在第四回合获得比赛胜利的概率．
2025高考数学一轮复习-10.5-古典概型、概率的基本性质-专项训练【解析版】
1．某种机器使用三年后即被淘汰，该机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个a元；在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个2a元．某人在购买该机器前，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如图所示的频数分布直方图．若以频率为概率，估计此人购机时购买20个备件，则在机器淘汰时备件有剩余的概率为( )
A．eq \f(1,5) B．eq \f(7,10)
C．eq \f(4,5)D．eq \f(9,10)
解析：B 由频数分布直方图可知，机器在三年使用期内更换的易损零件数小于20的频率为eq \f(6＋16＋24＋24,100)＝eq \f(7,10)，所以购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率约为eq \f(7,10)．故选B．
2．如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”(如132)，现从集合{1,2,3,4}中任取3个互不相同的数字，组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(1,12)
C．eq \f(1,6)D．eq \f(1,3)
解析：D 当十位上的数为4时，共有Aeq \\al(2,3)＝6个；当十位上的数为3时，共有Aeq \\al(2,2)＝2个，共8个．故P＝eq \f(8,A\\al(3,4))＝eq \f(8,24)＝eq \f(1,3)，故选D．
3．已知大于3的素数只分布在{6n－1}和{6n＋1}两数列中(其中n为非零自然数)．数列{6n－1}中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数；数列{6n＋1}中的合数叫阳性合数，其中的素数叫阳性素数．则从30以内的素数中任意取出两个，恰好是一个阴性素数、一个阳性素数的概率是( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,6)D．eq \f(3,4)
解析：B 30以内的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，其中阴性素数有5,11,17,23,29，共5个，阳性素数有7,13,19，共3个．因此，所求概率为P＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,3),C\\al(2,10))＝eq \f(1,3)．故选B．
4．(多选)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：
则下列说法正确的是( )
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0．04
解析：BD 对于选项A ，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B，线路一所需的平均时间为30×0．5＋40×0．2＋50×0．2＋60×0．1＝39分钟，线路二所需的平均时间为30×0．3＋40×0．5＋50×0．1＋60×0．1＝40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；对于选项C，线路一所需时间小于45分钟的概率为0．7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0．8，小张应该选线路二，所以选项C错误；对于选项D，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况，概率为0．2×0．1＋0．1×0．1＋0．1×0．1＝0．04，所以选项D正确．故选B、D．
5．已知事件A，B互斥，且事件A发生的概率P(A)＝eq \f(1,5)，事件B发生的概率P(B)＝eq \f(1,3)，则事件A，B都不发生的概率是________．
解析：因为事件A，B互斥，且P(A)＝eq \f(1,5)，P(B)＝eq \f(1,3)，则事件A，B至少一个发生的事件为A＋B，其概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(1,5)＋eq \f(1,3)＝eq \f(8,15)，事件A，B都不发生的事件是A＋B的对立事件，则其概率为1－P(A＋B)＝1－eq \f(8,15)＝eq \f(7,15)．所以事件A，B都不发生的概率是eq \f(7,15)．
答案：eq \f(7,15)
6．小明在一个专用的邮票箱中，收藏了北京2022年冬奥会吉祥物和冬残奥会吉祥物纪念邮票一套2枚，冬奥会会徽和冬残奥会会徽纪念邮票一套2枚．现从这4枚邮票中随机抽取2枚，恰好有一张是“冰墩墩”(图案为大熊猫)的概率为________．
解析：设冬奥会吉祥物和冬残奥会吉祥物纪念邮票一套2枚分别记为A(为“冰墩墩”)，B，冬奥会会徽和冬残奥会会徽纪念邮票一套2枚分别记为a，b，从这4枚邮票中随机抽取2枚的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(a，b)}，共6个样本点，其中恰好有一张是“冰墩墩”的样本点有(A，B)，(A，a)，(A，b)，共3个，故所求概率为eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)．
答案：eq \f(1,2)
7．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，两数中至少有一个奇数的概率为________；以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部的概率为________．
解析：将一颗骰子先后抛掷2次，共有62＝36个样本点，记事件A：两次向上的点数中至少有一个奇数，则事件eq \(A,\s\up6(－))所包含的样本点有：(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共9个，所以，P(A)＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1－eq \f(9,36)＝eq \f(3,4)；记事件B：点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部，则事件B所包含的样本点有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8个，故P(B)＝eq \f(8,36)＝eq \f(2,9)．
答案：eq \f(3,4) eq \f(2,9)
8．A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层随机抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表(单位：小时)：
(1)试估计C班的学生人数；
(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．
解：(1)由题意，得三个班共抽20个学生，其中C班抽8个，故抽样比k＝eq \f(20,100)＝eq \f(1,5)，故C班有学生8÷eq \f(1,5)＝40(人)．
(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5×8＝40(种)情况，而且这些情况是等可能的．
当甲的锻炼时间为6小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有2种情况；当甲的锻炼时间为6．5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为7小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为7．5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为8小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有4种情况．故该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P＝eq \f(2＋3＋3＋3＋4,40)＝eq \f(3,8)．
9．《三十六计》是中华民族非物质文化遗产之一，是一部传习久远的兵法奇书．三十六计中，每六计为一套，共分为胜战计、敌战计、攻战计、混战计、并战计、败战计六套，合三十六个计策，如果从这36个计策中任取2个计策，则这2个计策都来自同一套的概率为( )
A．eq \f(1,21)B．eq \f(1,14)
C．eq \f(1,7)D．eq \f(1,42)
解析：C 从36个计策中任取2个计策的样本空间中包含的样本点总数为Ceq \\al(2,36)＝630，所选2个计策都来自同一套包含的样本点个数为6Ceq \\al(2,6)＝90，则这2个计策都来自同一套的概率为P＝eq \f(90,630)＝eq \f(1,7)．故选C．
10．(多选)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是( )
A．P(B)＝eq \f(7,10)B．P(A∪B)＝eq \f(9,10)
C．P(A∩B)＝0D．P(A∪B)＝P(C)
解析：ABC 由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P(B)＝eq \f(7,10)，P(A)＝eq \f(2,10)，P(C)＝eq \f(1,10)，则P(A∪B)＝eq \f(9,10)，故A、B、C正确；故D错误．故选A、B、C．
11．已知方程eq \f(x2,a)＋eq \f(y2,b)＝1表示的曲线为C，任取a，b∈{1,2,3,4,5}，则曲线C表示焦距等于2的椭圆的概率等于________．
解析：所有可能的(a，b)的组数为5×5＝25，又因为焦距2c＝2，所以c＝1，所以a－b＝±1，则满足条件的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)，共8组，所以概率为P＝eq \f(8,25)．
答案：eq \f(8,25)
12．厦门国际马拉松赛是与北京国际马拉松赛齐名的中国著名赛事品牌，两者“一南一北”，形成春秋交替之势，为了备战2023年厦门马拉松赛，厦门市某“跑协”决定从9名协会会员中随机挑选3人参赛，则事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时参加，C与D不同时参加”发生的概率为________．
解析：从9名协会会员中随机挑选3人参赛，所包含的总的样本点共有Ceq \\al(3,9)＝84个；若A，B，C，D这4人中只参加一人，则需从剩下的5名会员中再选2人，所以对应的样本点有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,5)＝40个；若A，B，C，D这4人中参加两人，则需从剩下的5名会员中再选1人，所以对应的样本点有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,5)＝20个；因此事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时参加，C与D不同时参加”发生的概率为P＝eq \f(40＋20,84)＝eq \f(5,7)．
答案：eq \f(5,7)
13．有一种击球比赛，把从裁判发球哨响开始到之后裁判第一哨响止，叫做一回合，每一回合中，发球队赢球后得分1分并在下一回合发球，另一队得零分，发球队输球后，比赛双方均得零分，下一回合由另一队发球，甲乙两球队正在进行这种击球比赛，从以往统计结果看，每一回合，甲乙两队输赢球的概率都相等．
(1)在连续三个回合中，第一回合由甲队发球，求甲队得1分的概率；
(2)比赛进入决胜局，两队得分均为25分．在接下来的比赛中，甲队第一回合发球，若甲乙两队某一队得分比对方得分多2分，则比赛结束，得分多的队获比赛胜利，求甲队在第四回合获得比赛胜利的概率．
解：(1)用A表示事件“一回合中，甲队赢球”，则三个回合中，所有可能结果是：AAA，AAeq \(A,\s\up6(－))，Aeq \(A,\s\up6(－))A，eq \(A,\s\up6(－))AA，eq \(A,\s\up6(－))eq \(A,\s\up6(－))A，
eq \(A,\s\up6(－))Aeq \(A,\s\up6(－))，Aeq \(A,\s\up6(－))eq \(A,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))eq \(A,\s\up6(－))eq \(A,\s\up6(－))，共8个，其中只有Aeq \(A,\s\up6(－))A，Aeq \(A,\s\up6(－))eq \(A,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))AA三个结果，甲队得1分．
设“在连续三个回合中，第一回合由甲队发球．甲队得1分”为事件B，则P(B)＝eq \f(3,8)，
所以，甲队得1分的概率为eq \f(3,8)．
(2)打完四回合的所有可能结果是：Aeq \(A,\s\up6(－))AA，eq \(A,\s\up6(－))AAA，eq \(A,\s\up6(－))eq \(A,\s\up6(－))AA，eq \(A,\s\up6(－))Aeq \(A,\s\up6(－))A，eq \(A,\s\up6(－))AAeq \(A,\s\up6(－))，Aeq \(A,\s\up6(－))Aeq \(A,\s\up6(－))，Aeq \(A,\s\up6(－))eq \(A,\s\up6(－))A，eq \(A,\s\up6(－))eq \(A,\s\up6(－))Aeq \(A,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))Aeq \(A,\s\up6(－))eq \(A,\s\up6(－))，Aeq \(A,\s\up6(－))eq \(A,\s\up6(－))eq \(A,\s\up6(－))，共10个，其中只有Aeq \(A,\s\up6(－))AA，eq \(A,\s\up6(－))AAA两个结果，甲队在第四回合比乙队多2分，甲获胜．设“甲队在第四回合获比赛胜利”为事件C，则P(C)＝eq \f(2,10)＝eq \f(1,5)．
所以，甲队在第四回合获得比赛胜利的概率为eq \f(1,5)．
所需时间(分钟)
30
40
50
60
线路一
0．5
0．2
0．2
0．1
线路二
0．3
0．5
0．1
0．1
A班
6
6．5
7
7．5
8
B班
6
7
8
9
10
11
12
C班
3
4．5
6
7．5
9
10．5
12
13．5
所需时间(分钟)
30
40
50
60
线路一
0．5
0．2
0．2
0．1
线路二
0．3
0．5
0．1
0．1
A班
6
6．5
7
7．5
8
B班
6
7
8
9
10
11
12
C班
3
4．5
6
7．5
9
10．5
12
13．5