2025高考数学一轮复习-函数零点问题-专项训练【含解析】

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1．设函数f(x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a>0．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围．
2．已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－(a＋1)x＋aln x＋eq \f(1,2)a2(a>0)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若函数y＝f(x)只有一个零点，求实数a的取值范围．
3．已知函数f(x)＝cs x＋xsin x．
(1)讨论f(x)在[－2π，2π]上的单调性；
(2)求函数g(x)＝f(x)－eq \f(1,4)x2－1零点的个数．
4．已知函数f(x)＝(2－a)(x－1)－2ln x(a∈R)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))上无零点，求a的取值范围．
5．已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点．
①eq \f(1,2)＜a≤eq \f(e2,2)，b＞2a；
②0＜a＜eq \f(1,2)，b≤2a．
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函数零点问题【解析版】
1．设函数f(x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a>0．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围．
解：(1)由题意，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2a2x＋a－eq \f(3,x)＝eq \f(2a2x2＋ax－3,x)＝eq \f(ax－12ax＋3,x)，
则当x>eq \f(1,a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当0eq \f(1,e)，
所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞))．
2．已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－(a＋1)x＋aln x＋eq \f(1,2)a2(a>0)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若函数y＝f(x)只有一个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq \f(x－1x－a,x)，
当0