2025高考数学一轮复习-抛物线-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-抛物线-专项训练【含解析】，共9页。

1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点P(－1，－2)，则该抛物线的焦点坐标为( )
A．(1,0) B．(2,0)
C．(0,1)D．(0,2)
2．抛物线C：x2＝8y的焦点为F，在C上有一点P，|PF|＝8，PF的中点M到C的准线l的距离为( )
A．6B．8
C．4D．1
3．已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q(－3,3)，则|PQ|＋d的最小值为( )
A．5 B．eq \r(30)＋1
C．eq \r(30)－1 D．4
4．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PQ⊥l，垂足为Q，若|PF|＝4，则∠FQP＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
5．已知抛物线C：y2＝4x的准线与x轴的交点为D，过焦点F的直线l与抛物线C的一个交点为A，交准线于点B，若eq \(FA,\s\up7(―→))＝2eq \(BF,\s\up7(―→))，则△BDF的面积为( )
A．eq \r(5)B．2eq \r(5)
C．4eq \r(2)D．2eq \r(2)
6．(多选)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－eq \r(3)，则下列结论正确的是( )
A．准线方程为x＝－3
B．焦点坐标Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))
C．点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，3\r(3)))
D．PF的长为3
7．(多选)设抛物线C：x＝eq \f(1,4)y2的焦点为F，则下列说法正确的是( )
A．点F在x轴上
B．点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))
C．设过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于P，Q两点，则|PQ|＝8
D．设过点(－2,0)且斜率为eq \f(2,3)的直线与抛物线C交于M，N两点，则eq \(FM,\s\up7(―→))·eq \(FN,\s\up7(―→))＝8
8．抛物线y2＝－2px(p＞0)的准线经过椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的右焦点，则p＝________．
9．抛物线y2＝2px(p＞0)的准线截圆x2＋y2－2y－1＝0所得弦长为2，则抛物线的焦点坐标为________．
10．已知过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的直线l与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，且eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝－3，其中O为坐标原点．
(1)求p的值；
(2)当|AM|＋4|BM|最小时，求直线l的方程．
11．(多选)已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，圆C：x2＋(y－1)2＝16与抛物线E交于A，B两点，点P为劣弧eq \x\t(AB)上不同于A，B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线l交抛物线E于点N，则以下结论正确的是( )
A．点P的纵坐标的取值范围是(3,5]
B．圆C的圆心到抛物线准线的距离为1
C．|PN|＋|NF|等于点P到抛物线准线的距离
D．△PFN周长的取值范围是(8,10)
12．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线l的距离为2，若点P在抛物线上，且点P到l的距离为d，Q在圆x2＋(y－3)2＝1上，则p＝________，|PQ|＋d的最小值为________．
解析：因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线l的距离为2，所以p＝2，F(1,0)，准线l：x＝－1，由抛物线的定义可知点P到l的距离d＝|PF|，所以|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|，设圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为C，则C(0,3)，圆的半径为1，|PQ|＋|PF|≥|CF|－1＝eq \r(12＋32)－1＝eq \r(10)－1，当且仅当C，P，Q，F共线时等号成立，所以|PQ|＋d的最小值为eq \r(10)－1．
答案：2 eq \r(10)－1
13．已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线C2：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1右顶点重合．
(1)求抛物线C1的标准方程；
(2)设过点(0,1)的直线l与抛物线C1交于不同的两点A，B，F是抛物线C1的焦点，且eq \(FA,\s\up7(―→))·eq \(FB,\s\up7(―→))＝1，求直线l的方程．
14．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置．由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上．现有一抛物线型太阳灶，灶口直径AB为2eq \r(3) m，灶深CD为0．5 m，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为________m．
15．如图，设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，M为直线y＝－2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．
(1)求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
(2)已知当M点的坐标为(2，－2p)时，|AB|＝4eq \r(10)，求此时抛物线的方程．
课时过关检测(五十三)
抛物线【解析版】
1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点P(－1，－2)，则该抛物线的焦点坐标为( )
A．(1,0) B．(2,0)
C．(0,1)D．(0,2)
解析：A 因为抛物线的准线经过点P(－1，－2)，则eq \f(p,2)＝1，即p＝2，则该抛物线的焦点坐标为(1,0)．故选A．
2．抛物线C：x2＝8y的焦点为F，在C上有一点P，|PF|＝8，PF的中点M到C的准线l的距离为( )
A．6B．8
C．4D．1
解析：A 如图，过P作PD⊥l于D，由抛物线的定义可知|PF|＝|PD|＝8，|FA|＝4，故PF的中点M到C的准线l的距离为|MB|＝eq \f(1,2)(|FA|＋|PD|)＝6．故选A．
3．已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q(－3,3)，则|PQ|＋d的最小值为( )
A．5 B．eq \r(30)＋1
C．eq \r(30)－1 D．4
解析：D ∵抛物线的准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．P到直线x＝－1的距离等于|PF|，∴P到y轴的距离d＝|PF|－1，∴d＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1．∴当F，P，Q三点共线时，|PF|＋|PQ|取得最小值|QF|．∵Q(－3，3)，F(1,0)，∴|QF|＝5，∴d＋|PQ|的最小值为5－1＝4．故选D．
4．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PQ⊥l，垂足为Q，若|PF|＝4，则∠FQP＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：C 设P(x0，y0)，则|PQ|＝y0＋1，由抛物线的定义可得|PQ|＝|PF|，即y0＋1＝4，则y0＝3，又xeq \\al(2,0)＝4y0，则xeq \\al(2,0)＝12，不妨令P位于第一象限，则x0＝2eq \r(3)，即P(2eq \r(3)，3)，因此Q(2eq \r(3)，－1)，所以|QF|＝eq \r(12＋4)＝4，所以|PQ|＝|PF|＝|QF|，因此△FQP为等边三角形，所以∠FQP＝60°．故选C．
5．已知抛物线C：y2＝4x的准线与x轴的交点为D，过焦点F的直线l与抛物线C的一个交点为A，交准线于点B，若eq \(FA,\s\up7(―→))＝2eq \(BF,\s\up7(―→))，则△BDF的面积为( )
A．eq \r(5)B．2eq \r(5)
C．4eq \r(2)D．2eq \r(2)
解析：A 直线l过该抛物线的焦点F(1,0)，过A作准线的垂线，垂足为E，如图所示，易得△BDF∽△BEA，由抛物线的定义知：|FD|＝2．因为eq \(FA,\s\up7(―→))＝2eq \(BF,\s\up7(―→))，所以|AE|＝6，所以xA＝5，yA＝2eq \r(5)，故A(5，－2eq \r(5))，所以|ED|＝2eq \r(5)，|BD|＝eq \r(5)，所以S△BDF＝eq \r(5)．故选A．
6．(多选)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－eq \r(3)，则下列结论正确的是( )
A．准线方程为x＝－3
B．焦点坐标Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))
C．点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，3\r(3)))
D．PF的长为3
解析：BC 由抛物线方程为y2＝6x，∴焦点坐标Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(3,2)，A错，B对；∵直线AF的斜率为－eq \r(3)，∴直线AF的方程为y＝－eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，当x＝－eq \f(3,2)时，y＝3eq \r(3)，∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3\r(3)))，∵PA⊥l，A为垂足，∴点P的纵坐标为3eq \r(3)，可得点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，3\r(3)))，C对；根据抛物线的定义可知|PF|＝|PA|＝eq \f(9,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝6，D错，故选B、C．
7．(多选)设抛物线C：x＝eq \f(1,4)y2的焦点为F，则下列说法正确的是( )
A．点F在x轴上
B．点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))
C．设过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于P，Q两点，则|PQ|＝8
D．设过点(－2,0)且斜率为eq \f(2,3)的直线与抛物线C交于M，N两点，则eq \(FM,\s\up7(―→))·eq \(FN,\s\up7(―→))＝8
解析：ACD 由题可得抛物线C的标准方程为y2＝4x，所以点F在x轴上，且点F的坐标为(1,0)，所以选项A正确，选项B不正确；过点F(1,0)且斜率为1的直线方程为y＝x－1，将y＝x－1代入y2＝4x，消去y可得x2－6x＋1＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝6，所以|PQ|＝x1＋x2＋2＝8，选项C正确；过点(－2,0)且斜率为eq \f(2,3)的直线方程为y＝eq \f(2,3)(x＋2)，将y＝eq \f(2,3)(x＋2)代入y2＝4x，消去y可得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，不妨设M(1,2)，则N(4,4)，所以eq \(FM,\s\up7(―→))·eq \(FN,\s\up7(―→))＝(0,2)·(3,4)＝8，选项D正确．故选A、C、D．
8．抛物线y2＝－2px(p＞0)的准线经过椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的右焦点，则p＝________．
解析：由椭圆方程可得其右焦点为(2,0)，∵抛物线的准线经过椭圆的右焦点，∴eq \f(p,2)＝2，解得p＝4．
答案：4
9．抛物线y2＝2px(p＞0)的准线截圆x2＋y2－2y－1＝0所得弦长为2，则抛物线的焦点坐标为________．
解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－eq \f(p,2)，把圆化成标准方程为x2＋(y－1)2＝2，得圆心M(0,1)，半径r＝eq \r(2)，圆心到准线的距离为eq \f(p,2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2)))2＝(eq \r(2))2，解得p＝2，所以焦点坐标为(1,0)．
答案：(1,0)
10．已知过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的直线l与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，且eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝－3，其中O为坐标原点．
(1)求p的值；
(2)当|AM|＋4|BM|最小时，求直线l的方程．
解：(1)设直线l的方程为x＝my＋eq \f(p,2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))消去x得y2－2pmy－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，
因为eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝－3，所以x1x2＋y1y2＝－3，
又x1x2＝eq \f(y\\al(2,1),2p)·eq \f(y\\al(2,2),2p)＝eq \f(p2,4)，所以eq \f(p2,4)－p2＝－3，又因为p＞0，所以p＝2．
(2)由(1)及抛物线定义，得|AM|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1，|BM|＝x2＋eq \f(p,2)＝x2＋1，
所以|AM|＋4|BM|＝x1＋4x2＋5≥2eq \r(4x1x2)＋5＝9，当且仅当x1＝4x2时等号成立．
将x1＝4x2代入x1x2＝eq \f(p2,4)＝1，得x2＝eq \f(1,2)(负值舍去)．
将x2＝eq \f(1,2)代入y2＝4x，得y2＝±eq \r(2)，即点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，±\r(2)))，
将点B代入x＝my＋1，得m＝±eq \f(\r(2),4)，
所以直线l的方程为x＝±eq \f(\r(2),4)y＋1，即4x±eq \r(2)y－4＝0．
11．(多选)已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，圆C：x2＋(y－1)2＝16与抛物线E交于A，B两点，点P为劣弧eq \x\t(AB)上不同于A，B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线l交抛物线E于点N，则以下结论正确的是( )
A．点P的纵坐标的取值范围是(3,5]
B．圆C的圆心到抛物线准线的距离为1
C．|PN|＋|NF|等于点P到抛物线准线的距离
D．△PFN周长的取值范围是(8,10)
解析：ACD 如图所示：A项， 圆C：x2＋(y－1)2＝16的圆心为(0,1)，半径为4，与y的正半轴交点为(0,5)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,x2＋y－12＝16，))解得y＝3(负值舍去)，所以点P的纵坐标的取值范围是(3,5]，故正确；B项，因为圆C的圆心为抛物线的焦点，所以圆C的圆心到抛物线准线的距离为p＝2，故错误；C项，由抛物线的定义得|PN|＋|NF|等于点P到抛物线准线的距离，故正确；D项，△PFN周长为：|PF|＋|PN|＋|NF|＝r＋yP＋1＝yP＋5∈(8,10)，故正确．故选A、C、D．
12．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线l的距离为2，若点P在抛物线上，且点P到l的距离为d，Q在圆x2＋(y－3)2＝1上，则p＝________，|PQ|＋d的最小值为________．
解析：因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线l的距离为2，所以p＝2，F(1,0)，准线l：x＝－1，由抛物线的定义可知点P到l的距离d＝|PF|，所以|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|，设圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为C，则C(0,3)，圆的半径为1，|PQ|＋|PF|≥|CF|－1＝eq \r(12＋32)－1＝eq \r(10)－1，当且仅当C，P，Q，F共线时等号成立，所以|PQ|＋d的最小值为eq \r(10)－1．
答案：2 eq \r(10)－1
13．已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线C2：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1右顶点重合．
(1)求抛物线C1的标准方程；
(2)设过点(0,1)的直线l与抛物线C1交于不同的两点A，B，F是抛物线C1的焦点，且eq \(FA,\s\up7(―→))·eq \(FB,\s\up7(―→))＝1，求直线l的方程．
解：(1)由题设知，双曲线C2：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的右顶点为(2,0)，
∴eq \f(p,2)＝2，解得p＝4，
∴抛物线C1的标准方程为y2＝8x．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
显然直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝kx＋1，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝8x，))消去y得k2x2＋(2k－8)x＋1＝0，由Δ＞0得(2k－8)2－4k2＞0，即k＜2，
∴x1＋x2＝－eq \f(2k－8,k2)，x1x2＝eq \f(1,k2)．又∵eq \(FA,\s\up7(―→))·eq \(FB,\s\up7(―→))＝1，F(2,0)，
∴eq \(FA,\s\up7(―→))·eq \(FB,\s\up7(―→))＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝1，
∴x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋(k－2)(x1＋x2)＋5＝1，即k2＋4k－5＝0，
解得k＝1或k＝－5，∴直线l的方程为y＝x＋1或y＝－5x＋1．
14．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置．由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上．现有一抛物线型太阳灶，灶口直径AB为2eq \r(3) m，灶深CD为0．5 m，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为________m．
解析：由题意建立如图所示的平面直角坐标系，O与C重合．设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，由题意可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(3)))，将A点坐标代入抛物线的方程可得3＝2p×eq \f(1,2)，解得p＝3，所以抛物线的方程为y2＝6x，焦点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，所以焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为eq \f(3,2)＝1．5 m．
答案：1．5
15．如图，设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，M为直线y＝－2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．
(1)求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
(2)已知当M点的坐标为(2，－2p)时，|AB|＝4eq \r(10)，求此时抛物线的方程．
解：(1)证明：由题意，设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(x\\al(2,1),2p)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，\f(x\\al(2,2),2p)))，x1＜x2，M(x0，－2p)．
由x2＝2py，得y＝eq \f(x2,2p)，得y′＝eq \f(x,p)，所以kMA＝eq \f(x1,p)，kMB＝eq \f(x2,p)．
因此直线MA的方程为y＋2p＝eq \f(x1,p)(x－x0)，
直线MB的方程为y＋2p＝eq \f(x2,p)(x－x0)．
所以eq \f(x\\al(2,1),2p)＋2p＝eq \f(x1,p)(x1－x0)，①
eq \f(x\\al(2,2),2p)＋2p＝eq \f(x2,p)(x2－x0)．②
①－②整理得2x0＝x1＋x2．
所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．
(2)由(1)知，当x0＝2时，将其代入①②并整理得xeq \\al(2,1)－4x1－4p2＝0，xeq \\al(2,2)－4x2－4p2＝0，
所以x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根，
因此x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2．
又因为kAB＝eq \f(\f(x\\al(2,2),2p)－\f(x\\al(2,1),2p),x2－x1)＝eq \f(x1＋x2,2p)＝eq \f(x0,p)，所以kAB＝eq \f(2,p)．
由弦长公式，得|AB|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝ eq \r(1＋\f(4,p2)) eq \r(16＋16p2)．
又因为|AB|＝4eq \r(10)，解得p＝1或p＝2，因此所求抛物线方程为x2＝2y或x2＝4y．