2025高考数学一轮复习-圆的方程-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-圆的方程-专项训练【含解析】，共8页。


1．圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x－2)2＋(y－1)2＝5D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
2．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为( )
A．8 B．4
C．2eq \r(10) D．5
4．已知圆C：(x－eq \r(3))2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是( )
A．(0,2] B．[1,2]
C．[2,3] D．[1,3]
5．点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为( )
A．2eq \r(3)B．eq \r(13)
C．2eq \r(3)＋1D．eq \r(13)＋1
6．(多选)已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列关于该圆说法正确的有( )
A．关于点(2,0)对称
B．关于直线y＝0对称
C．关于直线x＋3y－2＝0对称
D．关于直线x－y＋2＝0对称
7．(多选)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C可能的方程为( )
A．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3)B．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3)
C．(x－eq \r(3))2＋y2＝eq \f(4,3)D．(x＋eq \r(3))2＋y2＝eq \f(4,3)
8．已知三个点A(0,0)，B(2,0)，C(4，2)，则△ABC的外接圆的圆心坐标是________．
9．已知点P为圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一点，A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两动点，且|AB|＝2，则△ABP的面积的取值范围是________．
10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq \r(10)．
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是( )
A．(1,3)B．(3,1)
C．(－2,0)D．(0，－2)
12．写出一个关于直线x＋y－1＝0对称的圆的方程____________．
13．已知A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是____________________；又若eq \(MA,\s\up7(―→))·eq \(MB,\s\up7(―→))＝0，此时△MAB的面积为________．
14．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
15．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3,0)
C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
16．已知曲线T：F(x，y)＝0，对坐标平面上任意一点P(x，y)，定义F[P]＝F(x，y)，若两点P，Q满足F[P]·F[Q]>0，称点P，Q在曲线T同侧；F[P]·F[Q]<0，称点P，Q在曲线T两侧．
(1)直线过l原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A(－1,1)，B(2,3)，求直线l的斜率的取值范围；
(2)已知曲线F(x，y)＝(3x＋4y－5) eq \r(4－x2－y2)＝0，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]·F[O]>0}的面积．
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圆的方程【解析版】
1．圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x－2)2＋(y－1)2＝5D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
解析：A 圆心为(2,1)且和x轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A．
2．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆，则有D2＋E2－4F＝a2＋4－8＞0，解得a＞2或a＜－2，则“a＞2”是“a＞2或a＜－2”的充分不必要条件，所以“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的充分不必要条件．故选A．
3．若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为( )
A．8 B．4
C．2eq \r(10) D．5
解析：C 设2x＋y＝t，则y＝t－2x，当直线y＝t－2x与x2＋y2＝8相切时，t取到最值，所以eq \f(|t|,\r(5))≤2eq \r(2)，解得－2eq \r(10)≤t≤2eq \r(10)，所以2x＋y的最大值为2eq \r(10)，故选C．
4．已知圆C：(x－eq \r(3))2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是( )
A．(0,2] B．[1,2]
C．[2,3] D．[1,3]
解析：D 圆C：(x－eq \r(3))2＋(y－1)2＝1的圆心C(eq \r(3)，1)，半径为1，因为圆心C到O(0,0)的距离为2，所以圆C上的点到O(0,0)的距离最大值为3，最小值为1，又因为∠APB＝90°，则以AB为直径的圆和圆C有交点，可得|PO|＝eq \f(1,2)|AB|＝t，所以有1≤t≤3，故选D．
5．点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为( )
A．2eq \r(3)B．eq \r(13)
C．2eq \r(3)＋1D．eq \r(13)＋1
解析：D 整理直线方程得：(x＋y－2)＋(3x＋2y－5)λ＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,3x＋2y－5＝0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))∴P(1,1)，由圆的方程知圆心C(－2，－1)，半径r＝1，∴|MP|max＝|CP|＋r＝eq \r(－2－12＋－1－12)＋1＝eq \r(13)＋1．故选D．
6．(多选)已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列关于该圆说法正确的有( )
A．关于点(2,0)对称
B．关于直线y＝0对称
C．关于直线x＋3y－2＝0对称
D．关于直线x－y＋2＝0对称
解析：ABC x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为eq \r(5)．A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以本选项正确；B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以本选项正确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以本选项正确；D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确．故选A、B、C．
7．(多选)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C可能的方程为( )
A．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3)B．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3)
C．(x－eq \r(3))2＋y2＝eq \f(4,3)D．(x＋eq \r(3))2＋y2＝eq \f(4,3)
解析：AB 由题意知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为eq \f(2π,3)，设圆心C(0，a), 半径为r，则rsineq \f(π,3)＝1，rcseq \f(π,3)＝|a|，解得r＝eq \f(2,\r(3))，即r2＝eq \f(4,3)，|a|＝eq \f(\r(3),3)，即a＝±eq \f(\r(3),3)，故圆C的方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3)．
8．已知三个点A(0,0)，B(2,0)，C(4，2)，则△ABC的外接圆的圆心坐标是________．
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,4＋2D＋F＝0，,20＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝－6，,F＝0，))所以圆的方程为x2－2x＋y2－6y＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝10，所以圆心坐标为(1,3)．
答案：(1,3)
9．已知点P为圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一点，A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两动点，且|AB|＝2，则△ABP的面积的取值范围是________．
解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C(2，1)，半径r＝2，圆心C到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝eq \f(|6＋4＋5|,\r(32＋42))＝3，设P到直线AB的距离为h，则S△ABP＝eq \f(1,2)·|AB|·h＝h，∵d－r≤h≤d＋r，∴1≤h≤5，∴S△ABP∈[1,5]，即△ABP的面积的取值范围为[1,5]．
答案：[1,5]
10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq \r(10)．
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)．
所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0．
(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0．①
又直径|CD|＝4eq \r(10)，
所以|PA|＝2eq \r(10)．
所以(a＋1)2＋b2＝40．②
由①②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝6))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－2，))
所以圆心P(－3,6)或P(5，－2)，
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40．
11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是( )
A．(1,3)B．(3,1)
C．(－2,0)D．(0，－2)
解析：D ∵A(－4,0)，B(0,4)，∴AB的垂直平分线方程为x＋y＝0，又外心在欧拉线x－y＋2＝0上，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x－y＋2＝0，))解得三角形ABC的外心为G(－1,1)，又r＝|GA|＝eq \r(－1＋42＋1－02)＝eq \r(10)，∴△ABC外接圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝10．设C(x，y)，则三角形ABC的重心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－4,3)，\f(y＋4,3)))在欧拉线上，即eq \f(x－4,3)－eq \f(y＋4,3)＋2＝0．整理得x－y－2＝0．联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12＋y－12＝10，,x－y－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0.))∴顶点C的坐标可以是(0，－2)．故选D．
12．写出一个关于直线x＋y－1＝0对称的圆的方程____________．
解析：设圆心坐标为C(a，b)，因为圆C关于x＋y－1＝0对称，所以C(a，b)在直线x＋y－1＝0上，则a＋b－1＝0，取a＝1⇒b＝0，设圆的半径为1，则圆的方程(x－1)2＋y2＝1．
答案：(x－1)2＋y2＝1(答案不唯一)
13．已知A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是____________________；又若eq \(MA,\s\up7(―→))·eq \(MB,\s\up7(―→))＝0，此时△MAB的面积为________．
解析：设M(x，y)，由|MA|＝2|MB|，得eq \r(x＋22＋y2)＝2eq \r(x－22＋y2)，整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0．以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝4，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x2＋3y2－20x＋12＝0，,x2＋y2＝4，))解得|y|＝eq \f(8,5)．即M点的纵坐标的绝对值为eq \f(8,5)．此时△MAB的面积为S＝eq \f(1,2)×4×eq \f(8,5)＝eq \f(16,5)．
答案：3x2＋3y2－20x＋12＝0 eq \f(16,5)
14．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解：圆C：x2＋(y－4)2＝42，故圆心为C(0,4)，半径为4．(1)当C，M，P三点均不重合时，∠CMP＝90°，所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P，C)，线段PC中点为(1,3)，eq \f(1,2)|PC|＝eq \f(1,2)eq \r(2－02＋2－42)＝eq \r(2)，故M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2(x≠2，且y≠2或x≠0，且y≠4)．当C，M，P三点中有重合的情形时，易求得点M的坐标为(2,2)或(0,4)．综上可知，点M的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2．
(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，eq \r(2)为半径的圆．
法一(几何法)：由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．又P在圆N上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－eq \f(1,3)，故直线l的方程为y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(8,3)，即x＋3y－8＝0．又易得|OM|＝|OP|＝2eq \r(2)，点O到直线l的距离为eq \f(8,\r(12＋32))＝eq \f(4\r(10),5)，|PM|＝ 2eq \r(2\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(10),5)))2)＝eq \f(4\r(10),5)，所以△POM的面积为eq \f(1,2)×eq \f(4\r(10),5)×eq \f(4\r(10),5)＝eq \f(16,5)．
法二(代数法)：设M(x，y)，由|OM|＝|OP|＝2eq \r(2)得x2＋y2＝8，
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝8， ①,x－12＋y－32＝2， ②))
①－②得直线l方程为x＋3y－8＝0，将x＝8－3y代入①得5y2－24y＋28＝0，解得y1＝eq \f(14,5)，y2＝2．从而x1＝－eq \f(2,5)，x2＝2．所以M点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)，\f(14,5)))，
|PM|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(2,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(14,5)))2)＝eq \f(4\r(10),5)．
又点O到l距离d＝eq \f(8,\r(12＋32))＝eq \f(4\r(10),5)，
所以△POM的面积S＝eq \f(1,2)|PM|·d
＝eq \f(1,2)×eq \f(4\r(10),5)×eq \f(4\r(10),5)＝eq \f(16,5)．
15．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3,0)
C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
解析：ABD 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选A、B、D．
16．已知曲线T：F(x，y)＝0，对坐标平面上任意一点P(x，y)，定义F[P]＝F(x，y)，若两点P，Q满足F[P]·F[Q]>0，称点P，Q在曲线T同侧；F[P]·F[Q]<0，称点P，Q在曲线T两侧．
(1)直线过l原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A(－1,1)，B(2,3)，求直线l的斜率的取值范围；
(2)已知曲线F(x，y)＝(3x＋4y－5) eq \r(4－x2－y2)＝0，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]·F[O]>0}的面积．
解：(1)由题意，显然直线l斜率存在，设方程为y＝kx，则F(x，y)＝kx－y＝0，
因为A(－1,1)，B(2,3)，线段AB上所有点都在直线l同侧，
则F[A]·F[B]＝(－k－1)(2k－3)>0，
解得－1(2)因为F[O]<0，所以F[P]＝(3x＋4y－5)·eq \r(4－x2－y2)<0，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋4y－5<0，,x2＋y2<4，))点集S为圆x2＋y2＝4在直线3x＋4y－5＝0下方内部，如图所示，
设直线与圆的交点为A，B，则O到AB的距离为1，
故∠AOB＝eq \f(2π,3)，
因此，所求面积为S＝eq \f(1,2)·eq \f(4π,3)·22＋eq \f(1,2)·eq \f(\r(3),2)·22＝eq \f(8π,3)＋eq \r(3)．