2025年高考数学一轮复习2.2.2-基本不等式的应用-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习2.2.2-基本不等式的应用-专项训练【含解析】，共8页。试卷主要包含了下列不等式一定成立的有等内容，欢迎下载使用。
A．3 B．3－3eq \r(2)
C．3－2eq \r(3)D．－1
2．已知直线ax＋2by－1＝0和x2＋y2＝1相切，则ab的最大值是( )
A．eq \f(1,4)B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(2),2)D．1
3．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A．80元B．120元
C．160元D．240元
4．已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，若不等式eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)≥m2＋7m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．－8≤m≤1B．m≤－8或m≥1
C．－1≤m≤8D．m≤－1或m≥8
5．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0)和椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,2)＝1有相同的焦点，则eq \f(4,m)＋eq \f(1,n)的最小值为( )
A．2B．3
C．4D．5
6．(多选)下列不等式一定成立的有( )
A．x＋eq \f(1,x)≥2B．2x(1－x)≤eq \f(1,4)
C．x2＋eq \f(3,x2＋1)≥2eq \r(3)－1D．eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x))≥2
7．(多选)已知x>0，y>0，且2x＋y＝2，则下列说法中正确的是( )
A．xy的最大值为eq \f(1,2)B．4x2＋y2的最大值为2
C．4x＋2y的最小值为4D．eq \f(2,x)＋eq \f(x,y)的最小值为4
8．若lg2m＋lg2n＝1，那么m＋n的最小值是________．
9．已知函数f(x)＝eq \f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
10．已知a，b为正实数，且满足a＋b＝1．证明：
(1)a2＋b2≥eq \f(1,2)；
(2) eq \r(\f(1,a)＋\f(2,b))≥1＋eq \r(2)．
11．函数y＝lga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均大于0，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值为( )
A．2B．4
C．8D．16
12．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝eq \r(pp－ap－bp－c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝3，b＋c＝5，则此三角形面积的最大值为( )
A．eq \f(3,2) B．3
C．eq \r(7) D．eq \r(11)
13．写出一个关于a与b的等式，使eq \f(1,a2)＋eq \f(9,b2)是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为__________．
14．已知f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2＋(b－4)x＋1(a>0，b>0)在x＝1处取得极值，求eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)的最小值．
15．(多选)已知a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，则( )
A．a2＋b2＋c2≥eq \f(1,3)
B．ab＋bc＋ac≥eq \f(1,3)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(1,3)))≤0
D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))≥8
16．甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的eq \f(1,4)，固定成本为a元．
(1)将全程运输成本y(单位：元)表示为速度v(单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？
2025年高考数学一轮复习基本不等式的应用-专项训练【解析版】
1．设x>0，则y＝3－3x－eq \f(1,x)的最大值为( )
A．3 B．3－3eq \r(2)
C．3－2eq \r(3)D．－1
解析：C ∵x>0，∴y＝3－3x－eq \f(1,x)≤3－2eq \r(3x·\f(1,x))＝3－2eq \r(3)，当3x＝eq \f(1,x)，即x＝eq \f(\r(3),3)时，等号成立．故选C．
2．已知直线ax＋2by－1＝0和x2＋y2＝1相切，则ab的最大值是( )
A．eq \f(1,4)B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(2),2)D．1
解析：A 根据题意，圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径r＝1，若直线ax＋2by－1＝0和x2＋y2＝1相切，则有eq \f(|－1|,\r(a2＋4b2))＝1，变形可得a2＋4b2＝1，又由1＝a2＋4b2≥4ab，变形可得ab≤eq \f(1,4)，当且仅当a＝2b时等号成立，故ab的最大值是eq \f(1,4)，故选A．
3．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A．80元B．120元
C．160元D．240元
解析：C 由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是eq \f(4,x) m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(8,x)))≥80＋20eq \r(2x·\f(8,x))＝160，当且仅当2x＝eq \f(8,x)，即x＝2时取得等号．
4．已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，若不等式eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)≥m2＋7m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．－8≤m≤1B．m≤－8或m≥1
C．－1≤m≤8D．m≤－1或m≥8
解析：A ∵x＞0，y＞0，x＋2y＝1，∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝(x＋2y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y)＋4≥4＋2eq \r(4)＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当\f(4y,x)＝\f(x,y)，即x＝2y＝\f(1,2)时取等号))，∵不等式eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)≥m2＋7m恒成立，∴m2＋7m≤8，解得－8≤m≤1．故选A．
5．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0)和椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,2)＝1有相同的焦点，则eq \f(4,m)＋eq \f(1,n)的最小值为( )
A．2B．3
C．4D．5
解析：B 由题意双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0)和椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,2)＝1有相同的焦点，∴m＋n＝5－2＝3，∴eq \f(4,m)＋eq \f(1,n)＝eq \f(1,3)(m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,m)＋\f(1,n)))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(4n,m)＋\f(m,n)))≥eq \f(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2 \r(\f(4n,m)·\f(m,n))))＝3，当且仅当eq \f(4n,m)＝eq \f(m,n)，即m＝2n时等号成立，故eq \f(4,m)＋eq \f(1,n)的最小值为3，故选B．
6．(多选)下列不等式一定成立的有( )
A．x＋eq \f(1,x)≥2B．2x(1－x)≤eq \f(1,4)
C．x2＋eq \f(3,x2＋1)≥2eq \r(3)－1D．eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x))≥2
解析：CD 对于A，当x0，且2x＋y＝2，则下列说法中正确的是( )
A．xy的最大值为eq \f(1,2)B．4x2＋y2的最大值为2
C．4x＋2y的最小值为4D．eq \f(2,x)＋eq \f(x,y)的最小值为4
解析：ACD 由2＝2x＋y≥2eq \r(2x×y)⇒xy≤eq \f(1,2)，当2x＝y时等号成立，所以A正确；
4x2＋y2＝(2x＋y)2－4xy＝4－4xy≥2，所以4x2＋y2的最小值为2，故B不正确；
由2＝2x＋y，得4x＋2y＝4x＋22－2x＝4x＋eq \f(4,4x)≥4，当x＝eq \f(1,2)时等号成立，故C正确；
由2＝2x＋y，得eq \f(2,x)＋eq \f(x,y)＝eq \f(2x＋y,x)＋eq \f(x,y)＝2＋eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥4，当x＝y时等号成立，故D正确．故选A、C、D．
8．若lg2m＋lg2n＝1，那么m＋n的最小值是________．
解析：∵lg2m＋lg2n＝1，即lg2(mn)＝1，∴mn＝2，由基本不等式可得m＋n≥2eq \r(mn)＝2eq \r(2)，当且仅当m＝n时，等号成立，故m＋n的最小值是2eq \r(2)．
答案：2eq \r(2)
9．已知函数f(x)＝eq \f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
解析：∵对任意x∈N*，f(x)≥3，即eq \f(x2＋ax＋11,x＋1) ≥3恒成立，即a≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(8,x)))＋3．设g(x)＝x＋eq \f(8,x)，x∈N*，则g(x)＝x＋eq \f(8,x)≥4eq \r(2)，当且仅当x＝2eq \r(2)时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝eq \f(17,3)，g(2)>g(3)，∴g(x)min＝eq \f(17,3)．∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(8,x)))＋3≤－eq \f(8,3)，∴a≥－eq \f(8,3)，故a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,3)，＋∞))．
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,3)，＋∞))
10．已知a，b为正实数，且满足a＋b＝1．证明：
(1)a2＋b2≥eq \f(1,2)；
(2) eq \r(\f(1,a)＋\f(2,b))≥1＋eq \r(2)．
证明：(1)因为a＋b＝1，a>0，b>0，
所以a2＋b2＝eq \f(1,2)(a2＋b2＋a2＋b2)≥eq \f(1,2)(a2＋b2＋2ab)＝eq \f(1,2)(a＋b)2＝eq \f(1,2)(当且仅当a＝b取等号)．
(2)eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(a＋b)＝3＋eq \f(2a,b)＋eq \f(b,a)≥3＋2 eq \r(\f(2a,b)×\f(b,a))＝3＋2eq \r(2)＝(1＋eq \r(2))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当\f(2a,b)＝\f(b,a)，即a＝\r(2)－1，b＝2－\r(2)时等号成立))，所以 eq \r(\f(1,a)＋\f(2,b))≥1＋eq \r(2)．
11．函数y＝lga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均大于0，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值为( )
A．2B．4
C．8D．16
解析：B 因为函数y＝lga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，又因为点A在直线mx＋ny＋2＝0上，所以－2m－n＋2＝0，即2m＋n＝2，所以eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(2m＋n)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(n,m)＋\f(4m,n)))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋2\r(\f(n,m)·\f(4m,n))))＝4，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋n＝2，,\f(n,m)＝\f(4m,n)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,2)，,n＝1))取等号，所以eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值为4，故选B．
12．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝eq \r(pp－ap－bp－c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝3，b＋c＝5，则此三角形面积的最大值为( )
A．eq \f(3,2) B．3
C．eq \r(7) D．eq \r(11)
解析：B 由题意p＝eq \f(1,2)×(3＋5)＝4，S＝eq \r(44－a4－b4－c)＝eq \r(44－b4－c)＝2eq \r(4－b4－c)≤8－(b＋c)＝3，当且仅当4－b＝4－c，即b＝c＝eq \f(5,2)时等号成立，∴此三角形面积的最大值为3．故选B．
13．写出一个关于a与b的等式，使eq \f(1,a2)＋eq \f(9,b2)是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为__________．
解析：该等式可为a2＋b2＝1，下面证明该等式符合条件．eq \f(1,a2)＋eq \f(9,b2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＋\f(9,b2)))(a2＋b2)＝1＋9＋eq \f(9a2,b2)＋eq \f(b2,a2)≥10＋2eq \r(\f(9a2,b2)·\f(b2,a2))＝16，当且仅当b2＝3a2时取等号，所以eq \f(1,a2)＋eq \f(9,b2)是一个变量，且它的最小值为16．
答案：a2＋b2＝1(答案不唯一)
14．已知f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2＋(b－4)x＋1(a>0，b>0)在x＝1处取得极值，求eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)的最小值．
解：因为f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2＋(b－4)x＋1(a>0，b>0)，所以f′(x)＝x2＋2ax＋b－4．因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝0，所以1＋2a＋b－4＝0，可得2a＋b＝3．所以eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))·eq \f(1,3)·(2a＋b)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(2b,a)＋\f(2a,b)))≥eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2 \r(\f(2b,a)·\f(2a,b))))＝3(当且仅当a＝b＝1时取等号)．
15．(多选)已知a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，则( )
A．a2＋b2＋c2≥eq \f(1,3)
B．ab＋bc＋ac≥eq \f(1,3)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(1,3)))≤0
D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))≥8
解析：AD a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1．A项，1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(a2＋c2)，所以a2＋b2＋c2≥eq \f(1,3)，当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时取等号，故正确；B项，a2＋b2≥2ab，c2＋b2≥2bc，a2＋c2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，由1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3ab＋3bc＋3ac，即ab＋bc＋ac≤eq \f(1,3)，当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时取等号，故错误；C项，当a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,4)，c＝eq \f(1,4)时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(1,3)))>0，故错误；D项，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))＝eq \f(b＋c,a)·eq \f(a＋c,b)·eq \f(a＋b,c)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(c,a)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＋\f(c,b)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,c)＋\f(b,c)))≥2eq \r(\f(b,a)·\f(c,a))·2 eq \r(\f(a,b)·\f(c,b))·2 eq \r(\f(a,c)·\f(b,c))＝8．当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时取等号，故正确．故选A、D．
16．甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的eq \f(1,4)，固定成本为a元．
(1)将全程运输成本y(单位：元)表示为速度v(单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？
解：(1)由题意，得可变成本为eq \f(1,4)v2元，固定成本为a元，所用时间为eq \f(1 000,v)，
所以y＝eq \f(1 000,v)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)v2＋a))＝1 000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)v＋\f(a,v)))，定义域为(0,80]．
(2)y＝1 000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)v＋\f(a,v)))≥1 000×2eq \r(\f(a,4))＝1 000eq \r(a)(元)，当eq \f(1,4)v＝eq \f(a,v)时，得v＝2eq \r(a)，因为0