2025高考数学一轮复习-7.1.2-分类计数原理与分步计数原理的综合应用-专项训练【含解析】

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1. 已知集合M={1，−2,3}，N={−4,5,6，−7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标和纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是（ ）.
A. 12B. 8C. 6D. 4
2. （改编）某人有2个电子邮箱，他要发6封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（ ）种.
A. 128B. 64C. 32D. 40
3. 用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）.
A. 120B. 160C. 180D. 240
4. （改编）某公共停车场有排成一排的8个车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ）.
A. 80B. 24C. 120D. 48
5. 如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.现发现A,B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况的种数为（ ）.
A. 9B. 11C. 13D. 15
6. （改编）如图，∠MON的边OM上有三点A1，A2，A3，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，B1，B2，B3为顶点的三角形的个数为（ ）.
A. 27B. 30C. 42D. 60
7. 甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为（ ）.
A. 8B. 7C. 6D. 5
8. 若从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则所产生的不同对数值的个数为（ ）.
A. 56B. 54C. 53D. 52
综合提升练
9. （多选题）已知集合A={−1,2,3,4}，m，n∈A，则关于方程x2m+y2n=1，下列说法正确的是（ ）.
A. 可表示3个不同的圆B. 可表示6个不同的椭圆
C. 可表示3个不同的双曲线D. 表示焦点位于x轴上的椭圆有3个
10. （多选题）现有4个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人，则下列说法正确的是（ ）.
A. 选1人为这4个兴趣小组的负责人的选法有34种
B. 每组选1名组长的选法有5400种
C. 若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法有420种
D. 若另有3名学生加入这4个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不同的选法有37种
11. 已知正整数有序数对a,b,c,d满足：①a+b+c+d=12;②a2−b2=5.满足条件的正整数有序数对a,b,c,d共有________组.
12. （双空题）如果一个整数的各位数字是左右对称的,那么称这个数是对称数.例如：1234321,123321.显然,两位数的对称数有9个,即11,22,33,⋯ ,99,则三位数的对称数有________个,2n+1n∈N∗位数的对称数有________个.
应用情境练
13. 如果一条直线与一个平面平行，那么称该直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是________
14. 用黑、白两种颜色随机地给表格中的5个格子染色,每个格子染一种颜色,并且从左到右数,不管数到哪个格子,总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为________
创新拓展练
15. 如果一个形如“a1a2a3”的三位正整数满足a1a3，那么称这样的三位数为凸数（如120,343,275等），则所有凸数的个数为________
16. 已知a，b，c∈{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，这样的三角形一共有多少个？
分类计数原理与分步计数原理的综合应用-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. 已知集合M={1，−2,3}，N={−4,5,6，−7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标和纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是（ C ）.
A. 12B. 8C. 6D. 4
[解析]第一象限内不同的点有2×2=4（个），第二象限内不同的点有1×2=2（个），故共有4+2=6（个）.故选C.
2. （改编）某人有2个电子邮箱，他要发6封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（ B ）种.
A. 128B. 64C. 32D. 40
[解析]每封邮件有2种不同的发送方式，故共有26=64 种不同的方法.故选B.
3. 用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ C ）.
A. 120B. 160C. 180D. 240
[解析]根据题意，因为规定一个区域只涂1种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B有4种涂法，D有3种涂法，C有3种涂法，所以共有5×4×3×3=180 种不同的涂色方法.故选C.
4. （改编）某公共停车场有排成一排的8个车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ C ）.
A. 80B. 24C. 120D. 48
[解析]将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排4辆不同型号的车，在4个车位上任意排列，有A44=24 种方法，再将捆绑在一起的4个车位插入5个空档中，有5种方法，故共有24×5=120 种方法.故选C.
5. 如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.现发现A,B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况的种数为（ C ）.
A. 9B. 11C. 13D. 15
[解析]按焊接点脱落的个数分成4类.脱落1个,有1,4,共2种情况;脱落2个,有1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,46种情况;脱落3个,有1,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,44种情况;脱落4个,有1,2,3,41 种情况.
由分类加法计数原理得,焊接点脱落的不同情况的种数为2+6+4+1=13.故选C.
6. （改编）如图，∠MON的边OM上有三点A1，A2，A3，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，B1，B2，B3为顶点的三角形的个数为（ A ）.
A. 27B. 30C. 42D. 60
[解析]分三类:（1）有点O；（2）没点O，在A1，A2，A3中取两个点；（3）没点O，在B1，B2，B3中取两个点.由分类加法计数原理得3×3+C32C31+C32C31=27（个）.故选A.
7. 甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为（ B ）.
A. 8B. 7C. 6D. 5
[解析]根据题意，分两种情况讨论：①乙和甲一起去A 社区，此时将丙、丁二人安排到B，C社区，有A22=2 种情况.②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙、丁都去B 社区，有1种情况;若丙、丁中有1人去B 社区，则先在丙、丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2=4 种情况.故不同的安排方法种数为2+1+4=7.故选B.
8. 若从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则所产生的不同对数值的个数为（ D ）.
A. 56B. 54C. 53D. 52
[解析]在8个数字中任取2个不同的数字共可产生8×7=56 个对数值，在这56个对数值中，lg24=lg39，lg42=lg93，lg23=lg49，lg32=lg94，则满足条件的对数值共有56−4=52（个）.故选D.
综合提升练
9. （多选题）已知集合A={−1,2,3,4}，m，n∈A，则关于方程x2m+y2n=1，下列说法正确的是（ ABD ）.
A. 可表示3个不同的圆B. 可表示6个不同的椭圆
C. 可表示3个不同的双曲线D. 表示焦点位于x轴上的椭圆有3个
[解析]当m=n>0 时，方程x2m+y2n=1 表示圆，故有3个，故A 正确；当m≠n 且m>0，n>0时，方程x2m+y2n=1 表示椭圆，焦点在x 轴，y轴上的椭圆分别有3个，故有3×2=6 个，故B，D正确；当mn