2025高考数学一轮复习-9.2-独立性检验-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-9.2-独立性检验-专项训练【含答案】，共5页。
A.互斥事件 B．相互独立事件
C.对立事件 D．不是相互独立事件
2．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙两贫困户获得扶持资金的概率分别为 eq \f(2,5) 和 eq \f(3,5) ，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为( )
A. eq \f(2,15) B． eq \f(2,5) C． eq \f(19,25) D． eq \f(8,15)
3．设两个独立事件A和B都不发生的概率为 eq \f(1,9) ，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( )
A. eq \f(2,9) B． eq \f(1,18) C． eq \f(1,3) D． eq \f(2,3)
4．两个人通过某项专业测试的概率分别为 eq \f(1,2) ， eq \f(2,3) ，他们一同参加测试，则至多有一人通过的概率为________．
5．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是 eq \f(1,2) ，乙能解决的概率是 eq \f(1,3) ，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．
6．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)2人都射中目标的概率；
(2)2人中恰有1人射中目标的概率；
(3)2人至少有1人射中目标的概率；
(4)2人至多有1人射中目标的概率．
7．某零件的加工共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%，3%，5%，3%，假设各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为( )
A.22.5% B．15.5%
C.15.3% D．12.4%
8．(多选)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是( )
A.P(B)＝ eq \f(7,10) B．P(A∪B)＝ eq \f(9,10)
C.P(A∩B)＝0 D．P(A∪B)＝P(C)
9．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A. eq \f(3,4) B． eq \f(2,3)
C. eq \f(3,5) D． eq \f(1,2)
10．若P(AB)＝ eq \f(1,9) ，P( eq \(A,\s\up6(－)) )＝ eq \f(2,3) ，P(B)＝ eq \f(1,3) ，则事件A与B的关系是( )
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又独立
11．(多选)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有( )
A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”
B.袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球”
C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”
D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”
12．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是 eq \f(1,2) ，且是互相独立的，求灯亮的概率．
13．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A＋B)＝________；当A，B互斥时，P(A＋B)＝________．
14．为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为P)和所需费用如下表：
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．
参考答案与解析
1．答案：D
解析：根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．
2．答案：C
解析：两户中至少有一户获得扶持资金的概率为P＝ eq \f(2,5) × eq \f(2,5) ＋ eq \f(3,5) × eq \f(3,5) ＋ eq \f(2,5) × eq \f(3,5) ＝ eq \f(19,25) .
3．答案：D
解析：由P(A eq \(B,\s\up6(－)) )＝P(B eq \(A,\s\up6(－)) )，得P(A)P( eq \(B,\s\up6(－)) )＝P(B)P( eq \(A,\s\up6(－)) )，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B).又P( eq \(A,\s\up6(－)) eq \(B,\s\up6(－)) )＝ eq \f(1,9) ，
∴P( eq \(A,\s\up6(－)) )＝P( eq \(B,\s\up6(－)) )＝ eq \f(1,3) ，∴P(A)＝ eq \f(2,3) .
4．答案： eq \f(2,3)
解析：二人均通过的概率为 eq \f(1,2) × eq \f(2,3) ＝ eq \f(1,3) ，
∴至多有一人通过的概率为1－ eq \f(1,3) ＝ eq \f(2,3) .
5．答案： eq \f(1,3) eq \f(2,3)
解析：甲、乙两人都未能解决的概率为
(1－ eq \f(1,2) )(1－ eq \f(1,3) )＝ eq \f(1,2) × eq \f(2,3) ＝ eq \f(1,3) ，
问题得到解决就是至少有1人能解决问题，
∴P＝1－ eq \f(1,3) ＝ eq \f(2,3) .
6．解析：设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B， eq \(A,\s\up6(－)) 与B，A与 eq \(B,\s\up6(－)) ， eq \(A,\s\up6(－)) 与 eq \(B,\s\up6(－)) 为相互独立事件，且P(A)＝0.8，P(B)＝0.9.
(1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A eq \(B,\s\up6(－)) 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件 eq \(A,\s\up6(－)) B发生).根据题意，事件A eq \(B,\s\up6(－)) 与 eq \(A,\s\up6(－)) B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为
P(A eq \(B,\s\up6(－)) )＋P( eq \(A,\s\up6(－)) B)＝P(A)P( eq \(B,\s\up6(－)) )＋P( eq \(A,\s\up6(－)) )P(B)
＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9
＝0.08＋0.18＝0.26.
(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况，其概率为P＝P(AB)＋[P(A eq \(B,\s\up6(－)) )＋P( eq \(A,\s\up6(－)) B)]＝0.72＋0.26＝0.98.
(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，故所求概率为P＝P( eq \(A,\s\up6(－)) eq \(B,\s\up6(－)) )＋P(A eq \(B,\s\up6(－)) )＋P( eq \(A,\s\up6(－)) B)＝P( eq \(A,\s\up6(－)) )P( eq \(B,\s\up6(－)) )＋P(A)P( eq \(B,\s\up6(－)) )＋P( eq \(A,\s\up6(－)) )P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
7．答案：D
解析：四道工序中只要有一道工序加工出次品，则加工出来的零件就是次品．设“加工出来的零件是次品”为事件A，则P( eq \(A,\s\up6(－)) )＝(1－2%)×(1－3%)×(1－5%)×(1－3%)≈87.6%，故加工出来的零件的次品率为12.4%.
8．答案：ABC
解析：由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P(B)＝ eq \f(7,10) ，P(A)＝ eq \f(2,10) ，P(C)＝ eq \f(1,10) 则P(A∪B)＝ eq \f(9,10) ，故A、B，C正确，D错误．故选ABC.
9．答案：A
解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝ eq \f(1,2) ；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,4) .故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝ eq \f(3,4) .
10．答案：C
解析：因为P( eq \(A,\s\up6(－)) )＝ eq \f(2,3) ，
所以P(A)＝ eq \f(1,3) ，
又P(B)＝ eq \f(1,3) ，P(AB)＝ eq \f(1,9) ，
所以有P(AB)＝P(A)P(B)，
所以事件A与B相互独立但不互斥．
11．答案：CD
解析：A中，M，N是互斥事件，不相互独立；B中，M，N不是相互独立事件；C中，P(M)＝ eq \f(1,2) ，P(N)＝ eq \f(1,2) ，P(MN)＝ eq \f(1,4) ，P(MN)＝P(M)P(N)，因此M，N是相互独立事件；D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件．
12．解析：记A，B，C，D这4个开关闭合分别为事件A，B，C，D，又记A与B至少有一个不闭合为事件 eq \(E,\s\up6(－)) ，
则P( eq \(E,\s\up6(－)) )＝P(A eq \(B,\s\up6(－)) )＋P( eq \(A,\s\up6(－)) B)＋P( eq \(A,\s\up6(－)) eq \(B,\s\up6(－)) )＝ eq \f(3,4) ，
则灯亮的概率为P＝1－P( eq \(E,\s\up6(－)) eq \(C,\s\up6(－)) eq \(D,\s\up6(－)) )＝1－P( eq \(E,\s\up6(－)) )P( eq \(C,\s\up6(－)) )P( eq \(D,\s\up6(－)) )＝1－ eq \f(3,16) ＝ eq \f(13,16) .
13．答案：0.65 0.8
解析：当A，B相互独立时，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.
当A，B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
14．解析：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元，由题表可知，采用甲措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.
方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元．由题表可知，联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率为1－(1－0.9)×(1－0.7)＝0.97.
联合甲、丁或乙、丙或乙、丁或丙、丁两种预防措施，此突发事件不发生的概率均小于0.97.
所以联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.97.
方案3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，
故只能联合乙、丙、丁三种预防措施．
此时突发事件不发生的概率为
1－(1－0.8)×(1－0.7)×(1－0.6)＝0.976.
由三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使突发事件不发生的概率最大．
预防措施
甲
乙
丙
丁
P
0.9
0.8
0.7
0.6
费用(万元)
90
60
30
10