2025年高考数学一轮复习-导数构造函数13种题型-专项训练【含解析】

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【典例分析】
函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
【变式演练】
1.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是
2.已知的定义域为0,+∞，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A．B．2,+∞C．D．1,+∞
3.设函数在R上可导，其导函数为，且．则下列不等式在R上恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【题型二】 利用f（x）/x构造型
【典例分析】
函数在定义域0,+∞内恒满足：①，②，其中为的导函数，则
A．B．C．D．
【变式演练】
1.已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
2.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【题型三】 利用ef（x）构造型
【典例分析】
已知函数在上 可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是
A．B．C．D．
【变式演练】
1.已知是上可导的图象不间断的偶函数，导函数为，且当时，满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2.设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
3.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【题型四】 用f（x）/e构造型
【典例分析】
已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有
A．
B．
C．
D．
【变式演练】
1.已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
2.已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有
A．
B．
C．
D．
3.已知定义在上的可导函数满足：，则与的大小关系是
A．B．C．D．不确定
【题型五】 利用sinx与f（x）构造型
【典例分析】
已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则
A．B．
C．D．
【变式演练】
1.已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（ ）
A．B．
C．D．
2.已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3.设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【题型六】 利用csx与f（x）构造型
【典例分析】
已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2.已知函数的定义域为，其导函数为.若，且，则下列结论正确的是
A．是增函数B．是减函数C．有极大值D．有极小值
【题型七】 复杂型：e与af（x）+bg(x)等构造型
【典例分析】
设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式演练】
1.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为__________.
2.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
3.设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为
A．B．
C．D．
【题型八】 复杂型：（kx+b）与f（x）型
【典例分析】
已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数，当时，，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【变式演练】
1.设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2.已知定义域为的函数满足，其中为的导函数，则当时，不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3.已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【题型九】 复杂型：与ln（kx+b）结合型
【典例分析】
设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值D．既无极大值也无极小值
【变式演练】
1.．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2.设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（ ）
A．B．
C．D．
3.已知定义在上的连续奇函数的导函数为，已知，且当时有成立，则使成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【题型十】 复杂型：基础型添加因式型
【典例分析】
已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.定义在0,+∞上的函数的导函数满足，则下列不等式中，一定成立的是
A．B．
C．D．
2.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，则关于不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3.已知函数为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立，，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【题型十一】 复杂型：二次构造
【典例分析】
已知是函数的导函数，且对于任意实数都有，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式演练】
1.已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型十二】 综合构造
【典例分析】
定义在上的连续函数的导函数为，且成立，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式演练】
1.已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
2.定义在上的函数的导函数为，当时，且，.则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3.已知函数的定义域为，且是偶函数，（为的导函数）.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【题型十三】 技巧计算型构造
【典例分析】
定义在上的函数的导函数为，若，且，则
A．B．
C．D．
【变式演练】
1.已知是定义在上的奇函数,记的导函数为,当时,满足.若使不等式成立,则实数的最小值为
A．B．C．D．
2.定义在上的函数满足:是的导函数, 则不等式的解集为
A．B．C．D．
3.已知函数在上处处可导，若，则（ ）
A．一定小于 B．一定大于
C．可能大于 D．可能等于
【课后练习】
1.已知定义在上的函数的导函数为，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2.定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则（ ）
A．B．C．D．
3.已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4.若函数满足：，，其中为的导函数，则函数在区间的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5.若定义域为的函数的导函数为，并且满足，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6.已知是定义在上的函数，是的导函数，且满足，，则的解集为
A．B．C．D．
7.设函数是函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8.设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．B．
C．D．
9.已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为
A．B．
C．D．
10.设函数是偶函数的导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11.已知定义在R上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
12.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有唯一一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13.已知定义在上的奇函数，导函数为，且当时，，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
14.设函数f(x)的导函数为，f(0)=1，且,则的解集是
A．B．C．D．
15.已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是__________．
16.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
17．已知定义在上的函数的导函数为、的图象关于点对称，且对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
第7讲 导数构造函数13类 【解析版】
【题型一】 利用x f（x）构造型
【典例分析】
函数 是定义在区间 上的可导函数，其导函数为 ，且满足 ，则不等式 的解集为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
设 ，则 ，由已知当 时， ， 是增函数，不等式 等价于 ，所以 ，解得 ．
点睛：本题考查导数的综合应用，解题关键是构造新函数 ，从而可以利用已知的不等式关系判断其导数的正负，以确定新函数的单调性，在构造新函数时，下列构造经常用： ， ， ， ，构造新函数时可结合所要求的问题确定新函数的形式．
【变式演练】
1.已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ，若 ，则 的大小关系正确的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
分析：构造函数 ，利用已知条件确定 的正负，从而得其单调性．
详解：设 ，则 ，∵ ，即 ，∴当 时， ，当 时， ， 递增．又 是奇函数，∴ 是偶函数，∴ ， ，∵ ，∴ ，即 ．
故选C．
2.已知 的定义域为 ， 为 的导函数，且满足 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，构造函数 ，结合函数的单调性解不等式，即可求解.
【详解】
根据题意，构造函数 ， ，则 ，
所以函数 的图象在 上单调递减.
又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 或 （舍）.
所以不等式 的解集是 .
故选：B.
3.设函数 在R上可导，其导函数为 ，且 ．则下列不等式在R上恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据给定不等式构造函数 ，利用导数探讨 的性质即可判断作答.
【详解】
依题意，令函数 ，则 ，
因 ，于是得 时 ， 时 ，
从而有 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此得： ，而 ，即f(x)不恒为0，
所以 恒成立.故选：A
【题型二】 利用f（x）/x 构造型
【典例分析】
函数 在定义域 内恒满足：① ，② ，其中 为 的导函数，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令 ， ， ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴函数 在 上单调递增，∴ ，即 ， ，
令 ， ， ，
∵ ， ， ，
∴函数 在 上单调递减，∴ ，即 ， ，故选D.
【变式演练】
1.已知定义在 上的偶函数 ，其导函数为 ，若 ， ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题目中信息其导函数为 ，若 可知，需构造函数 ，
利用导函数判断函数 的单调性，利用函数 的单调性、奇偶性来解题，当 时，即 ， ，当 时，即 ， .
【详解】构造函数 , ,
当 时， ，故 ， 在 上单调递增，
又 为偶函数， 为偶函数，所以 为偶函数，在 单调递减.
,则 ， ; ，
当 时，即 ， ，所以 ；
当 时，即 ， ，所以 .
综上所述， .故选：A
2.已知定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由 ，可得 ，令 ，对其求导可得 ，可得函数 在 上单调递增，可得 ， 可得原不等式的解集.
【详解】
解：因为 ，所以 ，即 .
令 ，则 ，所以函数 在 上单调递增.又因为 ，不等式 ，可变形为 ，即 ，所以 ，即不等式 的解集为 .
故选：C.
【题型三】 利用e f（x）构造型
【典例分析】
已知函数 在 上 可导，其导函数为 ，若 满足：当 时， >0， ，则下列判断一定正确的是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数 ,结合导函数,判定 的单调性, 得 对称轴,对选项判断即可.
【详解】
构造函数 ,计算导函数得到 = ，由 >0,得当 , >0 当 时,