2025年高考数学一轮复习-第五章 数列-第4讲 数列求和-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第五章 数列-第4讲 数列求和-专项训练【含解析】，共10页。
A. 990 B. 1000 C. 1100 D. 99
2. 若数列{an} 的通项公式为an=2n+2n−1 ,则数列{an} 的前n 项和Sn= ( )
A. 2n+n2−1 B. 2n+1+n2−1 C. 2n+n−2 D. 2n+1+n2−2
3.已知数列{an} 满足an+1=ancsnπ+3n ，则数列{an} 的前12项和为( )
A. 64 B. 150 C. 108 D. 240
4. 已知在等差数列{an} 中，an=−4n+5 ，等比数列{bn} 的公比q 满足q=an−an−1n≥2 且b1=a2 ,则b1+b2+…+bn= ( )
A. 1−4n B. 4n−1 C. 1−4n3 D. 4n−13
5. （多选）已知数列{an} 满足a1=1 ,an+2=−1n+1an−n+n ，记{an} 的前n 项和为Sn ，则( )
A. a48+a50=100 B. a50−a46=4 C. S48=600 D. S49=601
6. 已知数列{an} 的前n 项和为Sn ,a1=1 .当n≥2 时，an+2Sn−1=n ,则S2023= .
7.已知数列{an} 满足a1=2 ，a2=4 ，an+2−an=−1n+3 ，则数列{an} 的前20项和为 .
8. 已知函数fx=2x2x+1x∈R ，等差数列{an} 满足a211=0 ，则fa1+fa2+fa3+…+fa421= .
9.已知数列{an} 满足a1=1 ，an+1=an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.
（1） 记bn=a2n ，写出b1 ，b2 ，并求数列{bn} 的通项公式；
（2） 求{an} 的前20项和.
[B级 综合运用]
10.已知数列{an} 满足an+2+−1nan=3 ，a1=1 ，a2=2 ,数列{an} 的前n 项和为Sn ，则S30= ( )
A. 351 B. 353 C. 531 D. 533
11. [2023·辽宁实验中学模拟]已知数列{an} 的通项公式为an=2n+1n2n+12n∈N∗ ，则该数列的前8项和为 .
12.已知数列{an} 的通项公式为an=19−2n ,n∈N∗ ,则其前20项的和为 .
13. 在正项数列{an} 中，满足a1=1 ,a2=12 ,1an+1=1an⋅1an+2n∈N∗ ,则a1⋅a3+a2⋅a4+a3⋅a5+…+an⋅an+2= .
14. 在等差数列{an} 中，已知a6=12 ,a18=36 .
（1） 求数列{an} 的通项公式an ;
（2） 若 ，求数列{bn} 的前n 项和Sn ,在①bn=4anan+1 ；②bn=−1n⋅an ；③bn=2an⋅an 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
[C级 素养提升]
15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x∈R ，用[x] 表示不超过x 的最大整数，则fx=[x] 称为高斯函数.已知数列{an} 满足a1=1 ，且n+1an+1−nan=2n+1 ，若bn=[lgan] ，数列{bn} 的前n 项和为Tn ，则T2023= ( )
A. 4956 B. 4959 C. 4962 D. 4965
16. 已知数列{an} 满足a1=1 ,an+1=2an+2n,n为奇数，−an−n−1,n为偶数， 记数列{an} 的前n 项和为Sn ,bn=a2n ,n∈N∗ .
（1） 求证数列{bn} 为等比数列，并求其通项公式bn ;
（2） 求{nbn} 的前n 项和Tn .
2025年高考数学一轮复习-第五章 数列-第4讲 数列求和-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 在数列{an} 中a1=2 ,a2=2 ,an+2−an=1+−1n ,n∈N∗ ,则S60 的值为( A )
A. 990 B. 1000 C. 1100 D. 99
[解析]选A.n 为奇数时，an+2−an=0 ,an=2 ;n 为偶数时，an+2−an=2 ,an=n .故S60=2×30+2+4+…+60=990 .
2. 若数列{an} 的通项公式为an=2n+2n−1 ,则数列{an} 的前n 项和Sn= ( D )
A. 2n+n2−1 B. 2n+1+n2−1 C. 2n+n−2 D. 2n+1+n2−2
[解析]选D.Sn=a1+a2+…+an=2+22+…+2n+1+3+…+2n−1=21−2n1−2+n[1+2n−1]2=2n+1+n2−2 .故选D.
3.已知数列{an} 满足an+1=ancsnπ+3n ，则数列{an} 的前12项和为( C )
A. 64 B. 150 C. 108 D. 240
[解析]选C.根据题意，分别代入n=1 ,2 ,3 可得，a2=−a1+3 ，a3=a2+6=−a1+9 ，a4=−a3+9=a1 ，a1+a2+a3+a4=12 .由csnπ 周期为2，同理可得a5+a6+a7+a8=36 ，a9+a10+a11+a12=60 .所以S12=12+36+60=108 .故选C.
4. 已知在等差数列{an} 中，an=−4n+5 ，等比数列{bn} 的公比q 满足q=an−an−1n≥2 且b1=a2 ,则b1+b2+…+bn= ( B )
A. 1−4n B. 4n−1 C. 1−4n3 D. 4n−13
[解析]选B.因为q=an−an−1=−4 ,b1=a2=−3 ,
所以bn=b1qn−1=−3×−4n−1 .
所以bn=−3×−4n−1=3×4n−1 ,
即{bn} 是首项为3，公比为4的等比数列.
所以b1+b2+…+bn=31−4n1−4=4n−1 .故选B.
5. （多选）已知数列{an} 满足a1=1 ,an+2=−1n+1an−n+n ，记{an} 的前n 项和为Sn ，则( BCD )
A. a48+a50=100 B. a50−a46=4 C. S48=600 D. S49=601
[解析]选BCD.因为a1=1 ，an+2=−1n+1an−n+n ,所以当n 为奇数时，an+2=an=a1=1 ；当n 为偶数时，an+an+2=2n .所以a48+a50=96 ，A错误；又因为a46+a48=92 ，所以a50−a46=4 ，B正确；S48=a1+a3+a5+…+a47+[a2+a4+a6+a8+…+a46+a48]
=24×1+2×2+6+…+46=24+2×2+46×122=600 ，C正确；S49=S48+a49=600+1=601 ，D正确.故选BCD.
6. 已知数列{an} 的前n 项和为Sn ,a1=1 .当n≥2 时，an+2Sn−1=n ,则S2023= 1 012.
[解析]由an+2Sn−1=nn≥2 ,得an+1+2Sn=n+1 ,两式作差可得an+1−an+2an=1n≥2 ,即an+1+an=1n≥2 ,所以S2023=1+20222×1=1012 .
7.已知数列{an} 满足a1=2 ，a2=4 ，an+2−an=−1n+3 ，则数列{an} 的前20项和为330.
[解析]由题意，当n 为奇数时，an+2−an=−1+3=2 ，所以数列{a2n−1} 是首项为2，公差为2的等差数列，所以a2n−1=2+2n−1=2n ；当n 为偶数时，an+2−an=1+3=4 ，所以数列{a2n} 是首项为4，公差为4的等差数列，所以a2n=4+4n−1=4n ，
S20=a1+a2+…+a20=a1+a3+…+a19+a2+a4+…+a20
=2+4+…+20+4+8+…+40=10×2+202+10×4+402=330 .
8. 已知函数fx=2x2x+1x∈R ，等差数列{an} 满足a211=0 ，则fa1+fa2+fa3+…+fa421= 4212 .
[解析]fx+f−x=2x2x+1+2−x2−x+1=2x2x+1+12x+1=1 .
依题意{an} 是等差数列，
令S=fa1+fa2+fa3+…+fa421 ，
S=fa421+fa420+fa419+…+fa1 ，
结合等差数列的性质，可得ak+a422−k=2a211=0 ，两式相加得2S=1×421 ,所以S=4212 .
9.已知数列{an} 满足a1=1 ，an+1=an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.
（1） 记bn=a2n ，写出b1 ，b2 ，并求数列{bn} 的通项公式；
[答案]解：因为bn=a2n ,且a1=1 ,an+1=an+1,n为奇数，an+2,n为偶数，
所以b1=a2=a1+1=2 ,
b2=a4=a3+1=a2+2+1=5 .
因为bn=a2n ,所以bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3 ,
所以bn+1−bn=a2n+3−a2n=3 ,
所以数列{bn} 是以2为首项，3为公差的等差数列，bn=2+3n−1=3n−1 ,n∈N∗ .
（2） 求{an} 的前20项和.
[答案]因为an+1=an+1,n为奇数，an+2,n为偶数，
所以k∈N∗ 时，a2k=a2k−1+1=a2k−1+1 ,
即a2k=a2k−1+1 ,①
a2k+1=a2k+2 ,②
a2k+2=a2k+1+1=a2k+1+1 ,即a2k+2=a2k+1+1 ,③
所以①+②得a2k+1=a2k−1+3 ，即a2k+1−a2k−1=3 ,
所以数列{an} 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
②+③得a2k+2=a2k+3 ,即a2k+2−a2k=3 ,
又a2=2 ,所以数列{an} 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.
所以数列{an} 的前20项和S20=a1+a3+a5+…+a19+a2+a4+a6+…+a20=10+10×92×3+20+10×92×3=300 .
[B级 综合运用]
10.已知数列{an} 满足an+2+−1nan=3 ，a1=1 ，a2=2 ,数列{an} 的前n 项和为Sn ，则S30= ( B )
A. 351 B. 353 C. 531 D. 533
[解析]选B.依题意，an+2+−1nan=3 ，显然，当n 为奇数时，an+2−an=3 ，
即有a3−a1=3 ，a5−a3=3 ，… ，a2n+1−a2n−1=3 ，
令bn=a2n−1 ，故bn+1−bn=3 ，
所以数列{bn} 是首项为1，公差为3的等差数列，故bn=3n−2 ；
当n 为偶数时，an+2+an=3 ，
即a4+a2=3 ，a6+a4=3 ，… ，a2n+2+a2n=3 ，
所以S30=a1+a3+…+a29+a2+a4+…+a30
=b1+b2+…+b15+[a2+a4+a6+…+a28+a30]
=1+432×15+2+7×3=353 .故选B.
11. [2023·辽宁实验中学模拟]已知数列{an} 的通项公式为an=2n+1n2n+12n∈N∗ ，则该数列的前8项和为8081 .
[解析]因为an=2n+1n2n+12=1n2−1n+12 ，
所以S8=1−122+122−132+…+182−192=1−181=8081 .
12.已知数列{an} 的通项公式为an=19−2n ,n∈N∗ ,则其前20项的和为202.
[解析]an=∣19−2n∣=19−2n,n≤9,2n−19,n≥10,n∈N∗ ,
所以{an} 的前20项和S20=a1+a2+…+a9+a10+a11+…+a20=17+15+…+1+1+3+…+21=9×17+12+11×1+212=81+121=202 .
13. 在正项数列{an} 中，满足a1=1 ,a2=12 ,1an+1=1an⋅1an+2n∈N∗ ,则a1⋅a3+a2⋅a4+a3⋅a5+…+an⋅an+2= 131−14n .
[解析]由1an+1=1an⋅1an+2n∈N∗ ,可得an+12=anan+2 ,所以数列{an} 为等比数列.
因为a1=1 ,a2=12 ,所以q=12 ,所以an=12n−1 ,所以an⋅an+2=12n−1⋅12n+1=14n ,所以a1⋅a3=14 ,a1⋅a3+a2⋅a4+a3⋅a5+…+an⋅an+2=141−14n1−14=131−14n .
14. 在等差数列{an} 中，已知a6=12 ,a18=36 .
（1） 求数列{an} 的通项公式an ;
[答案]解：由题意知a1+5d=12,a1+17d=36, 解得d=2,a1=2.
所以an=2+n−1×2=2n .
（2） 若 ，求数列{bn} 的前n 项和Sn ,在①bn=4anan+1 ；②bn=−1n⋅an ；③bn=2an⋅an 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
[答案]选条件①.
由（1）知，bn=42n⋅2n+1=1nn+1 ,
则Sn=11×2+12×3+…+1nn+1
=11−12+12−13+…+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1 .
选条件②.
因为an=2n ,bn=−1nan=−1n⋅2n ,
所以Sn=−2+4−6+8−…+−1n⋅2n ,
当n 为偶数时，
Sn=−2+4+−6+8+…+[−2n−1+2n]=n2×2=n ;
当n 为奇数时，n−1 为偶数，
Sn=n−1−2n=−n−1 .
所以Sn=n,n为偶数，−n−1,n为奇数.
选条件③.
因为an=2n ,bn=2an⋅an ,
所以bn=22n⋅2n=2n⋅4n ,
所以Sn=2×41+4×42+6×43+…+2n⋅4n ,①
4Sn=2×42+4×43+6×44+…+2n−1⋅4n+2n⋅4n+1 ,②
①-②得
−3Sn=2×41+2×42+2×43+…+2×4n−2n⋅4n+1
=41−4n1−4×2−2n⋅4n+1
=81−4n−3−2n⋅4n+1 ,
所以Sn=891−4n+2n3⋅4n+1 .
[C级 素养提升]
15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x∈R ，用[x] 表示不超过x 的最大整数，则fx=[x] 称为高斯函数.已知数列{an} 满足a1=1 ，且n+1an+1−nan=2n+1 ，若bn=[lgan] ，数列{bn} 的前n 项和为Tn ，则T2023= ( C )
A. 4956 B. 4959 C. 4962 D. 4965
[解析]选C. 由2a2−a1=3，3a3−2a2=5，…，nan−n−1an−1=2n−1， 累加得nan−a1=3+5+…+2n−1 ，又a1=1 ， 所以nan=1+3+5+…+2n−1=n2 ，n=1 也符合此式，则an=n ，故bn=[lgn] ，则1≤n≤9 时,bn=0 ；10≤n≤99 时,bn=1 ；100≤n≤999 时,bn=2 ;1000≤n≤2023 时,bn=3 ，所以T2023=9×0+90×1+900×2+1024×3=4962 .故选C.
16. 已知数列{an} 满足a1=1 ,an+1=2an+2n,n为奇数，−an−n−1,n为偶数， 记数列{an} 的前n 项和为Sn ,bn=a2n ,n∈N∗ .
（1） 求证数列{bn} 为等比数列，并求其通项公式bn ;
[答案]解：由题意得，bn+1=a2n+2=2a2n+1+22n+1
=2−a2n−2n−1+4n+2=−2a2n=−2bn ,
又b1=a2=2a1+2=4 ,
所以数列{bn} 是以4为首项，−2 为公比的等比数列，因此bn=4×−2n−1=−2n+1 .
（2） 求{nbn} 的前n 项和Tn .
[答案]由（1）得
Tn=b1+2b2+3b3+…+nbn
=−22+2×−23+3×−24+…+n×−2n+1 ,①
则−2Tn=−23+2×−24+3×−25+…+n×−2n+2 ,②
①-②得
3Tn=−22+−23+−24+−25+…+−2n+1−n×−2n+2
=−22−−2n+21+2−n×−2n+2 ,
则Tn=49−n3+19×−2n+2 .