2025年高考数学一轮复习-函数与基本初等函数(基础巩固卷)【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-函数与基本初等函数(基础巩固卷)【含答案】，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数y＝lg(－x2－x＋2)的定义域为集合M，函数y＝sin x的值域为N，则M∩N＝( )
A.∅ B.(－2，1] C.[－1，1) D.[－1，1]
2.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝ln(－x＋1)，则f(1)＝( )
A.－ln 2 B.ln 2 C.0 D.1
3.设a＝lgπ0.3，b＝0.3π，c＝3－π，则( )
A.a＞c＞b B.b＞c＞a
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
4.某特种冰箱的食物保鲜时间y(单位：小时)与设置储存温度x(单位：℃)近似满足函数关系y＝3kx＋b(k，b为常数)，若设置储存温度0 ℃的保鲜时间近似是288小时，设置储存温度5 ℃的保鲜时间近似是144小时，则设置储存温度15 ℃的保鲜时间近似是( )
A.36小时 B.48小时
C.60小时 D.72小时
5.已知函数f(x)＝ln x，则函数y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1－x)))的图象大致为( )
6.已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax2，x∈（0，1），,lgax，x∈[1，2），))若f(x)＝eq \f(a,2)有两个不同的解，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) C.(1，2] D.(1，2)
7.饮酒驾车、醉酒驾车是严重违反《道路交通安全法》的违法行为，将受到法律处罚.检测标准为“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 mL，小于80 mg/100 mL的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80 mg/100 mL的驾驶行为.”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上一小时降低20%.某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100 mg/100 mL，若经过n(n∈N*)小时，该人血液中的酒精含量小于20 mg/100 mL，则n的最小值为(参考数据：lg 2≈0.301 0)( )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝eq \f(ex,ex＋1)－eq \f(1,2)，则函数y＝[f(x)]的值域为( )
A.{0} B.{－1，0}
C.{－2，－1，0} D.{－1，0，1}
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，值域为R，则( )
A.函数f(x2＋1)的定义域为R
B.函数f(x2＋1)－1的值域为R
C.函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ex＋1,ex)))的定义域和值域都是R
D.函数f(f(x))的定义域和值域都是R
10.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x3＋x2＋1，x＜0，,2x＋3x－5，x≥0.))若函数y＝f(x)－eq \f(a,27)恰有3个零点，则满足条件的整数a的值可以为( )
A.27 B.28 C.29 D.30
11.关于函数f(x)＝lgeq \f(1,2)|x－1|，下列选项正确的是( )
A.函数f(x)在区间(－∞，1)上单调递增
B.函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
C.函数f(x)的定义域为(1，＋∞)
D.函数f(x)的值域为R
12.设函数y＝f(x)的定义域是R，下列选项正确的是( )
A.若y＝f(x)是奇函数，则y＝f(f(x))也是奇函数
B.若y＝f(x)是周期函数，则y＝f(f(x))也是周期函数
C.若y＝f(x)是减函数，则y＝f(f(x))也是减函数
D.若函数y＝f(x)存在反函数记为y＝f－1(x)，且函数y＝f(x)－f－1(x)有零点，则函数y＝f(x)－x也有零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2|x|，x≤0，,lg2x，x＞0，))若f(t)＋f(－1)＝0，则t＝________.
14.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(x)成立，当x∈[－1，1]时，f(x)＝eq \f(a－2x,1＋2x)，则a＝________.当x∈[1，3]时，f(x)＝________.
15.已知函数f(x)＝lg2x，g(x)＝2x＋a，若存在x1，x2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得f(x1)＝g(x2)，则a的取值范围是________.
16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，当x＜0时，f(1＋x)＝f(x)，当x∈(0，1]时，f(x)＝x2.若函数F(x)＝(x－1)f(x)－1在区间[a，b](a，b∈Z)上有8个零点，则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的序号)
①a＝－4，b＝5；②a＝－3，b＝5；③a＝－4，b＝6；④a＝－3，b＝6.
四、解答题：本题共2小题，每题10分，共20分.
17.(10分)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0，b∈R)在区间[2，4]上有最小值1和最大值9，设f(x)＝eq \f(g（x）,x).
(1)求a，b的值.
(2)若不等式f(3x)－k·3x≥0在x∈[－1，1]上有解，求实数k的取值范围.
18.(10分)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(－x)＋kf(x)＝0，其中k为整数，则称函数f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”.
(1)若f(x)＝lg3(2x＋m)是(－1，1)上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；
(2)若f(x)＝x2＋4x＋t对任意的实数t∈(－∞，4]，f(x)恒为R上的“k阶局部奇函数”，求整数k的最大值.
参考答案
1.C [由题得－x2－x＋2＞0，解得－2＜x＜1，所以M＝(－2，1).又N＝[－1，1]，故M∩N＝[－1，1)，故选C.]
2.A [因为f(x)为奇函数，所以f(1)＝－f(－1)，而f(－1)＝ln[－(－1)＋1]＝ln 2，所以f(1)＝－ln 2，故选A.]
3.C [a＝lgπ0.3＜0，b＝0.3π∈(0，1)，c＝3－π＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(π)＞0.3π＝b，所以c＞b＞a，故选C.]
4.A [由题意可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3b＝288，,35k＋b＝144，))∴35k＋b＝35k×3b＝144，∴35k＝eq \f(144,288)＝eq \f(1,2).∴当x＝15时，y＝315k＋b＝315k×3b＝(35k)3×3b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)×288＝eq \f(1,8)×288＝36，故设置储存温度15 ℃的保鲜时间近似是36小时.故选A.]
5.D [y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1－x)))＝lneq \f(1,1－x)，由eq \f(1,1－x)＞0，得x＜1，所以函数的定义域为(－∞，1)，排除选项A和B；设u＝eq \f(1,1－x)，y＝ln u，因为函数u＝eq \f(1,1－x)在x∈(－∞，1)上是增函数，函数y＝ln u在u∈(0，＋∞)上是增函数，所以函数y＝lneq \f(1,1－x)在(－∞，1)上是增函数，排除选项C，故选D.]
6.D [由题意，知a＞0且a≠1.
若0＜a＜1，则当x∈(0，1)时，ax2＞0，且y＝ax2单调递增，当x∈[1，2)时，lgax≤0，且y＝lgax单调递减，所以f(x)＝eq \f(a,2)不可能有两个不同的解.若a＞1，则当x∈(0，1)时，ax2＞0，且y＝ax2单调递增，当x∈[1，2)时，lgax≥0，且y＝lgax单调递增，所以若f(x)＝eq \f(a,2)有两个不同的解，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a×12＞\f(a,2)①，,lga2＞\f(a,2)②，))①显然成立，因为a越大，lga2的值越小，eq \f(a,2)的值却越大，所以方程lga2＝eq \f(a,2)有唯一解a＝2，所以1＜a＜2.综上，a∈(1，2)，故选D.]
7.B [根据题意，经过n小时后，该人血液中的酒精含量为100×0.8n，则100×0.8n＜20，所以n＞eq \f(lg 0.2,lg 0.8)＝eq \f(lg 2－1,3lg 2－1)≈eq \f(0.301 0－1,3×0.301 0－1)≈7.2，n∈N*，所以n的最小值为8，故选B.]
8.B [由题意知函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝eq \f(e－x,e－x＋1)－eq \f(1,2)，f(－x)＋f(x)＝eq \f(e－x,e－x＋1)－eq \f(1,2)＋eq \f(ex,ex＋1)－eq \f(1,2)＝0，所以f(x)为奇函数，且f(x)＝eq \f(ex,ex＋1)－eq \f(1,2)在(0，＋∞)上单调递增.又f(x)＝eq \f(ex,ex＋1)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,ex＋1)，当x→＋∞时，f(x)→eq \f(1,2)；由f(x)为奇函数可知，当x→－∞时，f(x)→－eq \f(1,2)，
所以f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，
则y＝[f(x)]的值域为{－1，0}，故选B.]
9.BC [对于选项A：令x2＋1＞1，可得x≠0，所以函数f(x2＋1)的定义域为{x|x≠0}，故选项A不正确；
对于选项B：因为f(x)的值域为R，x2＋1＞1，所以f(x2＋1)的值域为R，可得函数f(x2＋1)－1的值域为R，故选项B正确；
对于选项C：令eq \f(ex＋1,ex)＞1，因为ex＞0在x∈R时恒成立，所以函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ex＋1,ex)))的定义域为R.因为eq \f(ex＋1,ex)＞1，所以函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ex＋1,ex)))的值域为R，故选项C正确；
对于选项D：若函数f(f(x))的值域是R，则f(x)＞1，此时无法判断其定义域是不是R，故选项D不正确.故选BC.]
10.BCD [当x≥0时，f(x)＝2x＋3x－5单调递增，此时函数f(x)的取值范围为[－3，＋∞)；
当x＜0时，f′(x)＝3x2＋2x，由f′(x)＝0，得x＝－eq \f(2,3)，
所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,3)))上单调递增，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，0))上单调递减，则f(x)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝eq \f(31,27).
作出f(x)的图象，如图所示.
因为03＋02＋1＝1，且函数y＝f(x)－eq \f(a,27)恰有3个零点，所以由图象得1＜eq \f(a,27)＜eq \f(31,27)，即27＜a＜31，故整数a可能为28，29，30.故选BCD.]
11.ABD [对A，令t＝|x－1|，t＞0，所以当x∈(－∞，1)时，t＝|x－1|单调递减；当x∈(1，＋∞)时，t＝|x－1|单调递增.又因为y＝lgeq \f(1,2)t在定义域上为减函数，所以f(x)＝lgeq \f(1,2)|x－1|在(－∞，1)上单调递增，故A正确；
对B，因为y＝|x－1|的图象关于直线x＝1对称，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B正确；
对C，因为f(x)＝lgeq \f(1,2)|x－1|，所以|x－1|＞0，解得x≠1，所以函数f(x)＝lgeq \f(1,2)|x－1|的定义域为{x|x≠1}，故C错误；
对D，令t＝|x－1|，t＞0，则y＝lgeq \f(1,2)t，所以函数f(x)＝lgeq \f(1,2)|x－1|的值域为R，故D正确.]
12.ABD [对于A，若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴f(f(－x))＝f(－f(x))＝－f(f(x))，也是奇函数，正确；
对于B，若y＝f(x)是周期函数，设周期为T，
则f(x＋T)＝f(x)，f(f(x＋T))＝f(f(x))，也是周期函数，正确；
对于C，若y＝f(x)是减函数，则y＝f(f(x))是增函数，不正确；
对于D，若函数y＝f(x)存在反函数y＝f－1(x)，且函数y＝f(x)－f－1(x)有零点，即y＝f(x)与y＝f－1(x)的图象有交点，由函数y＝f(x)与y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称，得交点必在直线y＝x上，即∃x0∈R，有f(x0)＝x0，则函数y＝f(x)－x有零点，故D正确.故选ABD.]
13.eq \f(1,4) [由题意知f(t)＝－f(－1)＝－2，当t≤0时，f(x)＝2－t＝－2无解，当t＞0时，则lg2t＝－2，
∴t＝eq \f(1,4).]
14.1 eq \f(2x－4,2x＋4) [∵f(x)是定义域为R的奇函数，
当x∈[－1，1]时，f(x)＝eq \f(a－2x,1＋2x)，∴f(0)＝eq \f(a－1,2)＝0，∴a＝1，∴当x∈[－1，1]时，f(x)＝eq \f(1－2x,1＋2x)是奇函数.当x∈[1，3]时，2－x∈[－1，1]，f(x)＝f(2－x)＝eq \f(1－22－x,1＋22－x)＝eq \f(2x－4,2x＋4).]
15.[－5，0] [由题意知，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))时，f(x)∈[－1，1]，g(x)∈[1＋a，4＋a]，若存在x1，x2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得f(x1)＝g(x2)，则[－1，1]∩[1＋a，4＋a]≠∅，即a＋1≤1且a＋4≥－1，解得－5≤a≤0，所以实数a的取值范围是[－5，0].]
16.①④ [由f(x)＋f(－x)＝0知f(x)是奇函数，因为当x＜0时，f(1＋x)＝f(x)，所以f(x)在(－∞，0)上是周期为1的周期函数.易知x＝1不是F(x)的零点，当x≠1时，由F(x)＝0，得f(x)＝eq \f(1,x－1)，作出函数y＝f(x)和y＝eq \f(1,x－1)的大致图象如图所示，数形结合可知当这两个函数图象有8个交点时，①④正确.]
17.解 (1)函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0，b∈R)，
则对称轴x＝－eq \f(－2a,2a)＝1，
故函数g(x)在[2，4]上为单调增函数，
所以当x＝2时，g(x)min＝1，
当x＝4时，g(x)max＝9，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＋1＝1，,8a＋1＋b＝9，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0，))
故a的值为1，b的值为0.
(2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，
f(x)＝eq \f(g（x）,x)＝x＋eq \f(1,x)－2，
因为不等式f(3x)－k·3x≥0在x∈[－1，1]上有解，
所以3x＋eq \f(1,3x)－2－k·3x≥0在x∈[－1，1]上有解，
设t＝eq \f(1,3x)，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，3))，
所以t2－2t＋1≥k在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，3))上有解，
即(t2－2t＋1)max≥k，
设h(t)＝t2－2t＋1，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，3))，对称轴t＝1，
则当t＝3时，h(t)max＝h(3)＝9－6＋1＝4，
所以实数k的取值范围是(－∞，4].
18.解 (1)对于函数f(x)＝lg3(2x＋m)，x＞－eq \f(m,2)，
由题意可知(－1，1)⊆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,2)，＋∞))，
则－eq \f(m,2)≤－1，解得m≥2.
因为f(x)＝lg3(2x＋m)是(－1，1)上的“1阶局部奇函数”，
等价于关于x的方程f(－x)＝－f(x)在(－1，1)上有解，
即lg3(－2x＋m)＋lg3(2x＋m)＝0，
化简得：m2－4x2＝1，x∈(－1，1)，
所以m2＝1＋4x2∈[1，5)，
又m≥2，所以m∈[2，eq \r(5)).
故实数m的取值范围是[2，eq \r(5)).
(2)因为f(x)恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程f(－x)＋kf(x)＝0恒有解，
即x2－4x＋t＋kx2＋4kx＋tk＝0恒有解，
化简得：(k＋1)x2＋(4k－4)x＋t＋kt＝0，
当k＝－1时，解得x＝0，所以k＝－1满足题意；
当k≠－1时，Δ≥0，即16(k－1)2－4t(k＋1)2≥0对任意的实数t∈(－∞，4]恒成立，
即t(k＋1)2－4(k－1)2≤0对任意的实数t∈(－∞，4]成立，
令g(t)＝t(k＋1)2－4(k－1)2，
g(t)是关于t的一次函数且为(－∞，4]上的增函数，
则g(t)max＝g(4)≤0，即16k≤0，解得k≤0且k≠－1，
综上所述，整数k的最大值为0.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案