2025年高考数学一轮复习-集合与常用逻辑用语、不等式(基础巩固测试卷)【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-集合与常用逻辑用语、不等式(基础巩固测试卷)【含答案】，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩B＝( )
A.(1，3] B.[1，3]
C.[－1，1) D.[－1，＋∞)
2.命题“∀x≥0，sin x≤x”的否定为( )
A.∃x0＜0，sin x0＞x0
B.∃x0≥0，sin x0＞x0
C.∀x≥0，sin x＞x
D.∀x＜0，sin x≤x
3.下列命题为真命题的是( )
A.若a＜b＜0，则eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)
B. 若a＞b＞0，则ac2＞bc2
C.若c＞a＞b＞0，则eq \f(a,c－a)＜eq \f(b,c－b)
D.若a＞b＞c＞0，则eq \f(a,b)＞eq \f(a＋c,b＋c)
4.设x∈R，则“x＞1”是“x2＋1≥2x”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知集合M＝{x|(x－2)2≤1}，N＝{y|y＝x2－1}，则(∁RM)∩N＝( )
A.[－1，＋∞) B.[－1，1]∪[3，＋∞)
C.[－1，1)∪(3，＋∞) D.[－1，1]∪(3，＋∞)
6.[2021·湖北模拟]已知正数a，b是关于x的方程x2－(m2＋4)x＋m＝0的两根，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为( )
A.2 B.2eq \r(2) C.4 D.4eq \r(2)
7.已知M，N为R的两个不相等的非空子集，若(∁RN)⊆(∁RM)，则下列结论中正确的是( )
A.∀x∈N，x∈M B.∃x∈M，x∉N
C.∃x∉N，x∈M D.∀x∈M，x∉∁RN
8.用card(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(card（A）－card（B），card（A）≥card（B），,card（B）－card（A），card（A）＜card（B），))若A＝{x|2x－1＝0}，B＝{x||x2－2x|＝b，b∈R}，且A*B＝1，则b的取值范围是( )
A.0≤b≤1 B.b≥1
C.b≥1或b＝0 D.b＞1或b＝0
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A，B满足A∩B＝{0}，(∁UA)∩B＝{2，4}，(∁UB)∩A＝{1，3}，则下列判断正确的是( )
A.A＝{1，3}
B.B＝{0，2，4}
C.A∪B＝{0，1，2，3，4}
D.∁U(A∪B)＝{5}
10.已知eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)＜0，则下列结论一定正确的是( )
A.a2＜b2 B.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＞2
C.lg a2＞lg(ab) D.|a|a＜|a|b
11.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( )
A.若ac2＞bc2，则a＞b
B.若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
C.若a＞b，c＞d＞0，则eq \f(a,d)＞eq \f(b,c)
D.若ab＞0，bc－ad＞0，则eq \f(c,a)－eq \f(d,b)＞0
12.下列说法中正确的是( )
A.∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－2x0＋2≥0
B.若a＞1，则“b＜a”是“lgab＜1”的充要条件
C.若a＜b＜0，则eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)
D.命题“∀x∈[1，3]，x2－4x＋3≤0”的否定为“∃x∈[1，3]，x2－4x＋3＞0”
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.集合A＝{x|2≤x≤6－m}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围为________.
14.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确结论的序号).
①ab≤1；②eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2.
15.设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤0，,2x，x＞0，))设p：{x|f(x)＞1}，q：x∈(m，＋∞)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是________.
16.从集合U＝{1，2，3，4，5}的子集中选出两个非空集合A，B，满足以下两个条件：①A∪B＝U，A∩B＝∅；②若x∈A，则x＋1∈B.共有________种不同的选择.
四、解答题：本题共2小题，每题10分，共20分.
17.(10分)已知集合A＝{x|x2－(2a－2)x＋a2－2a≤0}，B＝{x|x2－5x＋4≤0}.
(1)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
18.(10分)已知函数f(x)＝|ax－3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}.
(1)解不等式f(x)＜2f(x＋1)－1；
(2)若m≥3，n≥3，f(m)＋f(n)＝3，求证：eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)≥1.
参考答案
1.A [法一 因为B＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以A∩B＝{x|1＜x≤3}，故选A.
法二 因为1∈A且－1∈A，所以1∈ (A∩B)
且－1∈ (A∩B)，故排除B，C，D，故选A.]
2.B [原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，因为否定的是结论而不是条件，所以A选项错误，B选项正确.故选B.]
3.D [对于A，当a＝－2，b＝－1时，eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，故A是假命题；对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B是假命题；对于C，当c＝3，a＝2，b＝1时，eq \f(a,c－a)＝2，eq \f(b,c－b)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(a,c－a)＞eq \f(b,c－b)，故C是假命题；对于D，因为a＞b＞c＞0，则eq \f(a,b)－eq \f(a＋c,b＋c)＝eq \f(a（b＋c）－b（a＋c）,b（b＋c）)＝eq \f(（a－b）c,b（b＋c）)＞0，所以eq \f(a,b)＞eq \f(a＋c,b＋c)，故D是真命题.]
4.B [由x2＋1≥2x得x∈R，所以x＞1是x2＋1≥2x的充分不必要条件，故选B.]
5.C [由已知可得M＝{x|(x－2)2≤1}＝{x|－1≤x－2≤1}＝[1，3]，∴∁RM＝(－∞，1)∪(3，＋∞)，又N＝[－1，＋∞)，∴(∁RM)∩N＝[－1，1)∪(3，＋∞)，故选C.]
6.C [由正数a，b是关于x的方程x2－(m2＋4)x＋m＝0的两根，可得a＋b＝m2＋4，ab＝m＞0，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(m2＋4,m)＝m＋eq \f(4,m)≥2eq \r(m×\f(4,m))＝4，当且仅当m＝eq \f(4,m)，即m＝2时等号成立.经检验，当m＝2时，方程x2－(m2＋4)x＋m＝0有两个正实数根，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为4.故选C.]
7.D [根据集合的运算，因为(∁RN)⊆(∁RM)，又M与N不相等，可得MN，所以∀x∈M，x∈N，
所以∀x∈M，x∉∁RN.故选D.]
8.D [集合A＝{x|2x－1＝0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，所以card(A)＝1，因为A*B＝1，
所以card(B)＝0
或card(B)＝2，当card(B)＝0时，集合B有0个元素，此时集合B是空集，不符合题意；当card(B)＝2时，集合B有2个元素，即|x2－2x|＝b，b∈R有两解，即函数y＝|x2－2x|与y＝b有两个交点，由图象可知，此时b＝0或b＞1，故b的取值范围是b＝0或b＞1.故选D.]
9.BCD [根据题意，可得到如图所示的Venn图，
则可得A＝{0，1，3}，B＝{0，2，4}，A∪B＝{0，1，2，3，4}，∁U(A∪B)＝{5}，故A错误，BCD正确.]
10.AB [∵eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)＜0，∴b＜a＜0，则|a|＜|b|，
∴a2＜b2，A正确；
∵eq \f(b,a)＞0，eq \f(a,b)＞0，∴eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(a,b)时取等号，又eq \f(b,a)≠eq \f(a,b)，∴eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＞2，B正确；
∵b＜a＜0，∴0＜a2＜ab，∴lg a2＜lg(ab)，C错误；
取a＝－2，b＝－3时，|a|a＝eq \f(1,4)，|a|b＝eq \f(1,8)，此时|a|a＞|a|b，D错误.故选AB.]
11.ABD [若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故A正确；
若a＞b，c＞d，则－d＞－c，则a－d＞b－c，故B正确；
当a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1时，满足a＞b，c＞d＞0，但eq \f(a,d)＝eq \f(b,c)＝－1，故C错误；
若ab＞0，bc－ad＞0，则eq \f(c,a)－eq \f(d,b)＝eq \f(bc－ad,ab)＞0，故D正确.故选ABD.]
12.ACD [由xeq \\al(2,0)－2x0＋2＝(x0－1)2＋1≥0，得A正确；
由b＜a不一定能推出lgab＜1，所以充分性不一定成立，由lgab＜1得b＜a，所以必要性成立，故B错误；
由a＜b＜0，得eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(b－a,ab)＞0，所以eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，故C正确；
根据全称量词命题的否定是存在量词命题知D正确.故选ACD.]
13.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(7,2))) [因为A∩B≠∅，所以A，B为非空集合，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2≤6－m，,m－1≤2m＋1，))解得－2≤m≤4.同时，要使A∩B≠∅，则需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－1≤2，,2m＋1≥2，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－1≤6－m，,6－m≤2m＋1，))解得eq \f(1,2)≤m≤3或eq \f(5,3)≤m≤eq \f(7,2)，即eq \f(1,2)≤m≤eq \f(7,2).综上，eq \f(1,2)≤m≤eq \f(7,2).]
14.①③⑤ [对于①，由2＝a＋b≥2eq \r(ab)，得ab≤1，当且仅当a＝b＝1时等号成立.①正确；
对于②，令a＝b＝1时，不成立，所以②错误；
对于③，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立.③正确；
对于④，令a＝b＝1时，不成立，所以④错误；
对于⑤，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(2,ab)≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立.⑤正确.所以正确的结论为①③⑤.]
15.(－∞，0) [函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤0，,2x，x＞0))的图象如下：
由图象可知，当f(x)＞1时，x＞0，所以p：{x|x＞0}，若p是q的充分不必要条件，则m＜0即m∈(－∞，0).]
16.7 [(1)A中只有一个元素：A＝{1}，B＝{2，3，4，5}；A＝{2}，B＝{1，3，4，5}；A＝{3}，B＝{1，2，4，5}；A＝{4}，B＝{1，2，3，5}.
(2)A中有两个元素：A＝{1，3}，B＝{2，4，5}；A＝{1，4}，B＝{2，3，5}；A＝{2，4}，B＝{1，3，5}.综上，共7种不同的选择.故答案为7.]
17.解 A＝{x|x2－(2a－2)x＋a2－2a≤0}＝{x|a－2≤x≤a}，
B＝{x|x2－5x＋4≤0}＝{x|1≤x≤4}.
(1)因为A∩B＝∅，所以a－2＞4或a＜1，即a＞6或a＜1.
所以实数a的取值范围是(－∞，1)∪(6，＋∞).
(2)因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2≥1，,a≤4，))解得3≤a≤4，经检验，等号可取到，所以实数a的取值范围是[3，4].
18.(1)解 由f(x)≤2，得－2≤ax－3≤2，1≤ax≤5，
f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}，
则a＞0，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＝1，,\f(5,a)＝5，))得a＝1.
不等式f(x)＜2f(x＋1)－1可化为
|x－3|＜2|x－2|－1，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥3，,x－3＜2（x－2）－1，))
或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2≤x＜3，,－（x－3）＜2（x－2）－1，))
或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＜2，,－（x－3）＜－2（x－2）－1，))
解得x≥3或eq \f(8,3)＜x＜3或x＜0，
所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＜0，或x＞\f(8,3))).
(2)证明 因为m≥3，n≥3，
所以f(m)＋f(n)＝|m－3|＋|n－3|＝m－3＋n－3＝3，
即m＋n＝9.
所以eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)＝eq \f(1,9)(m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(4,n)))
＝eq \f(1,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋4＋\f(n,m)＋\f(4m,n)))≥eq \f(1,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(n,m)·\f(4m,n))))＝1，
当且仅当eq \f(n,m)＝eq \f(4m,n)，即m＝3，n＝6时取等号.
所以不等式得证.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案