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    2025年高考数学一轮复习-三角中的最值、范围问题-专项训练【含答案】

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    2025年高考数学一轮复习-三角中的最值、范围问题-专项训练【含答案】

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    这是一份2025年高考数学一轮复习-三角中的最值、范围问题-专项训练【含答案】,共12页。试卷主要包含了基本技能练,创新拓展练等内容,欢迎下载使用。

    一、基本技能练
    1.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线x=eq \f(π,3)对称,且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))=0,则ω的最小值为( )
    A.2 B.4
    C.6D.8
    2.将函数y=cs(2x+φ)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度,得到的函数为奇函数,则|φ|的最小值为( )
    A.eq \f(π,12)B.eq \f(π,6)
    C.eq \f(π,3)D.eq \f(5π,6)
    3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin A+2csin C=2bsin Ccs A,则角A的最大值为( )
    A.eq \f(π,6)B.eq \f(π,4)
    C.eq \f(π,3)D.eq \f(2π,3)
    4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若eq \f(2a-c,b)=eq \f(cs C,cs B),b=4,则△ABC的面积的最大值为( )
    A.4eq \r(3) B.2eq \r(3)
    C.2D.eq \r(3)
    5.若函数f(x)=cs 2x+sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))在(0,α)上恰有2个零点,则α的取值范围为( )
    A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6),\f(4π,3)))B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6),\f(4π,3)))
    C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3),\f(8π,3)))D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,3),\f(8π,3)))
    6.已知函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为π,且对x∈R,f(x)≥feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))恒成立,若函数y=f(x)在[0,a]上单调递减,则a的最大值是( )
    A.eq \f(π,6)B.eq \f(π,3)
    C.eq \f(2π,3)D.eq \f(5π,6)
    7.已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(π,3),\f(π,4)))上的最小值为-2,则ω的取值范围是________.
    8.已知函数f(x)=cs ωx+sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx+\f(π,6)))(ω>0)在[0,π]上恰有一个最大值点和两个零点,则ω的取值范围是________.
    9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的角平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为________.
    10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A≠eq \f(π,2),c+bcs A-acs B=eq \r(2)acs A,则eq \f(b,a)=________;内角B的取值范围是________.
    11.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.
    (1)证明:B-A=eq \f(π,2);
    (2)求sin A+sin C的取值范围.
    12.已知向量a=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+x)))),b=(-sin x,eq \r(3)sin x),f(x)=a·b.
    (1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值;
    (2)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)))=1,a=2eq \r(3),求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC的形状.
    二、创新拓展练
    13.设锐角△ABC的三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a=1,B=2A,则b的取值范围为( )
    A.(eq \r(2),eq \r(3)) B.(1,eq \r(3))
    C.(eq \r(2),2)D.(0,2)
    14.(多选)设函数f(x)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx+\f(π,3)))(ω>0),已知f(x)在[0,2π]上有且仅有3个极小值点,则( )
    A.f(x)在(0,2π)上有且仅有5个零点
    B.f(x)在(0,2π)上有且仅有2个极大值点
    C.f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,6)))上单调递减
    D.ω的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3),\f(10,3)))
    15.(多选)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=6,记S为△ABC的面积,则下列说法正确的是( )
    A.若C=eq \f(π,3),则S有最大值9eq \r(3)
    B.若A=eq \f(π,6),a=2eq \r(3),则S有最小值3eq \r(3)
    C.若a=2b,则cs C有最小值0
    D.若a+b=10,则sin C有最大值eq \f(24,25)
    16.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2c=a(b2+c2-a2).
    (1)若A=eq \f(π,3),求B的大小;
    (2)若a≠c,求eq \f(c-3b,a)的最小值.
    参考答案与解析
    一、基本技能练
    1.答案 A
    解析 函数f(x)的周期T≤4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-\f(π,12)))=π,则eq \f(2π,ω)≤π,解得ω≥2,
    故ω的最小值为2.
    2.答案 B
    解析 将函数y=cs(2x+φ)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度,得到图象的函数解析式为y=cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,3)))+φ))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(2π,3)+φ)),此函数为奇函数,所以-eq \f(2π,3)+φ=eq \f(π,2)+kπ(k∈Z),解得φ=eq \f(7π,6)+kπ(k∈Z),
    则当k=-1时,|φ|取得最小值eq \f(π,6).
    3.答案 A
    解析 因为asin A+2csin C=2bsin Ccs A,
    由正弦定理可得,a2+2c2=2bccs A,①
    由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccs A,②
    ①+②得2a2=b2-c2,
    所以cs A=eq \f(b2+c2-a2,2bc)
    =eq \f(b2+c2-\f(1,2)(b2-c2),2bc)=eq \f(b2+3c2,4bc)≥eq \f(2\r(3)bc,4bc)=eq \f(\r(3),2)(当且仅当b=eq \r(3)c时取等号),
    所以角A的最大值为eq \f(π,6).
    4.答案 A
    解析 ∵在△ABC中,eq \f(2a-c,b)=eq \f(cs C,cs B),
    ∴(2a-c)cs B=bcs C,
    由正弦定理,得
    (2sin A-sin C)cs B=sin Bcs C,
    整理得sin(B+C)=2sin Acs B,
    ∵A∈(0,π),∴sin A≠0.
    ∴cs B=eq \f(1,2),即B=eq \f(π,3),
    由余弦定理可得16=a2+c2-2accs B=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,
    ∴ac≤16,当且仅当a=c时取等号,
    ∴△ABC的面积S=eq \f(1,2)acsin B=eq \f(\r(3),4)ac≤4eq \r(3).
    即△ABC的面积的最大值为4eq \r(3).
    5.答案 B
    解析 由题意,函数f(x)=cs 2x+sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))=eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3))),
    因为0

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