2025年高考数学一轮复习-直线与圆锥曲线-专项训练（含答案）

这是一份2025年高考数学一轮复习-直线与圆锥曲线-专项训练（含答案），共16页。试卷主要包含了基本技能练，创新拓展练等内容，欢迎下载使用。

一、基本技能练
1.椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1中，以点M(－1，2)为中点的弦所在直线斜率为( )
A.eq \f(9,16) B.eq \f(9,32)
C.eq \f(9,64) D.－eq \f(9,32)
2.抛物线y2＝4x的焦点为F，点A在抛物线上.若|AF|＝3，则直线AF的斜率为( )
A.±eq \r(2) B.±2eq \r(2)
C.eq \r(2) D.2eq \r(2)
3.若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－4y＋2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为( )
A.eq \r(3) B.eq \f(2\r(3),3)
C.2 D.eq \r(2)
4.F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，B是椭圆的上顶点，过点F1作BF2的垂线交椭圆C于P，Q两点，若3eq \(PF1,\s\up6(→))＝7eq \(F1Q,\s\up6(→))，则椭圆C的离心率是( )
A.eq \f(\r(3),3)或eq \f(\r(6),3) B.eq \f(2\r(5),5)或eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(\r(21),7)或eq \f(2\r(7),7) D.eq \f(5,9)或eq \f(2\r(14),9)
5.已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,2)＝1(a>eq \r(2))，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，坐标原点O在以AF为直径的圆上，若|AF|＝2|BF|，则M的方程为( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1
6.(多选)已知双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1，F1，F2为C的左、右焦点，则( )
A.双曲线eq \f(x2,4＋m)－eq \f(y2,5＋m)＝1(m>0)和C的离心率相等
B.若P为C上一点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的周长为6＋2eq \r(14)
C.若直线y＝tx－1与C没有公共点，则teq \f(\r(6),2)
D.在C的左、右两支上分别存在点M，N，使得4eq \(F1M,\s\up6(→))＝eq \(F1N,\s\up6(→))
7.已知直线y＝kx－1与焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,b)＝1总有公共点，则b的取值范围是________.
8.已知F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________.
9.已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)是双曲线右支上的两点，x1＋y1＝x2＋y2＝3.记△PQF1，△PQF2的周长分别为C1，C2，若C1－C2＝8，则双曲线的右顶点到直线PQ的距离为________.
10.已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线l与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A，B，∠F1AF2＝60°，四边形AF1BF2的周长p与面积S满足p2＝eq \f(128\r(3),9)S，则该双曲线的离心率为________.
11.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与x轴交于点P，过点P作直线l与C交于A，B两点，点D与点A关于x轴对称.
(1)证明：直线BD过点F；
(2)若eq \(DF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，求l的斜率.
12.已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，且经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3)，\f(1,2))).
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，点M是x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A在x轴的上方)，若|AM|＝2|MB|，且直线l与圆O：x2＋y2＝eq \f(4,7)相切于点N，求△OMN的面积.
二、创新拓展练
13.在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(9，6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则|AQ|＝( )
A.4 B.2
C.eq \f(4,3) D.eq \f(2,3)
14.(多选)已知F为抛物线C：y2＝6x的焦点，过直线x＝－eq \f(3,2)上一动点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则下列恒为定值的是( )
A.eq \f(|PA|·|PB|,|AB|) B.eq \f(|FA|·|FB|,|AB|)
C.eq \f(\(PA,\s\up6(→))·\(PB,\s\up6(→)),\(PF,\s\up6(→))2) D.eq \f(\(FA,\s\up6(→))·\(FB,\s\up6(→)),\(FP,\s\up6(→))2)
15.双曲线T：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，圆x2＋y2＝c2与T及T的渐近线分别在第一象限交于点M，N.若M，N关于直线y＝x对称，则T的离心率为________.
16.在平面直角坐标系中，顶点在原点、以坐标轴为对称轴的抛物线C经过点(1，2).
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知抛物线C关于x轴对称，过焦点F的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交直线AB于点P，交C的准线于点Q.若|AB|＝|PQ|，求直线AB的方程.
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参考答案与解析
一、基本技能练
1.答案 B
解析 设以M为中点的弦为弦AB，弦AB的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \f(xeq \\al(2,1),16)＋eq \f(yeq \\al(2,1),9)＝1，eq \f(xeq \\al(2,2),16)＋eq \f(yeq \\al(2,2),9)＝1，两式相减得eq \f(（x1＋x2）（x1－x2）,16)＋eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,9)＝0，又弦AB中点为M(－1，2)，
∴x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4，
即eq \f(－2（x1－x2）,16)＋eq \f(4（y1－y2）,9)＝0，
∴k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(9,32).
2.答案 B
解析 由题意得F(1，0)，设点A(x0，y0)，
则|AF|＝x0＋1＝3，
故x0＝2，y0＝±2eq \r(2)，
故点A坐标为(2，2eq \r(2))或(2，－2eq \r(2))，
所以直线AF的斜率为±2eq \r(2).故选B.
3.答案 C
解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为：bx＋ay＝0，
圆x2＋y2－4y＋2＝0的圆心为(0，2)，半径为eq \r(2)，
可得圆心到直线的距离为
eq \f(2a,\r(a2＋b2))＝eq \r(（\r(2)）2－12)，
整理得4a2＝a2＋b2，
即4a2＝c2，∴e＝eq \f(c,a)＝2，故选C.
4.答案 B
解析 由椭圆C的方程可得B(0，b)，F2(c，0)，F1(－c，0)，
所以kBF2＝－eq \f(b,c)，
设直线PQ的方程为y＝eq \f(c,b)(x＋c)，
即x＝eq \f(b,c)y－c，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b2x2＋a2y2＝a2b2，,x＝\f(b,c)y－c，))
整理得(b4＋a2c2)y2－2b3c2y－b4c2＝0，
可得y1＋y2＝eq \f(2b3c2,b4＋a2c2)，①
y1y2＝－eq \f(b4c2,b4＋a2c2)，②
因为3eq \(PF1,\s\up6(→))＝7eq \(F1Q,\s\up6(→))，
则3(－c－x1，－y1)＝7(x2＋c，y2)，
可得y1＝－eq \f(7,3)y2代入①可得
y2＝－eq \f(3b3c2,2（b4＋a2c2）).③
将y1＝－eq \f(7,3)y2代入②可得
yeq \\al(2,2)＝eq \f(3b4c2,7（b4＋a2c2）)，④
③代入④可得eq \f(9b6c4,4（b4＋a2c2）2)＝eq \f(3b4c2,7（b4＋a2c2）)化简，得25c4－25a2c2＋4a4＝0，
即25e4－25e2＋4＝0，
解得e2＝eq \f(1,5)或e2＝eq \f(4,5)，
即e＝eq \f(\r(5),5)或e＝eq \f(2\r(5),5)，故选B.
5.答案 A
解析 由题意不妨设F(－c，0)，
因为原点O在以AF为直径的圆上，
所以OA⊥OF，
可得A为椭圆M短轴的端点，则A(0，eq \r(2))，
因为|AF|＝2|BF|，
所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)c，－\f(\r(2),2)))代入椭圆M方程中可得eq \f(9c2,4a2)＋eq \f(1,4)＝1，即a2＝3c2，
又c2＝a2－2，所以a2＝3(a2－2)，
解得a2＝3，
所以椭圆M的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，故选A.
6.答案 BC
解析 选项A：双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的离心率e＝eq \f(3,2)，
双曲线eq \f(x2,4＋m)－eq \f(y2,5＋m)＝1(m>0)的离心率e＝eq \f(\r(4＋m＋5＋m),\r(4＋m))＝eq \f(\r(9＋2m),\r(4＋m))，
则双曲线eq \f(x2,4＋m)－eq \f(y2,5＋m)＝1(m>0)和C的离心率不一定相等.判断错误；
选项B：P为C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1上一点，且∠F1PF2＝90°，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|2＋|PF2|2＝36，,|PF1|－|PF2|＝4，))整理得|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(14)，
则△F1PF2的周长为6＋2eq \r(14).选项B判断正确；
选项C：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)－\f(y2,5)＝1，,y＝tx－1，))
可得(5－4t2)x2＋8tx－24＝0，
由题意可知，方程(5－4t2)x2＋8tx－24＝0无解.
当5－4t2＝0时，方程(5－4t2)x2＋8tx－24＝0有解；
当5－4t2≠0时，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5－4t2≠0，,（8t）2＋96（5－4t2）0)，
一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x1，x2，y1，y2>0，
联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,a)x，,x2＋y2＝c2))可得x2＝a2，
∴x＝±a，
即M的横坐标为x1＝a.
联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝c2，,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1))
整理得b2(c2－y2)－a2y2＝a2b2，
即y2＝eq \f(b4,c2)，解得y＝±eq \f(b2,c)，
即点N的纵坐标为y2＝eq \f(b2,c).
因为点M与点N关于直线y＝x对称可得x1＝y2，
即a＝eq \f(b2,c)，即b2＝ac，∴c2－a2＝ac，
即e2－e－1＝0，解得e＝eq \f(1＋\r(5),2)或e＝eq \f(1－\r(5),2)，
又∵双曲线离心率e>1，∴e＝eq \f(1＋\r(5),2).
16.解 (1)当焦点在x轴时，设抛物线C：
y2＝2px(p>0).
将点(1，2)代入得p＝2，
此时抛物线的方程为y2＝4x.
当焦点在y轴时，设抛物线C：x2＝2py(p>0)，
将点(1，2)代入得p＝eq \f(1,4)，
此时抛物线的方程为x2＝eq \f(1,2)y.
综上，抛物线C的方程为y2＝4x或x2＝eq \f(1,2)y.
(2)当抛物线C的焦点在x轴时，其方程为y2＝4x，焦点坐标为(1，0)，准线方程为
x＝－1.
∵当直线AB的斜率不存在时，|AB|＝4，|PQ|＝2，不符合题意，
∴直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝4x))消去y得，
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
∴Δ＝16k2＋16>0，x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)，
∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋eq \f(4,k2)，
线段AB的中点P为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,k2)，\f(2,k)))，
∴直线PQ的方程为
y－eq \f(2,k)＝－eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1－\f(2,k2))).
令x＝－1，得y＝eq \f(4,k)＋eq \f(2,k3)，
∴Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(4,k)＋\f(2,k3)))，
∴|PQ|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,k2)＋1))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,k)－\f(4,k)－\f(2,k3)))\s\up12(2))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))eq \r(1＋\f(1,k2)).
由|PQ|＝|AB|得，2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))eq \r(1＋\f(1,k2))＝4＋eq \f(4,k2)，
解得k＝±eq \f(\r(3),3)，
∴直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x－eq \f(\r(3),3)或y＝－eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(3),3).