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新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题10 数列 10.1等差数列(2份打包,原卷版+解析版)
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知识梳理.等差数列
1.等差数列的有关概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,符号表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
(2)①通项公式:an=a1+(n-1)d=nd+(a1-d)⇒当d≠0时,an是关于n的一次函数.
②通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(3)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=eq \f(a+b,2),其中A叫做a,b的等差中项.
①若m+n=2p,则2ap=am+an(m,n,p∈N*).
②当m+n=p+q时,am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).
(4)前n项和公式:Sn=eq \f(na1+an,2) eq \(――→,\s\up7(an=a1+n-1d))Sn=na1+eq \f(nn-1,2)d=eq \f(d,2)n2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1-\f(d,2)))n⇒当d≠0时,Sn是关于n的二次函数,且没有常数项.
2.常用结论:
已知{an}为等差数列,d为公差,Sn为该数列的前n项和.
(1)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为n2d.
(2)若{an}是等差数列,则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也成等差数列,其首项与{an}首项相同,公差是{an}公差的eq \f(1,2).
(3)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1);S偶-S奇=nd;eq \f(S奇,S偶)=eq \f(an,an+1).
若项数为奇数2n-1,则S2n-1=(2n-1)an;S奇-S偶=an;eq \f(S奇,S偶)=eq \f(n,n-1).
题型一. 等差数列的基本量
1.已知等差数列{an}满足a3+a4=12,3a2=a5,则a6= .
2.(2018•新课标Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )
A.﹣12B.﹣10C.10D.12
3.(2017•新课标Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )
A.1B.2C.4D.8
题型二. 等差数列的基本性质
1.在等差数列{an}中,已知a5+a10=12,则3a7+a9等于( )
A.30B.24C.18D.12
2.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9的值为( )
A.17B.16C.15D.14
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=10,S4=36,则公差d为 .
题型三.等差数列的函数性质
1.下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
(1)数列{an}是递增数列;
(2)数列{nan}是递增数列;
(3)数列是递减数列;
(4)数列{an+3nd}是递增数列.
其中的真命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2(n∈N*),则{an}的通项公式为( )
A.an=2nB.an=2n﹣1
C.an=3n﹣2D.
3.在数列{an}中,若an=5n﹣16,则此数列前n项和的最小值为( )
A.﹣11B.﹣17C.﹣18D.3
题型四. 等差数列的前n项和经典结论
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S9=72,则S6=( )
A.27B.33C.36D.45
2.等差数列{an}中,Sn是其前n项和,,则S11=( )
A.﹣11B.11C.10D.﹣10
3.若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,已知,则等于( )
A.B.C.D.
题型五. 等差数列的最值问题
1.已知等差数列{an}中,Sn是它的前n项和,若S16>0,S17<0,则当Sn最大时,n的值为( )
A.8B.9C.10D.16
2.在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n为何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.
3.(2014·江西)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为 .
题型六. 证明等差数列
1.已知数列{an}满足,,数列{bn}满足.
(1)求证数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}中的最大项和最小项.
2.已知数列{an}中,a2=1,前n项和为Sn,且Sn.
(1)求a1;
(2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式;
课后作业. 等差数列
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=72,则a1+a5+a9=( )
A.36B.24C.16D.8
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,S8=4a3,a7=﹣2,则a10=( )
A.﹣8B.﹣6C.﹣4D.﹣2
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,2a5+a11=0,则下列说法错误的为( )
A.a8<0
B.当且仅当n=7时,Sn取得最大值
C.S4=S9
D.满足Sn>0的n的最大值为12
4.若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n= 时,{an}的前n项和最大;当Sn>0时n的最大值为 .
5.在数列{an}中,a2=8,a5=2,且2an+1﹣an+2=an(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是( )
A.210B.10C.50D.90
6.已知在正整数数列{an}中,前n项和Sn满足:Sn(an+2)2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bnan﹣30,求数列{bn}的前n项和的最小值.
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