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新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题13解析几何 13.2圆的方程(2份打包,原卷版+解析版)
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知识梳理.圆的方程
1.圆的方程:
(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)是以点(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程,叫做圆的标准方程.
(2)圆的一般方程:
当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.
圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(D,2),-\f(E,2))),半径长为eq \f(1,2)eq \r(D2+E2-4F).
2.直线与圆的位置关系(半径为r,圆心到直线的距离为d)
(1)圆的切线方程常用结论
①过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
③过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
(2)有关弦长问题的2种求法
3.圆与圆的位置关系(两圆半径为r1,r2,d=|O1O2|)
圆与圆位置关系问题的解题策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.
题型一. 圆的方程、轨迹方程
1.已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3=0上,且过点A(2,﹣3),B(﹣2,﹣5),则圆C的标准方程为 .
2.已知圆C与圆(x﹣1)2+y2=1关于原点对称,则圆C的方程为( )
A.x2+y2=1B.x2+(y+1)2=1
C.x2+(y﹣1)2=1D.(x+1)2+y2=1
3.如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.
(Ⅰ)求圆C的标准方程;
4.在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,动点P与两个定点M(1,0),N(4,0)的距离之比为.
(Ⅰ)求动点P的轨迹W的方程;
5.在平面直角坐标系xOy中,已知点B(2,0),C(﹣2,0),设直线AB,AC的斜率分别为k1,k2,且k1k2,记点A的轨迹为E.
(1)求E的方程;
6.若,则S△ABC的最大值 .
题型二. 直线与圆的位置关系
1.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( )
A.相切B.相交C.相离D.不确定
2.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x﹣2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为 .
3.已知直线l:x﹣y+4=0与圆C:(x﹣1)2+(y﹣1)2=2,则C上各点到l距离的最小值为( )
A.1B.1C.D.2
题型三. 切线问题
1.已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=2,点P坐标为(2,﹣1),过点P作圆C的切线,切点为A,B.
(1)求切线PA,PB的方程;
(2)求过P点的圆的切线长;
(3)求直线AB的方程.
2.(2008•山东)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x﹣3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是( )
A.B.(x﹣2)2+(y﹣1)2=1
C.(x﹣1)2+(y﹣3)2=1D.
3.(2014•大纲版)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于 .
4.(2014•新课标Ⅱ)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是( )
A.[﹣1,1]B.[,]C.[,]D.[,]
5.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+(y﹣3)2=2,点A是x轴上的一个动点,AP,AQ分别切圆C于P,Q两点,则线段PQ长的取值范围是( )
A.[,2)B.[,2)C.[,2)D.[,2)
6.(2002•北京)已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值为 .
题型四. 弦长问题
1.直线l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴,过点A(0,k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为( )
A.B.C.D.2
2.直线y=kx+3与圆(x﹣3)2+(y﹣2)2=4相交于M,N两点,若MN<2,则k的取值范围是 .
3.已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0,则直线l被圆C截得的弦长的最小值为( )
A.2B.4C.6D.8
4.已知AC、BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为 .
题型五. 圆与圆之间的位置关系
1.(多选)以下四个命题表述正确的是( )
A.直线(3+m)x+4y﹣3+3m=0(m∈R)恒过定点(﹣3,﹣3)
B.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x﹣y0的距离都等于1
C.曲线C1:x2+y2+2x=0与曲线C2:x2+y2﹣4x﹣8y+m=0恰有三条公切线,则m=4
D.已知圆C:x2+y2=1,点P为直线1上一动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB经过定点
2.已知圆C1:x2+(y﹣a2)2=a4的圆心到直线x﹣y﹣2=0的距离为2,则圆C1与圆C2:x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的位置关系是( )
A.相交B.内切C.外切D.相离
3.已知圆与圆相外切,则ab的最大值为( )
A.2B.C.D.4
4.已知圆,圆,M,N分别是圆C1,C2上动点,P是x轴上动点,则|PN|﹣|PM|的最大值是( )
A.B.C.D.
题型六.直线与圆综合问题
1.直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣2x﹣1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )
A.﹣3<m<1B.﹣4<m<2C.0<m<1D.m<1
2.过直线y=x上一点作圆(x﹣5)2+(y﹣1)2=2的两条切线l1,l2,当l1,l2关于直线y=x对称时,l1,l2的夹角的大小为 .
3.若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为.则直线l的倾斜角的取值范围是 .
4.(2014•北京)已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1和两点A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为( )
A.7B.6C.5D.4
5.已知直线x+y﹣k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有⋅2,那么k的取值范围是( )
A.(,+∞)B.[,2 )C.[,+∞)D.[,2 )
6.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2﹣2x﹣4y﹣3=0与x轴交于A,B两点,若动直线l与圆C相交于M,N两点,且△CMN的面积为4,若P为MN的中点,则△PAB的面积最大值为 .
7.在平面直角坐标系xOy中,已知半径为2的圆C,圆心在x轴正半轴上,且与直线xy+2=0相切.
(1)求圆C的方程;
(2)在圆C上,是否存在点P,满足|PQ||PO|,其中,点Q的坐标是Q(﹣1,0).若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由;
(3)若在圆C上存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交不同两点A,B,求m的取值范围.并求出使得△OAB的面积最大的点M的坐标及对应的△OAB的面积.
8.如图,已知⊙C的圆心在原点,且与直线x+3y+40相切.
(1)求⊙C的方程;
(2)点P在直线x=8上,过点P引⊙C的两条切线PA、PB,切点为A、B.
①求四边形OAPB面积的最小值;
②求证:直线AB过定点.
9.(2017•新课标Ⅲ)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点,点C的坐标为(0,1),当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;
(2)证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
10.(2015•广东)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A,B.
(1)求圆C1的圆心坐标;
(2)求线段AB 的中点M的轨迹C的方程;
(3)是否存在实数 k,使得直线L:y=k(x﹣4)与曲线 C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.
11.如图,圆C:x2﹣(1+a)x+y2﹣ay+a=0.
(Ⅰ)若圆C与x轴相切,求圆C的方程;
(Ⅱ)已知a>1,圆C与x轴相交于两点M,N(点M在点N的左侧).过点M任作一条直线与圆O:x2+y2=4相交于两点A,B.问:是否存在实数a,使得∠ANM=∠BNM?若存在,求出实数a的值,若不存在,请说明理由.
课后作业. 直线与圆
1.已知圆C的圆心在x轴上,点在圆C上,圆心到直线2x﹣y=0的距离为,则圆C的方程为( )
A.(x﹣2)2+y2=3B.(x+2)2+y2=9
C.(x±2)2+y2=3D.(x±2)2+y2=9
2.已知动直线l与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,且满足|AB|=2,点C为直线l上一点,且满足,若M是线段AB的中点,则的值为( )
A.3B.C.2D.﹣3
3.已知两圆x2+y2+4ax+4a2﹣4=0和x2+y2﹣2by+b2﹣1=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则的最小值为( )
A.3B.1C.D.
4.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2﹣2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为( )
A.3B.C.D.2
5.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2﹣2y=0的两条切线,A、B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为多少?
6.在平面直角坐标系xOy中,M为直线x=3上一动点,以M为圆心的圆记为圆M,若圆M截x轴所得的弦长恒为4,过点O作圆M的一条切线,切点为P,则点P到直线2x+y﹣10=0距离最大值为 .
7.已知圆C过坐标原点O,且与x轴,y轴分别交于点A,B,圆心坐标C(t,)(t∈R,t≠0)
(1)求证:△AOB的面积为定值;
(2)直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;
(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.
8.(2015·全国1)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1交于点M、N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若•12,其中O为坐标原点,求|MN|.
9.已知点,点P为曲线Γ上任意一点且满足|PA|=2|PB|.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)设曲线Γ与y轴交于M、N两点,点R是曲线Γ上异于M、N的任意一点,直线MR、NR分别交直线l:y=3于点F、G.试问在y轴上是否存在一个定点S,使得,若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δeq \a\vs4\al(<)0
Δeq \a\vs4\al(=)0
Δeq \a\vs4\al(>)0
几何观点
deq \a\vs4\al(>)r
deq \a\vs4\al(=)r
deq \a\vs4\al(<)r
几何法
直线被圆截得的半弦长eq \f(l,2),弦心距d和圆的半径r构成直角三角形,即r2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2+d2
代数法
联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于x的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长|AB|=eq \r(1+k2)·|x1-x2|=eq \r(1+k2)eq \r(x1+x22-4x1x2)或|AB|=eq \r(1+\f(1,k2))·|y1-y2|=eq \r(1+\f(1,k2))eq \r(y1+y22-4y1y2)
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d>r1+r2
d=r1+r2
|r1-r2|<d<r1+r2
d=|r1-r2|
d<|r1-r2|
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