新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题13解析几何 13.4双曲线（2份打包，原卷版+解析版）

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知识梳理.双曲线
1．双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
3．双曲线的几何性质
题型一. 双曲线及其性质
1．过双曲线左焦点F的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点，则|MF2|+|NF2|﹣|MN|的值为 ．
2．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上，若点F2在线段MN的中垂线上，则MN＝（ ）
A．B．8C．D．4
3．过双曲线的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A，若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的标准方程是 ．
4．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2＝4和（x﹣5）2+y2＝1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为 ．
5．已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为 ．
题型二. 焦点三角形
1．已知点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，则△BF1F2的面积为 ．
2．已知F1，F2是双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上任意一点，M是线段PF1的中点，则以PF1为直径的圆与圆x2+y2＝a2的位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．以上都有可能
3．已知双曲线C的左右焦点为F1、F2，点M为双曲线C上任一点，则|MF1|•|MF2|的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
4．从双曲线1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（ ）
A．c﹣aB．b﹣aC．a﹣bD．c﹣b
题型三. 渐近线性质
1．过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A．若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（ ）
A．1B．1
C．1D．1
2．设F1，F2是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1||OP|，则C的离心率为 ．
3．已知斜率为1的直线l与双曲线1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，且AB的中点为M（1，3），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±3xB．y＝±xC．y＝±D．y＝±x
4．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过F且倾斜角为60°的直线分别与双曲线的左右两支相交，则此双曲线离心率的取值范围是 ．
题型四. 构建等量关系求离心率
1．设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做x轴的垂线交双曲线于B，C两点，若A1B⊥A2C，则双曲线的离心率为 ．
2．过双曲线M：x21的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A．B．C．D．
3．已知F1、F2是双曲线1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线时，双曲线的离心率e＝ ．
4．(2019·全国卷Ⅰ) 已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点．若，，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
题型五. 离心率的取值范围
1．设点P在双曲线的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．（1，2]C．D．[2，+∞）
2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点M为双曲线右支上一点，若|F1F2|＝2|OM|，tan∠MF2F1≥2，则双曲线C的离心率的取值范围为 ．
3．F1，F2是双曲线1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若双曲线上存在点P满足a2，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．[，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]
课后作业. 双曲线
1．已知F1，F2是双曲线E：（a＞0，b＞0）的左右焦点，F2与抛物线C：y2＝4x的焦点重合，点M在E上，MF2与x轴垂直，|MF2|＝2，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
2．已知M（x0，y0）是双曲线C：y2＝1上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若∠F1MF2为钝角，则y0的取值范围是 ．
3．设F1、F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与圆O：x2+y2＝a2相切，l与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若PF2⊥x轴，则双曲线的离心率等于（ ）
A．B．2C．2D．4
4．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|．若直线PF2与双曲线C只有一个交点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为（ ）
A．yB．yC．y＝±2xD．y
6．过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB||，则双曲线离心率的取值范围为 ．
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))∈(1，＋∞)
e是表示双曲线开
口大小的一个量，
e越大开口越大.
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c的关系
a2＝c2－b2