福建龙岩某校2025届高三上学期开学考试数学试题+答案

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1．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A．－1B．0C．D．1
2．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4B．–2C．2D．4
3．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A．B．C．D．
4．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
5．若在是减函数，则的最大值是( )
A．B．C．D．
6．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
8．已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ ）
A．a0C．b0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分.
9．已知四边形ABCD为等腰梯形，，l为空间内的一条直线，且平面ABCD，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则平面ABCD
B．若，则
C．若，，则平面ABCD
D．若，，则平面ABCD
10．定义在上的函数满足，则（ ）
A．B．
C．为奇函数D．单调递增
11．设a，b，c为实数，记集合若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论可能的是（ ）
A．{S}=1且{T}=0B．{S}=1且{T}=1C．{S}=2且{T}=3 D．{S}=2且{T}=2
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
12．不等式的解集是
13．曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________
14．如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成.若，，则正实数的取值范围是 .
四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为50%，且各件产品是否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
16.已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
17.如图,在锥体中，四边形ABCD为边长为1的菱形，且∠DAB=60°，，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点，
(1)证明：AD⊥平面DEF；
(2)求二面角P-AD-B的余弦值.
18:当且仅当，即时，，所以．
．为圆周率，为自然对数的底数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数；
（3）将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.
19．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：
①； ②；③； ④.
（1）设，，求和.
（2）由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：
① ② ③.
试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.
（3）若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.
龙岩一中2025届高三开学考数学试题参考答案
DBBD ABDC 9:AC 10:BCD 11:ABD 12: 13: 14:
15：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，
第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B，:第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，
第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，
∴P(E)＝P(A)P(B|A)＋P(C)P(D|C)＝.
(2)X的可能取值为400，500，800，并且∴X的分布列为
P(X＝400)＝1－， P(X＝500)＝ ，P(X＝800)＝＝ ，
EX＝400×＋500×＋800×＝506.25X
400
500
800
P
16：（1）的定义域为，，则，解得：，故．易知在区间内单调递增，且，
由解得：；由解得：，
所以的增区间为，减区间为． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
（2）［方法一］：【最优解】放缩法
当时，.设，则.
当时，；当时，.所以是的最小值点.
故当时，.因此，当时，.
［方法二］：【通性通法】隐零点讨论
因为，所以在区间内单调递增．设，当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，所以．
设，则．
所以在区间内单调递减，故，即成立．
［方法三］：分离参数求最值
要证时，即，则证成立．
令，则．
令，则，由知在区间内单调递减，从而在内单调递增，在区间内单调递减．
所以，而，所以恒成立，原命题得证．
［方法四］：隐零点讨论＋基本不等式
，结合与的图像，可知有唯一实数解，不妨设，则．易知在区间内是减函数，在区间内是增函数．所以．
由，得．
．
17：（1）取的中点，连接，∵四边形ABCD是边长为1的菱形，且，
是边长为1的正三角形，得，且，，
，且，∵，平面，平面
分别是的中点，，即四边形为平行四边形，∴，∵平面DEF，平面DEF，∴PB平面DEF，同理可证：OB平面DEF，∵，平面平面，平面；
（2）由（1）知：∠POB为二面角P-AD-B的平面角，又PB=2，
所以，
即二面角P-AD-B的余弦值为
18：:（1）函数的定义域为，因为，所以，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
故函数的单调增区间为，单调减区间为.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
（2）因为，所以，，即，，
于是根据函数、、在定义域上单调递增，
所以，，
故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中，
由及（1）的结论得，即，
由得，所以，
由得，所以，
综上，6个数中的最大数为，最小数为.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分
（3）由（2）知，，，又由（2）知，，
故只需比较与和与的大小，由（1）知，当时，，即，在上式中，令，又，则，即得①
由①得，，
即，亦即，所以，
又由①得，，即，所以，
综上所述，，即6个数从小到大的顺序为，，，，，.
19：【详解】（1）因为，，所以，
（2）设，，，、、、、、、，
则，，故①不成立，，，，，
因为，，所以
，故②正确；
，，，，
设，，，则，，，
所以，故，即③错误；（凌晨讲数学）
（3）设满足条件的，，、，则，，因为为任意的复数，不妨设且，
由定义可得，即，则，所以，则，以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值，不妨令，则，则，当，时取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证；
推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取到最小值.