吉林省白山市抚松县第一中学2024-2025学年高二上学期开学数学试题（解析版）

这是一份吉林省白山市抚松县第一中学2024-2025学年高二上学期开学数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分150分 时间：120分值
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 在复平面内，设i是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】由，得，然后根据共轭复数的定义，再确定在复平面内对应的点所在的象限．
【详解】由题意知，，
其共轭复数为，
所以在复平面内对应的点为，位于第三象限．
故选：C．
2. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】由线面关系逐一判断即可.
【详解】对于A：由，，，可知、可能平行或相交，A错误；
对于B：由，，，则由线面平行的性质定理得，B正确；
对于C：由，，，，可知、可能平行或相交，C错误；
对于D：由，，可知或，D错误．
故选：B
3. 从3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作，则至少有1名女性志愿者参加的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将3名男性志愿者分别记为a，b，c，2名女性志愿者分别记为d，e，然后列举出从5人中抽取2人的所有情况，再找出至少有1名女性的情况，然后利用古典概型的概率公式求解.
【详解】将3名男性志愿者分别记为a，b，c，2名女性志愿者分别记为d，e，
则样本空间，共包含10个样本点．
记事件A为至少有1名女性志愿者参加，则，A包含的样本点个数为7，
所以．
故选：D
4. 如图，在直角梯形中，，若分别是边，上的动点，满足，其中，若，则的值为（ ）

A. 1B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，设，，由题意中等式得到，，，结合数量积运算得到参数值；
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得.
设，，由，即，据此可得，
故，同理可得，，
据此可得，
则，整理可得，
由于，故.
故选：D.

5. 任意抛掷一次骰子，朝上面的点数记为，则，定义事件：，，，则（ ）
A. B.
C. D. 、相互独立
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用古典概率计算判断ABC；利用相互独立事件的定义判断D.
【详解】对于A，，，A错误；
对于B，，，B正确；
对于C，，，C错误；
对于D，,、相互不独立，D错误；
故选：B.
6. 已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：根据三点共线的结论可得，结合数量积运算即可；方法二：作投影，结合数量积的几何意义运算求解；方法三：建系，可得，结合数量积的坐标运算求解.
【详解】方法一：因为共线，
设，
即，
则，解得，
所以
方法二：过点连接的中点，过点分别做边的垂线，垂足分别是，
易得，
则在边上的投影是，
所以；
方法三：以边的中点为坐标原点，以边为轴建立如图所示直角坐标系，

则，
设，
因为共线可得，解得，
即，可得，
所以.
故选：A.
7. 下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误.
【详解】在A图中，分别连接，
由正方体可得四边形为矩形，则，
因为为中点，故，则，所以四点共面.
在B图中，设为所在棱的中点，分别连接，
由A的讨论可得，故四点共面，
同理可得，故，同理可得，
故平面，平面，所以六点共面.
在C图中，由中点可得，同理，
故，所以四点共面.
在D图中，为异面直线，四点不共面.
故选：D.
8. 如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（ ）
A. 千米B. 千米
C. 千米D. 千米
【答案】D
【解析】
【分析】使用余弦定理及基本不等式，得到，使用正弦定理及三角恒等变换得到，进而求得AB的最短距离.
【详解】
在中，，
设，
则，
当且仅当时取等号，
设，则，
又到的距离为20千米，所以，，
故（时取等号），
所以，得，
故选：D
二、多选题（每题6分）
9. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 与的夹角余弦值为D. 向量在向量上的投影向量为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标关系判断选项A；利用向量垂直关系的坐标表示验证选项B；利用两个向量的夹角公式验证选项 C；利用投影向量的公式求解判断选项D.
【详解】因，，
对于选项A：可得，且，
所以与不共线，故A错误；
对于选项B：若，则，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，则，，
所以与的夹角余弦值为，故C正确；
对于选项D：由题意可知：，
因为是与同向的单位向量，
所以向量在向量上的投影向量为，故D错误；
故选：BC.
10. 在平面直角坐标系中，点间的折线距离，已知，记，则（ ）
A. 若，则有最小值8
B. 若，则A点轨迹是一个正方形
C. 若，则有最大值15
D. 若，则点A的轨迹所构成区域的面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用换元法结合定义将折线距离转化，作出图象，利用图象平移可判定B，利用点到直线距离公式转化可判定A，利用图象结合两点距离可判定C，利用正方形面积公式可判定D.
【详解】若，由题意可知，令，
则，作出其图象如图．
易知，点的轨迹可由正方形右移1个单位长度，
再上移1个单位长度得到，故B正确；
对于A，
，
结合图象可得的最小值即为点到
直线（即点）的距离，
此时取得最小值3，故A错误；
对于C，的最大值即为点到点的距离中的最大值
，故的最大值为15，故C正确；
若，则表示正方形及其内部区域，易知其面积为，
故D错误．
故选：BC．
11. 《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑中，，其外接球的体积为，当此鳖臑的体积V最大时，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 直线与平面所成角的正弦值
D. 内切球的半径为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题可知的中点即为的外接球的球心，由球的体积公式可得球的半径，进而得到，利用锥体的体积公式计算可判断A、B项，利用线面垂直可判断直线与平面所成角即为，计算其正弦值即可判断C项，利用等体积法可求得内切球的半径，即可判断D项.
【详解】解：由题可知，的中点即为的外接球的球心，设外接球的半径为，则，得，
因为，所以，
鳖臑的体积，
当且仅当时，；故A项正确，B项错误.
因为三棱柱为直三棱柱，故平面，又平面，故，
因为,所以平面，
所以直线与平面所成角即为，；故C项正确；
设鳖臑的内切球半径为，由等体积法，得，所以，故D项正确.
故选：ACD.
三、填空题（每题5分）
12. 已知，则直线：和直线：的位置关系为______．
【答案】垂直或重合
【解析】
【分析】求出值，再代入方程并确定位置关系即得.
【详解】由，得或，
当时，：，：，，，
显然，所以直线与垂直；
当时，：，：，所以直线与重合．
故答案为：垂直或重合
13. 如图，四边形，都是边长为1的正方形，,则，两点间的距离是______．
【答案】
【解析】
【分析】由空间向量的线性运算可得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得，即为所求．
【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，，
又，则，
因为，由图易知，，
所以
，
即，两点间的距离是．
故答案为：．
14. 在直三棱柱中，，底面是边长为6的正三角形，则三棱柱外接球的表面积为______；若是三棱柱外接球的球面上一点，是内切圆上一点，则的最大值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】求出外接圆的半径，内切圆的半径，求出三棱柱外接球半径平方为，得到外接球表面积，结合图形得到MN的最大值为．
【详解】因为底面是边长为6的正三角形，所以外接圆的半径，
内切圆的半径．设三棱柱外接球的半径为，
因为，所以，
则三棱柱外接球的表面积为．
由题可知，三棱柱外接球的球心与内切圆上点的距离，
故MN的最大值为．
故答案为：，
【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
四、解答题
15. 已知空间中三点，，，设，.
（1）已知，求的值；
（2）若，且∥，求的坐标.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）问题转化，求.
（2）根据向量的模的计算和向量共线，求的坐标.
【小问1详解】
由题知，，
所以，
因为，
所以.
【小问2详解】
因为∥， ，
所以，，
因为，所以，解得 ，
所以或.
16. 设直线l的方程为
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
（3）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.
【答案】（1）或.
（2）
（3）面积的最小值是6，此时直线l的方程为
【解析】
【分析】（1）根据直线过原点、直线与不过原点两种情况进行分类讨论，由此求得直线的方程.
（2）将直线方程化为斜截式，再结合不经过第二象限列不等式组，解不等式组求得实数a的取值范围.
（3）根据两点的位置确定的坐标以及a的取值范围，求得面积的表达式，结合a的取值范围，结合基本不等式，求得面积的最小值与此时直线l的方程.
【小问1详解】
当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为.
当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:.
综上所述，直线的方程为或.
【小问2详解】
,
∵不经过第二象限,∴,解得.
∴实数a的取值范围是.
【小问3详解】
令,解得,解得;
令,解得,解得或.
综上有.
∴
,
当且仅当时取等号.
∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即
17. 2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知
（1）若 ，求此花卉布展区域总面积；
（2）求证： 为一个定值；
（3）在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先求出 的面积，BD，在中用余弦定理求出 可以求出 面积，即可求出总面积；
（2）分别在 和 中，用余弦定理表示出BD，即可证明为定值；
（3）由，结合余弦定理可得，由正弦定理得，则 ，再由，即可求得的取值范围.
【小问1详解】
由题意，在 中，且 ，
则 ，
又由余弦定理，得
，
解得 ，
又在 中，，
得 ，
所以 ，
所以 的面积为
，
所以花卉布展区域的总面积为
【小问2详解】
在 中，因为
，所以 ，
在 中，，由余弦定理，得
，
所以 ，则 ，
得 ，所以 为一个定值1.
【小问3详解】
因为在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c，
因为 ，
所以 ，则，
所以 ，
所以 ，
所以


，
又 ，
则 ，
则 ，
故
所以的取值范围为.
18. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数；
（2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差.
【答案】（1）32.25，第80百分位数为37.5
（2）10
【解析】
【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数；
（2）利用分层抽样得第四组和第五组分别抽取人和人，进而设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，进而根据方差公式，代入计算即可得答案.
【小问1详解】
设这20人的平均年龄为，则
.
设第80百分位数为，由，解得.
【小问2详解】
由频率分布直方图得各组人数之比为，
故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取人和人，
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
则，，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.
19. 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，，平面平面.

（1）求证：平面；
（2）若，点在棱上，且二面角的大小为.
①求证：；
②设是直线上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析；②.
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质得到平面，再利用线面垂直的性质得到，结合条件及线面垂直的判定定理，即可证明结果；
（2）建立空间直角坐标系，①求出平面和平面的法向量，结合条件得到，从而有，即可证明结果；②设，结合①中结果，利用线面角的向量法，得到，即可求出结果.
【小问1详解】
在四棱锥中，
因底面为矩形，所以.
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，且，
所以平面.
【小问2详解】
①以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，所以，
因为点在棱上，所以设或显然不满足题设，
因为，所以，
所以，
设平面的一个法向量，
则，即，取，则，
所以，是平面的一个法向量，
所以，
因为二面角的大小为，所以，
即，解得，
此时，，
，所以，
所以，即.
②因为是直线上的点，所以设，
由①可得，所以，平面的一个法向量.
设直线与平面所成角为，则.
令，则，
则，
当时，，
当时，，
令，则，则，
所以当，即时，，
即直线与平面所成角的正弦值的最大值为.